CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

Christian José Quintana Pinedo

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2.6.6 Funções Elementares.

Definição 2.24.

Função elementar

Uma função elementar é aquela que obtém-se mediante um número finito de operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, e composição de funções como por exemplo: as funções constantes; a função potência y = xn; a função exponencial y = ax; as funções logarítmicas; trigonométricas e trigonométricas inversas.

Sejam f1;f2;f3, ¢¢· ;fn funções definidas num mesmo conjunto A,e a1;a2;a3, ¢¢· ;an números reais sendo n .

N.

Exemplo 2.73.

Combinação linear finita.

A função definida por f : A ¡.

R definida por: f = a1f1 + a2f1 + a3f3 + ¢¢· + anfn é denominada uma combinação linear finita de f1;f2;f3, ¢¢· ;fn.

Logo, f é uma função elementar.

102 Christian Quintana Pinedo

2.6.7 Funções Algébricas.

Definição 2.25.

Diz-se que uma função y = f(x) definida num conjunto A, é algébrica de grau n, quando ela é solução de uma equação algébrica da forma:

P (x, y)= P0(x)yn + P1(x)yn¡1 + ¢¢· + Pn¡1(x)y + Pn(x)=0

Para n .

N;n = 1 e P0(x);P1(x), ¢¢· ;Pn¡1(x);Pn(x) polinômios de variável x.

Exemplo 2.74.

v

A função y = 3 x2 +1¡x é algébrica, pois esta função é solução da equação y3¡x2+x¡1=0.

Exemplo 2.75.

Todo polinômio y = P (x) é uma função algébrica, observe que é solução da equação y¡P (x)= 0 para todo x .

R.

Cálculo Diferencial em R

Exercícios 2-5

1

1.

Dada a função f(x)= v determinar sua função inversa f¡1(x) e a imagem de f(x).

x3 - 1 2.

Mostre que, para x> 0 a equação y+ | y j¡x¡| x j=0 determina a função cujo gráfico será a bissetriz do primeiro ângulo coordenado, entanto para x = 0 são as coordenadas de todos os pontos do terceiro quadrante (incluídos seus pontos de fronteira) as que satisfazem a equação dada.

3.

Dadas as seguintes funções reais, determine caso exista, sua função inversa.

x2 - 45

1:f(x)= x 2 - 5x +6 2:g(x)= 3:f(x)= x +2 7 - 2x

v

4:h(x)= px2 - 4x +4 5:s(x)= x+ | x +1 | 6:t(x)= x +2 - 5 4.

Se f(x)= x - 2a, determinar os valores da constante a de modo que f(a2)= f¡1(a - 2).

4+3x
5.

Seja f : A ¡.

[¡9, ¡1) definida por f(x)= :
1 - 3x

1.

Determinar A.

2.

Mostre que f é 1 - 1.

3:f é sobre?.

6.

Se f(x)= x +2c e f(c2)= f¡1(c), achar o valor de: f(1)
 

Construir o gráfico e determinar a imagem das seguintes funções: 1.

Construir o gráfico, determinar a imagem e verifique se as seguintes funções são inversíveis : 8>

Determine dois conjuntos A e B para que a equação a seguir determine uma função implícita f : A ¡.

Determine valores de a e b na expressão da função f(x)= ax2 + bx +5 para os quais seja válida a identidade f(x + 1) - f(x)=8x +3.

11.

Verifique se a função a seguir é par o ímpar justificando sua resposta.

Se o conjunto A é simétrico em relação à origem (se x .

A, então ¡x .

A) para toda f : A ¡.

R prove que a função: f(x)+ f(¡x) f(x) - f(¡x)
1.

é par.

2.

é ímpar.

2 2

13.

Apresente cada uma das seguintes funções como soma de uma função par e outra ímpar: 5

1.

y = x3 +3x +2 2:y =1 - x3 - x4 - 2x
14.

Mostre que o produto de duas funções pares ou ímpares é uma função par e, o produto de uma função par por uma ímpar é função ímpar.


Cálculo Diferencial em R

Seja n natural ímpar.

Mostre que f(x)= x é estritamente crescente no intervalo [0, +1).

Seja f(x)= para x .

I = (0, 1].

Pergunta-se: x

1.

Esta função é limitada superiormente? 2.

Esta função é limitada inferiormente? 3.

Existe max :f(x) ? 4.

Existe min :f(x) ? x2I x2I

17.

Análogo ao exercício anterior para a função: 1.

f(x)= x3 - x quando x .

I =[¡4, 4].

2.

f(x)= x2 - 2x +1 quando x .

I =[¡4, 4].

2x
18.

Mostre que é estritamente crescente nos intervalos (¡1, ¡2) e (¡2, +1).

x +2

19.

Mostre que toda função estritamente crescente ou estritamente decrescente é injetora.

v

n

20.

Seja n número natural ímpar, mostre que f(x)= x +1 é estritamente crescente em R.

21.

Sendo f(x) = sen x e g(x) = log x, pede-se determinar o valor de g[f(p )]
2

22.

Determine o possível valor para n .

Z para o qual 2x >xn para todas as x = 100.

23.

Seja f(x) = Ln(x).

Mostre que f(x)+ f(x +1) = f(x(x + 1)).

24.

Se f é uma função tal que f(1) = a, f(p)= b e f(x + y)= f(x)
· f(y), .

x, y .

R, então f(2 + p) é igual a: 25.

Sejam f : A ¡.

B e g : B ¡.

R duas funções.

Demonstre que: 1.

Se f e g são biunívocas, então gof é biunívoca? 2.

Se f e g são sobrejetivas, então gof é sobrejetiva? 3.

Se gof é biunívoca, então f é biunívoca.

4.

Se gof é sobrejetiva, então g é sobrejetiva.

26.

Em um certo clube de futebol, a taxa anual cobrada aos sócios é de R$300, 00 e o sócio pode utilizar campo de futebol pagando R$2, 00 por hora.

Em outro clube, a taxa é R$200, 00 e cobram R$3, 00 por hora de uso do campo de futebol.

Considerando as questões financeiras; que clube você escolheria ? 27.

As funções de oferta e demanda de um certo produto são respectivamente S(p)= p - 10 ¡1

e D(p)=5:600p.

1.

Calcular o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades em oferta e demanda.

2.

Construía as gráficos das funções num mesmo par de eixos.

28.

Um número de dois algarismos excede em uma unidade o sêxtuplo da soma de seus algarismos desse número.

Se a ordem dos algarismos desse número for invertida, o novo número terá nove unidades a menos do que o número original.

Encontrar o número original.

29.

As equações de oferta e demanda numa determinada fábrica estão dadas por q = 24 - p e q = 10 p - 20, funções lineares do preço.

Determine a quantidade de equilíbrio.

30.

Um grupo de estudantes dedicados á confeição de artesiana tem um gasto fixo de R$600:00, e em material gasta R$25:00 por unidade produzida.

Cada unidade será vendida por R$175:00.

1.

Quantas unidades os estudantes terão que vender para existir equilíbrio? 2.

Quantas unidades os estudantes terão vender para obter lucro de R$450:00? 31.

A folha de pagamento mensal de uma empresa é diretamente proporcional ao número de trabalhadores, sabendo que 20 dos trabalhadores tem uma folha de pagamento de R$3000, 00.

1.

Expresse o valor da folha de pagamento mensal como função do número de trabalhadores; 2.

qual a folha de pagamento para 18 trabalhadores? 32.

O preço a pagar pela locação de um automóvel é composto de duas partes: uma tarifa fixa diária de R$40, 00 e uma quantia de R$0, 15 por quilômetro rodado.

Mostre que o preço a ser pago pela locação de um destes automóveis por 5 dias e rodando 1200 km será, em reais, igual a R$380, 00.

33.

Suponhamos que em uma certa fábrica, o custo de montagem é diretamente proporcional ao número de máquinas usadas, enquanto o custo de operação é inversamente proporcional àquele número.

Mostre que o custo total é mínimo quando os custos de montagem e de operação são iguais.

Quando 0 <a< 1 Quando a> 1 Figura 2.36: Função exponencial

Propriedade 2.3.

x

E1) Se 0 <a< 1, a função f(x)= aé decrescente em todo seu domínio.

x

E2) Se a> 1, a função f(x)= aé crescente em todo em seu domínio.

108

E3)

E4) Se 0 <a< 1
quando x

E5) Se a> 1 então : a
x tende para ¡1.

x+z xz

E6) a= a:ae =