C?LCULO DIFERENCIAL EM R

2.7.2 Função Logarítmica.

A função logarítmica, é a função inversa da função exponencial.

Das propriedades E1 e E2 conclui-se que a função exponencial de base a dada por f(x) = a^x quando a > 0 e a  1 é injetora em seu domínio R e por tanto admite função inversa que é chamada `` Função logarítmica de base a}'' e está definida pela função g: (0, + )  R tal que g(x) = log_ax .

Seu domínio é Dg = (0, + ) e sua imagem Im(g) = R .

Figura 2.37 Figura 2.38

Na Figura 2.37 mostra-se o gráfico de g(x) = log_ax , se 0 < a < 1 e na Figura 2.38 se mostra o gráfico de g(x) = log_ax , se a > 1 .

Por definição de função inversa, temos :

1) f(g(x))=x,  x  (0, + ) ou a^{log_ax} = x  x  (0, + ) .

2) g(f(x))=x,  x  R ou log_a(a^x) = x  x  R.

Em resumo: a^y = x se e somente se y = log_ax .

Por exemplo, 3^4 = 81 se e somente se 4= log_3(81)

Propriedade 2.4 Função logarítmica de base a

L1) Se 0 < a < 1 , a função g(x) = log_ax é decrescente em R^+ .

L2) Se a > 1 , a função g(x) = log_ax é crescente em R^+ .

L3) Se A, B e N são números reais positivos, então:

a) loga(A B) = loga A + loga B b) loga (a/b) = loga A - loga B

c) log_{a^k}(A^B) = [B/k] loga A d) loga(A^r) = r.loga A r  R

e) log_BA = {log_cA}/{log_cB} Fórmula de mudança de base

L4) O gráfico de toda a função logarítmica passa por P(1, 0) .

L5) Se 0 < a < 1 , então: tende para +  quando x tende para zero (pela direita), e tende para -  quando x tende para +  .

L6) Se a > 1 , então : log_ax tende para -  quando x tende para zero (pela direita), e log_ax tende para +  quando x tende para +  .

Demonstração L3-e)

Suponha z= log_BA , então B^z = A . Considerando logaritmo na base c temos: log_cB^z = log_cA da Propriedade (L3-d) temos z.log_cB = log_cA .

Logo z = {log_cA}/{log_cB} isto é logBA = {log_cA}/{log_cB} .

Exemplo 2.76

Sejam f(x) = (a^x + a^{-x}) e g(x) = (a^x - a^{-x}) mostre que:

i) f(x+y) = f(x)f(y) + g(x)g(y) ii) g(x+y) = f(x)g(y) + f(y)g(x) }

Solução i)

Temos:

f(x+y) = [a^{x+y} + a^{-x-y}] 2.1

Por outro lado:

f(x). f(y) = (ax + a-x) . (ay + a-y) = (a^{x+y} + a^{x-y} + a^{-x+y} + a^{-x-y)} .

g(x) .g(y) = (ax - a-x) (ay - a-y) = (a^{x+y} - a^{x-y} - a^{-x+y} + a^{-x-y}) .

Logo

f(x) .f(y) + g(x).g(y) = (2a^{x+y} + 2a^{-x-y}) = (a^{x+y} + a^{-x-y}) 2.2

De (2.1) e (2.2) tem-se f(x+y) = f(x)f(y) + g(x)g(y) \

Solução ii)

Temos

g(x+y) = (a^{x+y} - a^{-x-y}) 2.3

Por outro lado;

f(x)g(y) + f(y)g(x) = (ax + a{-x}) (ay - a{-y}) + (ay + a-y) (ax - a-x) =

= [( a{x+y} - a{x-y} + a{-x+y} - a{-x-y}) +( a{y+x} - a{y-x} + a{-y+x} - a{-y-x})] =

(2a^{x+y} - 2a^{-x-y}) = (a^{x+y} - a^{-x-y}) 2.4

De (2.3) e (2.4) tem-se g(x+y) = f(x)g(y) +f(y)g(x) .

Exemplo 2.77

Determine o domínio de definição da função f(x) = log_{1/2}[ {3-5x}/{x+7} ] .

Solução

Da definição da função logaritmo temos que {3-5x}/{x+7} > 0 isto é -5(x -3/5)(x+7) > 0 . Onde o domínio D(f) = (-7, 3/5) .

Exemplo 2.78

Se " a " e " b " são soluções do sistema: 2^x = 2^{10-y} e log_2 a + log_2 b = 4 , então 2^a + 2^b é igual a:

Solução

Figura 2.39:

Como " a " e " b " são soluções do sistema então 2^a 2^{b-10} = 1 e log_2 a + log_2b = 4 de onde 2^{a+b} = 2^{10} e log_2(ab) = 4  a + b = 10 e ab = 2^4 = 16 ; isto satisfaz se a = 8 e b = 2 .

Portanto 2^a + 2^b = 2^8 + 2^2 = 260.

Exemplo 2.79

Uma rampa para manobras de "skate" de altura 4 m é representada pelo esquema da Figura 2.39. Se a parte curva pudesse ser associada a uma função exponencial, como seria esta função?

Solução

Observe que podemos obter a seguinte tabela de valores:

x 0m 1m 2m 3m 4m

f(x) 4m 2m 1m 0,5m 0,25m

Portanto f(x) = ( )^{x-2}

Exercícios 2-6

1. Nos seguintes exercícios resolva para x .

1. log1010000 = x 2. log100,01 = x 3. log4[1/256 = x

4. logx81 = 3 5. e^{Ln x} = 6. x^2 - 8x = log4 (256)^{-1}

7. log2x = -5 8. Ln x = -2 9. log35x + log35(x+2) = 1

2. Traçar o gráfico para as seguintes funções:

1. y = -(6)^x 2. y =4^x 3. y = [5/4 t]^x

4. y = ( )^x 5. y =  ^{-2x} 6. y = -(2^{-x}

7. log_4x^2 8. log_3(x-1) 9. log_e e^x

3. Determine se as seguintes funções dadas são inversas uma da outra esboçando seus gráficos no mesmo sistema de eixos. Calcular seu domínio e imagem para cada uma das funções:

1. .f(x) = 2e^x g(x) = Ln 2. f(x) = e^x+1 g(x) = Ln(x-1)

3. f(x) = e^{2x+1} g(x) = 1 - Ln 2x 4. f(x) = e^{3x} g(x) = Ln x^{-3}

4. Mostre que as seguintes funções dadas são inversas uma da outra esboçando seus gráficos no mesmo sistema de eixos. Calcular seu domínio e imagem para cada uma das funções.

1. f(x) = e^{2x} g(x) = Ln } 2. f(x) = e^x-1 g(x) = Ln(x+1)

3. f(x) = e^{x-1} g(x) = 1 + Ln x 4. f(x) = e^{x/3} g(x) = Ln x^3

5. Resolver as seguintes equações:

1. x = log1/6 36 2. x = log_{3^ }cos 30o 3. x = log_{2^3}5^{ }

4. log25 x = 3 5. x = log_{2^x}( )^4 = 6 6. x^{x-1} = 1/27}

7. x(x-2) = log 10 8. log_x 10 = 4/3 9. 1/3 log1/4x = 1/2

6. Se f(x) = log[(1-x)/(1+x)] mostre que f(a) + f(b) = f(x) = log[(1-x)/(1+x)] .

7. Se f(x) = 4^x e x_1, x_2 e x_3 são três números em progressão aritmética então demonstrar que f(x_1), f(x_2) e f(x_3) estão em progressão geométrica. Qual é a razão ?

8. Suponha que a t horas da madrugada a temperatura de uma cidade seja, C(t) = - t^2/7 + 4t + 8 graus centígrados. a) Que temperatura tinha as 14 horas ? b) Em que tanto aumento o diminuo a temperatura, entre 6 e 7 horas?

9. Suponha que o custo total para fabricar q unidades de um certo produto seja dada pela função C(q) = q^3 - 30q^2 + 400q + 500 .

1. Calcular o custo de fabricação de 20 unidades.

2. Calcular o custo de fabricação da 20^a unidade.

10. A folha de pagamento (F.P) diária de uma equipe de trabalho é diretamente proporcional ao número de trabalhadores ( T ), e uma equipe de 12 trabalhadores tem uma folha de pagamento de R$ 540 .

1. Expresse o valor total da folha de pagamento diária como função do número de trabalhadores.

2. Qual a folha de pagamento de uma equipe de 15 trabalhadores.

11. Numa cidade de 70.000 habitantes a taxa de crescimento de uma epidemia é conjuntamente proporcional ao número de pessoas infectadas e ao número de pessoas não infectadas.,

1. Se a epidemia esta crescendo a razão de 20 pessoas

por dia quando 100 pessoas estão infectadas, expresse a taxa de

crescimento da epidemia em função de número de pessoas infectadas.

2. Quão rápido está se espalhando a epidemia quando 400 pessoas estão infectadas?