CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

Christian José Quintana Pinedo

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2.3.7 Função Real de Variável Real.

Definição 2.11.

Sejam A e B subconjuntos não vazios de números reais, uma função f : A ¡.

B é denominada função real de variável real ou função de uma variável real a valores reais.

Daqui por diante, todas as funções que trataremos serão funções reais de uma variável real.

Exemplo 2.28.

Seja f = { (x, y) .

A × B =:y =2x +1 } onde A = R e B = N, então temos: 113 n - 1

f = { (- , 0), (0, 1), (, 2), (1, 3), (, 4), ¢¢· , (;n) g

222n x - 1

neste caso o domínio D(f)= { =:x .

Rg.

A e a imagem Im(f)= B.A Figura (2.13)

x mostra o gráfico da função f.

Exemplo 2.29.

Seja g : A ¡.

B uma função definida por: 80, 5, se, 0 = x< 2

onde A e B são subconjuntos de R.

O gráfico da função g(x) mostra-se na Figura (2.14).

Exemplo 2.30.

Seja h(x) = x3 , determine o valor da expressão: h(b) - h(a) b - a sendo (a - b) 6
= 0.

Solução.

Determinamos os valores da função dada para x = b e x = a; isto é h(b)= b3 e h(a)= a.

h(b) - h(a) b3 - a(b - a)(a2 + ab + b2)

Assim, == = a 2 + ab + b2, o último acontece pelo

b - ab - ab - a

fato a 6¤

= b.

Observação 2.4.

No que segue a função terá como regra de correspondência x 7¡.

f(x) sem explicitar seu domínio D(f) e imagem Im(f).

Fica estabelecido que o domínio é um subconjunto do conjunto de números reais R para o qual f(x) é um número real.

O gráfico das funções será feito num sistema de coordenadas cartesianas.

Exemplo 2.31.

Determine o domínio e imagem da função f(x)= x2 - 6x +5.

Solução.

Observe que f(x)= x2 - 6x +5 = (x - 3)2 - 4, sendo (x - 3)2 sempre positivo, então .

x .

R;f(x)
¸¡4.

Logo D(f)= R e Img(f)=[¡4, +1).

Cálculo Diferencial em R

Exercícios 2-2

Seja f(x)= interpretar o seguinte: 1+ x

Determine números c de modo que existam x tais que f(cx)= f(x).

Determine números c, tais que f(cx)= f(x) para valores distintos da variável x.

Determine o domínio das seguintes funções: pv 11

Calcular f(a) para as seguintes funções: x +1 1.

Desenhar o gráfico das seguintes funções: 1:g(x)= f(x)+ c 2:g(x)= f(x + c) 3:g(x)= c:f(x) 4:g(x)= f(cx) 5:g(x)= f(1=x) 6:g(x)= f(| x j) 7:g(x) = min :ff(x), 0} 8:g(x) = max :ff(x), 0} 5.

Sejam os conjuntos A = [1, 4];B =[¡1, 1] e C =[¡3, 1] e considere as funções f : A ¡.

R;g : B ¡.

R e h : C ¡.

R, assim definidas: a cada número x corresponde seu quadrado x2.

Quais das funções são injetoras?.

6.

A função constante f(x)= k, pode ser biunívoca? E, sobrejetiva? 7.

Sabe-se que ¡2 e 3 são raízes de uma função quadrática.

Se o ponto (¡1, 8) pertence ao gráfico dessa função, então: 8.

Num circuito a tensão vá diminuendo uniformemente (conforme a lei linear).

Ao inicio do experimento a tensão era igual a 12V e ao final do mesmo experimento, que duro 8sg,a tensão baixo ate 6, 4V .

Expressar a tensão V como função do tempo t e construir o gráfico para esta função.

9.

Una esfera de raio R tem inscrito um cone reto.

Achar a dependência funcional entre a área da superfície lateral S do cone e sua geratriz x.

Indicar o domínio de definição de esta função.

Certa quantidade de gás ocupo o volume de 107cmà temperatura de 20oC; para una temperatura de 40oC o volume chegou a ser igual a 114cm3: 1.

Aplicando a lei de Gay-Lussac formar a equação que expresse a dependência entre o volume V do gás e a temperatura T oC.

2.

Qual seria o volume a 0oC? 11.

(Provão 99) O dono de um restaurante resolveu modificar o tipo de cobrança, misturando o sistema a quilo com o preço fixo.

Ele instituo o seguinte sistema de preço para as refeições: Até 300gR$3:00 por refeição Entre 300g e 1kg R$10:00 por quilo Acima de 1kg R$10:00 por refeição

Representar gráficamente o preço das refeições nesse restaurante.

12.

A medida da temperatura em graus Fahrenheit é uma função linear da medida em graus centígrados: 1.

Escrever a equação de esta função (lembre que 0oC = 32oF e 100oC = 212oF ).

2.

Utilizar a função obtida no item anterior para transformar 15oC a graus.

Fahrenheit.

13.

O valor da função de argumento inteiro u = f(n) é igual ao número de divisores inteiros do argumento n distintos de 1 e do mesmo n.

Formar a tabela dos valores de u para 1 = n = 18.

14.

Uma bola foi abandonada do teto de um edifício.

A altura do edifício em metros depois de t segundos é dada pela função H(t)= ¡16t2 + 256 1.

Em que altura estará a bola depois de 2 segundos ? 2.

Que distância terá recorrido a bola no 3o segundo ? 3.

Qual é a altura do edifício ? 4.

Depois de quantos segundos a bola chegará ao solo ? 1 - 2 - 1 -
15.

A seguinte “barra” está formada por três seg-A x M -.

mentos de comprimentos iguales a 1; 2; 1 centímetros, e o peso é igual a 2; 3; 1 unidades de .

peso respectivamente.

O peso do segmento de comprimento AM é igual a f(x), que é função de x.

Para que valores de x está definida esta função?.

Apresentar sua forma analítica desta função e construir sue gráfico.