C?LCULO DIFERENCIAL EM R

2.3.6 Função: Biunívoca; Sobrejetiva; Bijetiva.

Definição 2.8.

Função Biunívoca.

Se diz que uma função f : A .

R ¡.

B com domínio , é biunívoca se elementos distintos de A tiverem imagens distintas; isto é para qualquer x1;x2 .

A com 6x2 tem-se que

x1 = f(x1) 6

= f(x2).

A Definição (2.8) é equivalente a:

Se diz que uma função f : A .

R ¡.

B, é “biunívoca” se para qualquer x1;x2 .

D(f) com f(x1)= f(x2) tem-se que x1 = x2.

Por exemplo, a função f : R ¡.

R definida por f(x)=3x é biunívoca pois se x1 6

= x2 então 3x1 66

=3x2, portanto f(x1)= f(x2).

Definição 2.9.

Função sobrejetiva.

Dizemos que uma função f : A .

R ¡.

B, é sobrejetiva se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio.

Isto é, para todo y .

B, existe x .

A tal que f(x)= y; logo, a função f : A .

R ¡.

B é sobrejetiva se Im(f)= B.

Definição 2.10.

Função Bijetiva.

Uma função é bijetora quando ela é sobrejetiva e biunívoca (ambas as condições).

Por exemplo, a função f : R ¡.

R definida por y =3x é biunívoca, como vimos no exemplo

anterior.

Ela também é sobrejetiva, pois Im(f)= B = R.

Logo, esta função é bijetiva.

A função g : N ¡.

N definida por y = x +5 não é sobrejetiva.

Pois Im(g)= { 5, 6, 7, 8, ¢¢¢g

e o contradomínio é N, mas é biunívoca, pois valores diferentes de x têm imagens distintas.

Então essa função não é bijetiva.

Exemplo 2.24.

Considere os conjuntos A = f5, 6, 7, 8} e B = f1, 2, 3, 4, 9} definida pela equação y = x¡4.

Para cada a .

A fica associado um único y .

B.

Considerando y = f(x)= x - 4 tem-se f(5) = 1;f(6) = 2;f(3) = 7 e f(8) = 4.

Esta função é biunívoca, não é sobrejetiva (para o elemento 9 .

B, não existe um elemento

em A), logo não é bijetiva.

Observação 2.3.

São sinônimos de função biunívoca: Função injetora ou função um-a-um.

Exemplo 2.25.

a) Sejam A = { 1, 3, 9, 10 } e B = { 2, 3, 4, 5 } e f : A .

B a função definida por f(1) = 2;f(9) = 3;f(3) = 4 e f(11) = 5 é função bijetiva.

b) A função h = { (x, y) .

R2 =.

y = x2 + 1; ¡3 <x = 3 } não é biunívoca.

Exemplo 2.26.

Expressar a dependência funcional f(x) entre o cateto de um triângulo retângulo e o comprimento x do outro cateto, sendo a hipotenusa constante igual a 5.

Solução.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, tem-se da Figura (2.11) que : 2 22

AC = AB + BC

p

2222

2

logo, BC = AC - AB , isto é BC =52 - x2 onde: BC = 25 - x.

v

2

Assim, f(x)= 25 - x.

Exemplo 2.27.

Expressar a área de um trapézio isósceles de base a e b como função do ângulo a da base a.

Solução.

Pelo Teorema de Pitágoras, a altura do trapézio da Figura (2.12) é BE, da definição da BE

tangente de um ângulo, tem-se que, tan a = ; dos dados do problema vem que AD = a e

AE a - b

BC = b, logo AE =

Área do trapézio =
·AD + BC × BE =
· tan ®

Portanto, a área do trapézio é: f(®) = tan ®.