CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

Christian José Quintana Pinedo

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2.4.9 Função Valor Absoluto de x.

A função f : R ¡.

R definida por: f(x)=| x | é chamada “função valor absoluto de x”.

Seu domínio é D(f)= R e sua imagem é Im(f)= R+ .

Seu gráfico mostra-se na Figura (2.23).

2.4.10 Função Quadrática.

É a função f : R ¡.

R definida por f(x)= ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes reais com a 6

=0; o domínio D(f)= R e a imagem variam de acordo com o discriminante .

= b2 ¡4ac, seu gráfico é uma parábola que será estudada posteriormente.

É importante destacar que, para achar o vértice da parábola podemos usar a relação 2xa+b = b bb

0 , onde x = - assim, o ponto (- ;f(- )) é o vértice procurado; para o gráfico de f(x)

recomenda-se além do valor de x = - considerar os pontos x = - +1 e x = ¡- 1, para

2a 2a 2a estes pontos obteremos f(- b +1) = f(- b - 1).

2.4.11 Função Racional Inteira ou Polinômica.

É a função f : R ¡.

R definida por f(x)= anxn + an¡1xn¡1 + ¢¢· + a2x2 + a1x + a0, onde an 6¢· a2;a1 e a0 são constantes reais, esta função também é chamada "função

=0 e an;an¡1,
· polinomial de grau n"; (n .N).

O gráfico da função polinômica de grau n com n = 2 denomina-se parábola de ordem n; seu domínio D(f)= R e sua imagem Im(f) depende de n e da constante an.

2.4.12 Função Racional Fracionária.

É a função f : R ¡.

R definida por:

n¡1 +

P (x) anxn + an¡1x¢¢· + a2x2 + a1x + a0

f(x)= =

Q(x) bmxm + bm¡1xm¡1 + ¢¢· + b2x2 + b1x + b0

onde P (x) e Q(x) são funções polinômicas de graus n e m respectivamente anbm 6

=0, o domínio D(f)= { x .R=.Q(x) 6 e an =0 } e a imagem vária depende de n;m bm.

Algumas vezes, uma função é definida por uma regra x 7¡.

f(x) ou simplesmente, f(x) sem explicitarmos seu domínio e contradomínio.

Fica, subentendido que o contradomínio é R e o domínio é o maior subconjunto de R para o qual f(x) é um número real.

Exemplo 2.42.

Escrever somente uma expressão para a função: f(x) = .

0, x, se, se, x = 0 x > 0 Solução.

Quando x> 0 temos que | x j= x, logo f(x)= = .

Por outro lado, se x = 0

então | x j= ¡x assim 0= x - x = x +(¡x)= x+ | x j== f(x).

Portanto, f(x)= .

Exemplo 2.43.

a) Mostre que para qualquer função polinômica f e qualquer número a existe uma função polinômica g e um número b tal que f(x)=(x - a)g(x)+ b.

b) Mostre que se f(a)=0, então f(x)=(x - a)g(x) para alguma função g (A recíproca é evidente).

c) Mostre que se f é uma função polinômica de grau n, então f tem no máximo n raízes e existem no máximo n números a tais que f(a)=0.

d) Mostre que para todo n existe uma função polinômica de grau n com raízes.

Se n é par achar uma função polinômica de grau n sem raízes, e se n é ímpar achar somente com uma raíz.

Solução.

a) Se o grau de f é 1, podemos escrever f(x)= cx + d = c(x - a)+(d + ac)=(x - a)g(x)+ b, onde g(x)= c e b = d + ac.

Por indução sobre n .

Suponha o resultado válido para n = h.

Se f é de grau h+1 + ahx

h +1 tem a forma f(x)= ah+1xh + ¢¢· a1x + a0, considerando a função j(x)= f(x)¡ah+1(xh+1¡a) então o grau de j(x) é n = h e pela hipótese indutiva podemos escrever j(x)= f(x) - ah+1(xh+1 - a)=(x - a)g(x)+ b .

f(x)=(x - a)[j(x)+ ah+1]+ b,e

temos a forma requerida.

b) Pela parte a) podemos supor f(x)=(x - a)+ b, então 0= f(a)=(a - a)g(a)+ b = b; de modo que f(x)=(x - a)g(x).

c) Suponha f tem n raízes, a1;a2, ¢¢· ;an então pela parte b) podemos escrever f(x)=

(x - a)g1(x) onde o grau de g1(x) é n - 1.

Porém f(a2)=(a2 - a1)g1(a2) de modo que

g1(a2)=0 pelo fato a1 6

= a2.

Logo podemos escrever f(x)=(x - a1)(x - a2)g2(x) onde o grau de g2(x) é n - 2.

Prosseguindo deste modo podemos obter f(x)=(x - a1)(x - a2)(x - a3) ¢¢· (x - an)
· c para algum c 66se a =6a1;a2, ¢;an.

logo f pode ter n raízes.

É óbvio que f(a)=0

d) Se f(x)=(x - 1)(x - 2)(x - 3)
· (x - n), então f tem n raízes.

Se n é par f(x)= xn +2 não

tem raízes ( em R), se n é ímpar f(x)= xtem como única raiz x =0.

Seja p

chamada de = ou q = D(p).

dente p =

Curva de demanda Curva de oferta Figura 2.24: Figura 2.25: Definição 2.12.

• A relação q = D(p) é chamada “função de demanda”,e D(p) é o número de unidades de mercadoria que será demandadas se p for o preço por unidade.

• A relação p = C(q) é chamada “função de custo total”,e C(q) é o preço de uma unidade de mercadoria quando q unidades são demandadas.

• A relação R = R(q) representa a função receita total, gerada pela venda de q unidades do produto.

• A função lucro total é definido como sendo a diferença entre a receita total e o custo total; L(q)= R(q) - C(q) isto representa o lucro ao vender q unidades do produto.

No que segue utilizaremos a seguinte notação de funções:

a) C = C(q) Custo total.

b) CM = CM(q) Custo Médio.

c) R = R(q) Receita total.

d) RM = RM(q) Receita Média.

e) D = D(q) Demanda.

f) S = S(p) Oferta.

Exemplo 2.44.

Consideremos a seguinte equação de demanda: p2 +2q - 16 = 0.

Em situações econômicas, pas variáveis q e p não são negativas, tem-se p = 16 - 2q quando 16 - 2q = 0.

Portanto a p função custo total do preço para a equação de demanda é p = C(q)= 16 - 2q.

Da equação de demanda tem-se q = D(p)=8 - p que expressa q como função de p.

Definição 2.13.

• O custo médio da produção CM = CM(q) de cada unidade é obtido mediante a relação C(q)
CM(q)= chamada “função custo médio”.

q

• Ao dividir a receita total R(q) pela quantidade q de unidades produzidas obtém-se RM(q)= R(q) chamada “função receita média”.

q

Exemplo 2.45.

Uma imobiliária estima que o lucro mensal L em reais que obtém ao alugar um prédio de q andares é dado pela equação L(q)= ¡2q2 + 92q, qual é número de andares que torna mais rentable o aluguel do prédio? Solução.

Temos que L(q)= ¡2q2 + 92q = 2(46q - q2) .

L(q) = 2[232 - 232 + 46q - q2]=

2[232 - (23 - q)2] quando q = 23;L(23) = 1058 é o máximo absoluto.

Portanto, é mais rentable o aluguel de um prédio de 23 andares.

Em geral ao conjunto de empresas que produzem uma mesma mercadoria chamamos de

industria; por exemplo, ao conjunto de todas as empresas de confeição de calçados do Brasil, chamamos indústria de calçados do Brasil.

O mercado para uma determinada mercadoria consta da indústria e dos consumidores (em geral); a equação de oferta do mercado é determinada pelas equações de oferta das empresas integrantes do mercado; e a equação de demanda do mercado é determinada pelas equações de demanda de todos os consumidores.

Exemplo 2.46.

Uma companhia aérea tem como tarifa fixa R$800 e transporta 8:000 passageiros cada dia.

Ao considerar um aumento na tarifa, a companhia determina que perderá 400 passageiros por cada R$50 de aumento.

Sob estas condições; qual; dever ser o aumento para que o ingresso seja máximo? Solução.

Christian Quintana Pinedo

Seja x o número de aumentos de R$50 na tarifa, então a tarifa resultante é R$(800 + 50x) e

o número de passageiros será de 8:000 - 400x.

A função que determina o ingresso total é: I(x) = (800+50x)(8000 - 400x) = 20:000(320 + 4x - x2) com 0 = x = 20 .

I(x) = 20:000(320 + 4x - x2) = 20:000[324 - (4 - 4x + x2)] = 20:000[324 - (x - 2)2].

Observe que, quando x =2 teremos máximo valor para I(x).

Logo o aumento tem que ser de R$100 e o custo de

cada passagem será de R$900.

p 6

Observação 2.7.

O equilíbrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria demandada a um determinado preço,

S(p)

é igual à quantidade de mercadoria oferecida àquele p0

D(p)

preço.

-

Quando ocorre o equilíbrio de mercado, a quanti

q0 q

dade de mercadoria produzida é chamada “quantidade de equilíbrio”; e, o preço da mercadoria é chamado preço de equilíbrio.

Definição 2.14.

Definimos o “ponto de equilíbrio” como aquele ponto de interseção do gráfico da curva de oferta com o da demanda.

Suas coordenadas são o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio.

Na Figura (2.26) mostra-se o ponto de equilíbrio; se o preço está acima do preço de equilíbrio, há excesso de oferta e o preço tende a cair; se o preço está abaixo do ponto de equilíbrio, há escassez de oferta e o preço tende a subir.

.

Exemplo 2.47.

Dadas as funções de custo total, determine a função de custo médio:

a) C(q)=2q3 - 12q2 + 50q + 40 2

60 q

b) C(q)=300+ +

q 6

Solução.

40 300 q

a) CM =2q2 - 12q + 50 + b) CM(q)= +60+ .

qq 6

Exercícios 2-3

1.

Que número excede o seu quadrado o máximo possível?.

2.

A diferença entre dois números é 8.

1:) Determine o menor deles para que o produto seja o menor possível; 2:) Qual é o menor valor desse produto ? 3.

Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por f(x)= 2x - 3 e f(g(x)) = ¡4x +1.

Nestas condições, determine g(¡1).

4.

Determine o coeficiente angular da equação da reta que passa pelos pontos indicados: 1:A(1, ¡3) e B(0, 1) 2:M(0, 1) e N(3, 2) 3:P (¡1, 3) e Q(5, ¡2) 4:C(0, 1) e D(0, 5) 5:B(¡1, 2) e C(3, ¡5) 6:S(3, 9) e T (3, 7) 7:M(¡1, 6) e P (5, 6) 8:G(3, 6) e H(1, 4) 9:P (5, 3) e S(5, 2) 5.

Determine a equação da reta que passa pelos pontos indicados; desenhar o gráfico: 1:A(1, ¡3) e B(0, 1) 2:M(0, 1) e N(3, 2) 3:P (¡1, 3) e Q(5, ¡2) 4:D(3, ¡1) e E(1, 1) 5:A(3, ¡2) e B(3, 2) 6:R(¡1, 3) e U(3, ¡2) 7:F (2, 8) e G(0, 0) 8:Q(7, 1) e S(8, 12) 9:S(6, 8) e R(5, 12) pv

6.

Mostrar que os pontos P1(3, 3);P2(¡3, ¡3);P3(¡33, 3 3) são os vértices de um triângulo equilátero.

7.

Se P1(¡4, 2) e P2(4, 6) são os pontos extremos do segmentos retilíneo orientado P1P2, achar as coordenadas do ponto P (x, y) que divide este segmento na razão P1P : PP2 = ¡3.

8.

Determinar o ângulo agudo do paralelogramo cujos vértices são pontos A(¡2, 1), B(1, 5), C(10, 7) e D(7, 3).

9.

Demonstrar analíticamente que os segmentos que unem os pontos médios dos lados sucessivos de qualquer quadrilátero formam um paralelogramo.

10.

Provar analíticamente que, se as diagonais de um paralelogramo são mutuamente perpendiculares o paralelogramo é um losango.

11.

Determinar a equação da linha reta que contém o ponto (¡3, 1) e é paralela à reta que passa pelos dois pontos (0, ¡2) e (5, 2).

12.

Determinar a equação da mediatriz do segmento retilíneo cujos extremos são os pontos (¡2, 1) e (3, ¡5).

13.

Mostre que duas retas, L1 : Ax+By+C =0 e L2 : A0x+B0y+C.

=0 são perpendiculares, se A:A.

14.

A equação de uma reta L é 5x - 7y +11 = 0.

a) Escrever a equação que representa todas as retas paralelas a L.

b) Determinar a equação da reta paralela a L que passe por P (4, 2).

15.

Traçar a curva cuja equação é: x2 + xy2 - y2 =0.

16.

Uma fábrica de equipamentos eletrônicos esta colocando um novo produto no mercado.

Durante o primeiro ano o custo fixo para iniciar a nova produção é de R$140:000 e o custo variável para produzir cada unidade é R$25.

Durante o primeiro ano o preço de venda é R$65 por unidade.

(a) Se X unidades são vendidas durante o primeiro ano, expresse o lucro do primeiro ano como uma função de X.

(b) Estima-se que 23:000 serão vendidas durante o primeiro ano.

Use o resultado da parte (a) para determinar o lucro do primeiro ano, se os dados de venda forem atingidos.

(c) Quantas unidades precisam ser vendidas durante o primeiro ano para que a fábrica não ganhe nem perda ? 150

17.

Dadas q =4p - 5 e q = +29 respectivamente funções de oferta e demanda para um p + 15

certo produto, faça seus gráficos num mesmo eixos de coordenadas e determine o ponto de equilíbrio

18.

O preço unitário de um certo produto é 5, e o custo fixo de produção é 40; colocado no mercado, verificou-se que a demanda para esse produto era dada pela relação p = 15 - 5
q .

(a) Determine as funções C (Custo) e R (Receita) para esse produto e faça seus gráficos num mesmo sistema de eixos.

(b) Determine a função Lucro e faça o seu gráfico.

Observe que o lucro L é zero quando C = R.

(c) Para que valores de q temos L = 0? (d) Determine funções de Receita Média e Custo Médio a faça seus gráficos.

19.

O custo total para produzir q unidades de um determinado produto é C(q)= q2 + 20q +5 reais, e o preço de venda de uma unidade é de (30 - q) reais.

a) Achar a função de lucro total.

b) Achar a função de receita total; c) Qual é o custo médio para q = 10?.

d) Determine a função de demanda.

20.

O custo mensal fixo de uma fábrica que produz esquis, é R$4:200 e o custo variável R$55 por par de esquis.

O preço de venda é R$105 por par de esquis.

(a) Se x pares de esquis são vendidos durante um mês, expresse o lucro mensal como função de x.

(b) Use o resultado da parte (a) para determinar o lucro de dezembro se 600 pares de esquis foram vendidos nesse mês.

(c) Quantos pares de esquis devem ser vendidos para que a fábrica encerre um mês sem lucro nem prejuízo? 21.

Um fabricante de dois tipos de ração para aves, produz x toneladas por dia da ração A e x - 3 y toneladas da ração B onde y = .

Determine a função receita total, sabendo que os preços fixos por tonelada são respectivamente p1 e p2 onde p2 = p1.

As equações de demanda e oferta do mercado são respectivamente q2 + p2 - 36 = 0 e 2qp +4 = 0 onde p é o preço em reais R$, e 100q unidades a quantidade.

Trace um esboço das curvas de oferta e demanda num mesmo sistema de coordenadas.

Determine a quantidade e o preço de equilíbrio.