CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

Christian José Quintana Pinedo

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2.4 Funções Especiais.

2.4.1 Função Afim.

É a função f : R ¡.

R definida por f(x)= ax + b .

R, onde a e b são constantes reais não nula; o domínio da função D(f)= R e a imagem Im(f)= R; o gráfico é uma reta oblíqua ao eixo das abscissas como mostra a Figura (2.15); ela intercepta o eixo 0!y no ponto (0;b) eo eixo 0x no ponto (- , 0).

Exemplo 2.32.

A função f(x)=3x +5 é uma função afim, seu domínio D(f)= R e sua imagem o conjunto Im(f)= R.

Exemplo 2.33.

A função f(x)= é uma forma disfarçada da função afim g(x)= x +3.

x - 3 Seu domínio é D(f)= R- 3 e Im(f)= R- 6.

2.4.2 Função Constante.

Quando na função afim temos que a =0 então a função f : R ¡.

R é chamada "função constante"sendo definida por f(x)= b .

R, onde b é um número real constante.

O domínio D(f)= R e Im(f)= { b } e o gráfico é uma reta horizontal como mostra a Figura (2.16).

Observe que a função associa a todo x .

R um mesmo número real b.

Exemplo 2.34.

Seja y = f(x) onde f(x)=5, então y =5 representa a função constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas a cinco unidades de distância superiormente.

2.4.3 Função Identidade em R.

Quando na função afim a =1 e b =0 resulta a função f : R ¡.

R chamada ”função identidade“ definida por f(x)= x .

O domínio da função D(f)= R e a imagem Im(f)= R; o gráfico é uma reta oblíqua que faz ângulo de 45o com o eixo das abscissas como mostra a Figura (2.17).

2.4.4 Função Linear.

Se, na função afim a constante b =0 temos a função f : R ¡.

R chamada "função linear"
definida por f(x)= ax .

x .

R; o domínio D(f)= R e Im(f)= R e o gráfico é uma reta oblíqua que não necessariamente faz ângulo de 45o graus com o eixo x, como mostra a Figura (2.18).

É uma reta que não é paralela a nenhum dos eixos; o número a é o coeficiente angular dessa reta.

2.4.5 Equação de uma Reta.

A função afim f(x)= ax + b onde a e b são constantes, é a equação de uma reta no plano R2; seu domínio e imagem são todos os números reais salvo alguma restrição.

Existem situações nas quais a taxa de variação de uma quantidade com relação a outra é constante.

Por exemplo, suponhamos que para fabricar um determinado produto tenhamos a pagar R$20, além de uma despesa fixa semanal de R$300.

Então se x unidades forem produzidas por semana e y reais for o custo total semanal para o fabricante; então y = 20x + 300.

Soluções para esta equação são dadas na seguinte tabela:

x 0 10 20 30 40 y = 20x + 300 300 500 700 900 1500

A relação dada no exemplo precedente, representa a equação de uma reta; em geral, dados dois pontos P (x1;y1) e Q(x2;y2) de uma reta, para determinar sua equação no plano R2 procedemos do seguinte modo:

Considere os pontos P (x1;y1) e Q(x2;y2) do triângulo P RQ como mostra a Figura (2.19).

y1 - y2

A tangente do ângulo \P QR é dada por: tan(P QR)= este valor da tangente é

x2 - x1 denominado ‘‘coeficiente angular da reta que passa pelos pontos PQ”; e denotada por: m = y1 - y2

Se (x, y) é um ponto quaisquer da reta que passa por P e Q, das relações geométricas para y - y1 y1 - y2

triângulo retângulo tem-se que: = isto é y - y1 = m(x - x1).

x - x1 x2 - x1 Portanto, a equação da reta L, que passa pelos pontos P (x1;y1) e Q(x2;y2) é dada pela fórmula:

Determine a equação da reta no plano cartesiano, que passa pelos pontos P (¡2, ¡5) e Q(4, 3).

Solução.

Tem-se que o coeficiente angular m == , ¡y ? e considere o ponto Q(4, 3); então y - 3= (x - 4).

Logo a equação da reta pedida é : 4x - 3y - 7=0.

Observação 2.5.

Suponha temos duas retas L1 e L2 de coeficientes angulares m1 e m2 então, as duas retas são paralelas se m1 = m2; caso o produto m1
· m2 = ¡1 elas são perpendiculares.

A distância entre dois pontos A(a, b) e B(c, d) do plano é dada pela fórmula d(A, B)=

p(c - a)2 +(b - b)2 Exemplo 2.36.

Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (2, 5) e tem como coeficiente angular m =3.

Solução.

Aplicando diretamente a fórmula tem-se que: y - 2 = 3(x - 2); logo 3x - y - 4=0 éa equação da reta pedida.

Exemplo 2.37.

Dada a reta L1 : y =5x - 3, determine a equação da reta:

a) L2 que passa pelo ponto A(4, 9) e seja paralela a L1;

b) L3 que passa pelo ponto B(¡4, 6) e seja perpendicular a L1.

Solução.

(a) Tem-se que o coeficiente angular de L1 é m1 =5 logo, têm que ser igual ao coeficiente angular da reta L2, assim m2 =5 e L2 : y - 9 = 5(x - 4) isto é L2 : y =5x - 11.

(b) Sendo m1 =5 então o coeficiente angular de L3 é m3 = - e a equação da reta L3 é
5

Observação 2.6.

A área do triângulo determinada pelos pontos P (x1;y1);Q(x2;y2) e R(x3;y3) é dada pelo valor absoluto do determinante: AP QR = x2 y2 1 .

Exemplo 2.38.

Determine se os pontos P (2, 3);Q(7, 9) e R(3, 8) pertencem a uma mesma reta.

Solução.

Os três pontos pertencem a uma mesma reta, se; a área do triângulo formada por eles é igual a zero.

Logo, os três pontos não pertencem a uma mesma reta.

Exemplo 2.39.

Determine a equação da reta que passe pelos seguintes pontos:

a) A(3, 6) e B(7, 6) b) M(5, 7) e N(5, 9)

Solução.

a) O coeficiente angular é m = =0, a equação pedida é: y - 6 = 0(x - 3) = 0, então 3 - 7 y =6.

É uma reta paralela ao eixo das abscissas.

b) O coeficiente angular é m == , a equação pedida é: y - 9= (x - 5), então

É uma reta paralela ao eixo das ordenadas.

Exemplo 2.40.

Os vértices de um triângulo são os pontos A(2, 4);B(3, ¡1) e C(¡5, 3).

Determine a distância do ponto A ao ponto de interseção das medianas.

Solução.

Os pontos médios dos lados AB, AC e BC são respectivamente: (, ), (- , ) e (¡1, 1).

A equação da mediana do ponto (¡1 1) para A é y - 1= (x + 1) .

A equação da mediana do ponto (- , ) para B é y- =(x+) .

A equação da mediana do ponto ((, )) para C é y - =(x - ) .

Resolvendo estas três equações tem-se que o ponto de interseção das três medianas é o ponto (0, 2).

A distância do ponto (0, 2) para o ponto A é p(2 - 0)2 + (4 - 2)2 =2 2.

Portanto a distância procurada é 22.