Definição 2.22.
Seja f : A ¡.
R uma função real.
a) Dizemos que a função f é “limitada superiormente“, quando existe M1 .
R tal que f(x) = M1 .
x .
D(f).
b) Dizemos que a função f é“limitada inferiormente”, quando existe M2 .
R tal que M2 = f(x) .
x .
D(f).
c) Se uma função for limitada superiormente e inferiormente, diz-se que ela é “limitada”, em
conseqüência temos que existe M .
R tal que | f(x) j= M .
x .
D(f), sendo M =
max :f| M1 j, | M2 jg.
Cálculo Diferencial em R 101
d) Se existe x .
D(f) tal que | f(x) j= M para algum M suficientemente grande, dizemos que f(x) é “função não limitada”.
Definição 2.23.
a) Se uma função f for limitada superiormente, o supremo do conjunto Im(f) denomina-se “supremo da função“, e indica-se com: sup :f(x)
x2A
b) Se o supremo do conjunto Im(f) for máximo, ele se denomina máximo da função f, e indica-se com: max :f(x) .
x2A
c) Se a função f é limitada inferiormente, o ínfimo do conjunto Im(f) denomina-se ínfimo da função, e indica-se com: inf :f(x).
x2A
d) Se o ínfimo do conjunto Im(f) for mínimo, ele se denomina mínimo da função f, e indica-se com: min :f(x) .
x2A
Exemplo 2.72.
a) A função constante f(x)= k, .
x .
R (k constante) é limitada, observe que sup :f(x)=
x2R
max :f(x) = inf :f(x) = min :f(x)= k.
x2R x2R x2R
b) A função h(x)= x2 definida no intervalo A =(¡2, 3) não é limitada; observe que sup :h(x)=
x2A
9 e inf :h(x) = 0 = min :h(x) porém não existe max :h(x) .
Esta função somente é limitada
x2Ax2Ax2A
inferiormente.
c) A função g(x)= x2 definida no intervalo A =[¡2, 3] é limitada; observe que sup :h(x)=9=
x2A
max :h(x) e inf :h(x) = 0 = min :h(x).
x2Ax2Ax2A