2.4.1 Função Afim.
É a função f : R ¡.
R definida por f(x)= ax + b .
R, onde a e b são constantes reais não nula; o domínio da função D(f)= R e a imagem Im(f)= R; o gráfico é uma reta oblíqua ao eixo das abscissas como mostra a Figura (2.15); ela intercepta o eixo 0!y no ponto (0;b) eo eixo 0x no ponto (- , 0).
Exemplo 2.32.
A função f(x)=3x +5 é uma função afim, seu domínio D(f)= R e sua imagem o conjunto Im(f)= R.
Exemplo 2.33.
A função f(x)= é uma forma disfarçada da função afim g(x)= x +3.
x - 3 Seu domínio é D(f)= R- 3 e Im(f)= R- 6.
2.4.2 Função Constante.
Quando na função afim temos que a =0 então a função f : R ¡.
R é chamada "função constante"sendo definida por f(x)= b .
R, onde b é um número real constante.
O domínio D(f)= R e Im(f)= { b } e o gráfico é uma reta horizontal como mostra a Figura (2.16).
Observe que a função associa a todo x .
R um mesmo número real b.
Exemplo 2.34.
Seja y = f(x) onde f(x)=5, então y =5 representa a função constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas a cinco unidades de distância superiormente.
2.4.3 Função Identidade em R.
Quando na função afim a =1 e b =0 resulta a função f : R ¡.
R chamada ”função identidade“ definida por f(x)= x .
O domínio da função D(f)= R e a imagem Im(f)= R; o gráfico é uma reta oblíqua que faz ângulo de 45o com o eixo das abscissas como mostra a Figura (2.17).
2.4.4 Função Linear.
Se, na função afim a constante b =0 temos a função f : R ¡.
R chamada "função linear"
definida por f(x)= ax .
x .
R; o domínio D(f)= R e Im(f)= R e o gráfico é uma reta oblíqua que não necessariamente faz ângulo de 45o graus com o eixo x, como mostra a Figura (2.18).
É uma reta que não é paralela a nenhum dos eixos; o número a é o coeficiente angular dessa reta.
2.4.5 Equação de uma Reta.
A função afim f(x)= ax + b onde a e b são constantes, é a equação de uma reta no plano R2; seu domínio e imagem são todos os números reais salvo alguma restrição.
Existem situações nas quais a taxa de variação de uma quantidade com relação a outra é constante.
Por exemplo, suponhamos que para fabricar um determinado produto tenhamos a pagar R$20, além de uma despesa fixa semanal de R$300.
Então se x unidades forem produzidas por semana e y reais for o custo total semanal para o fabricante; então y = 20x + 300.
Soluções para esta equação são dadas na seguinte tabela:
x 0 10 20 30 40 y = 20x + 300 300 500 700 900 1500
A relação dada no exemplo precedente, representa a equação de uma reta; em geral, dados dois pontos P (x1;y1) e Q(x2;y2) de uma reta, para determinar sua equação no plano R2 procedemos do seguinte modo:
Considere os pontos P (x1;y1) e Q(x2;y2) do triângulo P RQ como mostra a Figura (2.19).
y1 - y2
A tangente do ângulo \P QR é dada por: tan(P QR)= este valor da tangente é
x2 - x1 denominado ‘‘coeficiente angular da reta que passa pelos pontos PQ”; e denotada por: m = y1 - y2
Se (x, y) é um ponto quaisquer da reta que passa por P e Q, das relações geométricas para y - y1 y1 - y2
triângulo retângulo tem-se que: = isto é y - y1 = m(x - x1).
x - x1 x2 - x1 Portanto, a equação da reta L, que passa pelos pontos P (x1;y1) e Q(x2;y2) é dada pela fórmula:
Determine a equação da reta no plano cartesiano, que passa pelos pontos P (¡2, ¡5) e Q(4, 3).
Solução.
Tem-se que o coeficiente angular m == , ¡y ? e considere o ponto Q(4, 3); então y - 3= (x - 4).
Logo a equação da reta pedida é : 4x - 3y - 7=0.
Observação 2.5.
Suponha temos duas retas L1 e L2 de coeficientes angulares m1 e m2 então, as duas retas são paralelas se m1 = m2; caso o produto m1
· m2 = ¡1 elas são perpendiculares.
A distância entre dois pontos A(a, b) e B(c, d) do plano é dada pela fórmula d(A, B)=
p(c - a)2 +(b - b)2 Exemplo 2.36.
Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (2, 5) e tem como coeficiente angular m =3.
Solução.
Aplicando diretamente a fórmula tem-se que: y - 2 = 3(x - 2); logo 3x - y - 4=0 éa equação da reta pedida.
Exemplo 2.37.
Dada a reta L1 : y =5x - 3, determine a equação da reta:
a) L2 que passa pelo ponto A(4, 9) e seja paralela a L1;
b) L3 que passa pelo ponto B(¡4, 6) e seja perpendicular a L1.
Solução.
(a) Tem-se que o coeficiente angular de L1 é m1 =5 logo, têm que ser igual ao coeficiente angular da reta L2, assim m2 =5 e L2 : y - 9 = 5(x - 4) isto é L2 : y =5x - 11.
(b) Sendo m1 =5 então o coeficiente angular de L3 é m3 = - e a equação da reta L3 é
5
Observação 2.6.
A área do triângulo determinada pelos pontos P (x1;y1);Q(x2;y2) e R(x3;y3) é dada pelo valor absoluto do determinante: AP QR = x2 y2 1 .
Exemplo 2.38.
Determine se os pontos P (2, 3);Q(7, 9) e R(3, 8) pertencem a uma mesma reta.
Solução.
Os três pontos pertencem a uma mesma reta, se; a área do triângulo formada por eles é igual a zero.
Logo, os três pontos não pertencem a uma mesma reta.
Exemplo 2.39.
Determine a equação da reta que passe pelos seguintes pontos:
a) A(3, 6) e B(7, 6) b) M(5, 7) e N(5, 9)
Solução.
a) O coeficiente angular é m = =0, a equação pedida é: y - 6 = 0(x - 3) = 0, então 3 - 7 y =6.
É uma reta paralela ao eixo das abscissas.
b) O coeficiente angular é m == , a equação pedida é: y - 9= (x - 5), então
É uma reta paralela ao eixo das ordenadas.
Exemplo 2.40.
Os vértices de um triângulo são os pontos A(2, 4);B(3, ¡1) e C(¡5, 3).
Determine a distância do ponto A ao ponto de interseção das medianas.
Solução.
Os pontos médios dos lados AB, AC e BC são respectivamente: (, ), (- , ) e (¡1, 1).
A equação da mediana do ponto (¡1 1) para A é y - 1= (x + 1) .
A equação da mediana do ponto (- , ) para B é y- =(x+) .
A equação da mediana do ponto ((, )) para C é y - =(x - ) .
Resolvendo estas três equações tem-se que o ponto de interseção das três medianas é o ponto (0, 2).
A distância do ponto (0, 2) para o ponto A é p(2 - 0)2 + (4 - 2)2 =2 2.
Portanto a distância procurada é 22.