C?LCULO DIFERENCIAL EM R

6.3 Formas Indeterminadas.

Trataremos das regras de L'Hospital que permitem calcular limites da forma:

, , 0. ,  - , 00, , 1

Propriedade 6.8 Teorema de Cauchy.

Sejam as funções reais f(x) e g(x) , tais que:

a) Sejam contínuas no intervalo [a, b] .}

b) Sejam deriváveis em (a, b) .}

c) g'(x)  0  x  (a, b)

então, existe pelo menos um ponto c  (a, b) tal que: = .

Demonstração

Observe que g(a) g(b) para o caso g(a) = g(b) cumpriria as condições do teorema de Rolle (Propriedade 5.20); isto implicaria que existe c  (a, b) tal que g'(c) = 0 contrário à hipótese.

Seja k = , então

f(b) - f(a) = k(g(b) - g(a)) (6.3)

Considere-se a função auxiliar F(x) = f(x) - f(a) - k(g(x) - g(a)) para todo x  [a, b] ; então F é contínua em [a, b], F é derivável em (a, b) e F(b) = F(a) = 0 ; logo F satisfaz as condições do Teorema de Rolle, portanto existe c  (a, b) tal que F'(c) = 0 .

Sendo F'(x) = f'(x) - kg'(x), então F'(c) = f'(c) - kg'(c) = 0 e como g'(c) 0  c  (a, b), k = . Portanto, em (6.3) tem-se = .

Propriedade 6.9. Primeira regra de L'Hospital.

Se as funções f, g : R  R são:

a) Contínuas no intervalo [a, a+h], h > 0 ;

b) deriváveis em (a, a+h) ;

c) g'(x)  0  x  (a, a+h) ;

d) f(a) = g(a) = 0 ;

e) = L ou =  .

então = = L ou  .

Demonstração

Observe que g'(x)  0  x  (a, a+h) . Aplicando o T.V.M. à função g no intervalo [a, a+h] tem-se que existe onde c  (a, x) tal que g(x) - g(a) = (x- a)g'(c) ; as hipóteses (c) e (d) implicam g(x) = (x - a)g'(c)  0 .

Para x  (a, a+h) considere o quociente e como por hipótese f(a) = g(a) = 0 , o teorema de Cauchy (Propriedade 6.7) permite escrever = = para a < d < x .

Observando que, quando x  a+ , então d  a+ , da hipótese (e) segue:

= = = = L ou  .

Observação 6.7

Se as condições da Propriedade (6.8) são verificadas num intervalo [a-h, a] ou [a-h, a+h] , a Propriedade (6.8) é verdadeira quando x  a- ou x  a

Propriedade 6.10

Se as condições (a), (b) e (c) da Propriedade (6.8) são verificadas num intervalo [ , ) ou (-, - ] e f(x) = g(x) = 0 ou f(x) = g(x) = 0 , então = ou = sempre que o limite do segundo membro exista.

Demonstração

Se x  + , considerando x = 1/t as duas funções f(1/t) e g(1/t) têm limite zero quando t  0+ .

Definindo f(1/t) = g(1/t) = 0 para t = 0 , obtém-se duas funções contínuas no intervalo [0, h] que verificam as condições da Propriedade (6.8).

Aplicando esta Propriedade (6.8):

= = = = = =  .

De modo similar mostra-se quando t - .

Propriedade 6.11

Se f'(a) = g'(a) = 0 e f' e g' satisfazem as condições da Propriedade (6.8), então: = = .

Demonstração

Exercício para o leitor.

Observação 6.8

Se não existe o limite de quando x  a , então não podemos concluir que não existe o limite de .

Exemplo 6.28

Sejam as funções g(x) = sen x e f(x) =

Calculando o limite: = = . = 0 .

Por outro lado, = não existe.

Propriedade 6.12 Segunda regra de L'Hospital.

Se as funções f, g : R  R são:

a) Contínuas no intervalo (a, a+h], h > 0 ;

b) deriváveis em (a, a+h) ;

c) g'(x)  0  x  (a, a+h) ;

d) f(x) = g(x) = ;

e) f(a) = g(a) = 0 ;

f) = L ou  

então = = L ou   .

Demonstração

Exercício para o leitor.

Exemplo 6.29

Calcular os seguintes limites:

(a) (b)

Solução (a)

É da forma , logo = = = - 

Solução (b)

É da forma , logo = = este último limite não existe, porém = = 1 .

Observação 6.9

i) Aplicando o T.V.M. mostra-se que, se f(x) =  e g(x) = , então .f'(x) =  e g'(x) = , isto significa que num certo subconjunto de D(f) é indeterminado quando x  a . Não obstante o quociente pode permitir simplificações que não permite (Exemplo 6.29 –(a))

ii) Para a forma verificam-se as propriedades análogas aos da forma .

iii) Na forma é necessário considerar que, se não tem limite quando x \to a , não podemos concluir que não tenha limite (Exemplo 6.29 –(b))

Exemplo 6.30

Calcular .

Solução

Quando x 3 , o limite tende para , como as condições da regra de L'Hospital (Propriedade 6.8) são satisfeitas, então: = = 2 .

Portanto, = 2 .

Exemplo 6.31

Calcular .

Solução

O limite é da forma , aplicando a regra de L'Hospital tem-se: = =.

Este último limite novamente é da forma , aplicando novamente a Propriedade (6.8) tem-se:

= 2. Portanto, = 2.

Exemplo 6.32

Calcular .

Solução

Este limite é da forma , aplicando duas vezes a regra de L'Hospital tem-se:

= = = - .

Portanto, = -

Exemplo 6.33

Calcular .

Solução

Se x  0+ , este limite é da forma , então = = , observe que se continuamos com o processo não poderemos evitar a indeterminação.

Por outro lado escrevendo, = este último limite é da forma . Aplicando a regra de L'Hospital, = = = 0 .

Se x  0- , tem-se = . = (- )(+) = - 

Portanto o limite não existe.

Exemplo 6.34

Calcular .

Solução

É da forma , então = = = -1 .

Portanto = -1 .

Exemplo 6.35

Calcular .

Solução

O limite é da forma , logo = = cos2x=1.

Portanto = 1 .

Exemplo 6.36

Calcular .

Solução

O limite é da forma , das identidades trigonométricas segue-se :

= [ ] = [ ]. [ ] = (-1) [ ]

A aplicando a regra de L'Hospital segue: [ ] = [ ] = -3.

Portanto = (-1)(-3) = 3 .

Exemplo 6.37

Calcular , n  N.

Solução

Como n  N e o limite é da forma , aplicando a regra de L'Hospital sucessivamente n vezes, tem-se : = = 0 .

Portanto, = 0 .

Exemplo 6.38

Determine o seguinte limite : , r Q}-N, r > 0.

Solução

O limite é da forma , como r é um número real positivo, existe n  N tal que n-1 < r < n . Aplicando a regra de L'Hospital sucessivamente n vezes tem-se:

= = 0, pois, (r - n) < 0 . Este resultado mostra que, quando x  + o limite da exponencial ex é infinito de “ordem maior que qualquer potência de x “.

Portanto, = 0 .

Exemplo 6.39

Calcular , r  N, r > 0.

Solução

O limite é da forma , aplicando a regra de L'Hospital tem-se:

= = = 0 .

O resultado mostra que, quando x  + a função Ln x é infinito de “ordem inferior de x^r”', para r > 0 . Portanto, = 0.

6.3.1 Formas Indeterminadas Redutíveis à Forma ou

As regras de L'Hospital aplicam-se à forma ou ; porém as formas indeterminadas: 0. ,  - , 00, 0 e 1; podem ser transformadas para forma ou .