C?LCULO DIFERENCIAL EM R

6.2 Estudo do Gráfico de Funções.

Estudaremos aplicações sobre propriedades de derivação, obtendo novas propriedades que nos permitiram estudar a variação de uma função determinando intervalos de crescimento o decrescimento, pontos de extremo, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

6.2.1 Função: Crescente ou Decrescente.

Definição 6.4

Seja f: R  R uma função, e I  D(f).

a) Diz-se que f(x) é não decrescente em I , quando  x1 , x2  I com x1 < x2 tem-se que f(x1)  f(x2).

b) Diz-se que f(x) é não crescente em I, quando  x1, x2  I com x1 < x2 tem-se que f(x1)  f(x2).

c) Diz-se que f(x) é crescente em I, quando  x1 , x2  I com x1 < x2 tem-se que f(x1) < f(x2).

d) Diz-se que f(x) é decrescente em I, quando  x1 , x2  I com x1 < x2 tem-se que f(x1) > f(x2).

Propriedade 6.1

Suponha f: [a, b]  R seja uma função contínua em [a, b] e com derivada em (a, b) ; tem-se:

a) Se f'(x) > 0,  x  (a, b) ; então, f é crescente em [a, b].

b) Se f'(x) < 0,  x  (a, b) ; então, f é decrescente em [a, b].

Demonstração (a)

Sejam x1, x2  [a, b] com x1 < x2 . As condições a) e b) da Propriedade (5.21) são verificadas no subintervalo [x1, x2] de [a, b] ; logo, pelo T.V.M. Existe c  (x1, x2) tal que f(x2) - f(x1) = (x2 - x1).f'(c) .

Como c  (x1, x2) , então c  (a, b) ; logo, pela hipótese f'(c)>0 , e como x1 - x_2 > 0 , segue que f(x2) - f(x1) = (x2 - x1).f'(c) > 0 .

Logo,  x1, x2  [a, b] com x1 < x2 tem-se f(x1) < f(x2) e f é crescente em [a, b].

Demonstração (b)

Exercício para o leitor.

Propriedade 6.2 Condição suficiente de extremo com a derivada 1a .

Seja y = f(x) uma função definida numa vizinhança B(c, ) do ponto x = c , contínua em B(c, ) e com derivada em B(c, ) , exceto possivelmente em x = c então:

a) Se f'(x) > 0,  x (c-, c) e f'(x) < 0,  x  (c, c + ) , então f(c) é ponto de máximo local de f .

b) Se f'(x) < 0,  x (c - , c) e f'(x) > 0,  x  (c, c + ) , então f(c) é ponto de mínimo local de f .

Demonstração (a)

Das hipóteses e da Propriedade (6.1), segue que f é crescente em (c-, c) e decrescente em (c, c+) ; logo f(x)  f(c)  x  B(c, ) e deduz-se da Definição (5.12) que f(c) é um máximo local de f .

Demonstração (b)

Exercício para o leitor.

Propriedade 6.3 Condição suficiente de extremo com a derivada 2a

Seja y = f(x) uma função com derivada de segunda ordem contínua em uma vizinhança B(c, ) de x = c , de modo que f'(c) = 0 e f'(c)  0 então:

a) Se f''(c) > 0 , então f(c) é ponto de mínimo local de f .

b) Se f''(c) < 0 , então f(c) é ponto de máximo local de f .

Demonstração (a)

Da definição de derivada,

f''(c) = =

pois f'(c) = 0 .

Por hipótese f''(x) é contínua em x = c e f''(c) > 0 , então > 0 , logo tem-se para h > 0 (suficientemente pequeno) que, f'(x)> 0,  x  (c, c+) .

De modo análogo, para h < 0 (suficientemente pequeno) temos f'(c+h) < 0 o que implica f'(x) < 0,  x  (c - , c) ; aplicando a Propriedade (6.2) para a função f'(x) resulta que f(c) é um mínimo local de f.

Demonstração (b)

Exercício para o leitor.

Observação 6.1 Critério da derivada 1ª.

A Propriedade (6.1) permite estabelecer o seguinte critério para determinar os máximos ou mínimos relativos de uma função contínua.

1o Determinar os pontos críticos de f .

2o Se c é um ponto crítico, deve-se determinar o sinal de f'(x) , primeiro para valores próximos à esquerda de c e logo para valores próximos depois de c .

3o Se o sinal muda de + para - , então f(c) é mínimo relativo; e se o sinal muda de - para + ; então f(c) é ponto de máximo relativo.

4o Se não existe mudança de sinal, então não existe nem máximo nem mínimo relativo em x = c .

Observação 6.2 Critério da derivada 2a .

A Propriedade (6.2) permite estabelecer o seguinte critério para determinar os máximos ou mínimos relativos de uma função contínua.

1o Determinar os pontos críticos de f .

2o Determinar a derivada segunda de f .

3º. Para cada ponto x = c crítico determinar f''(c) .

4º. Se f''(c) é positivo, então f(c) é ponto de máximo relativo.

5º. Se f''(c) é negativo, então f(c) é ponto de mínimo relativo.

Figura 6.3:

6º. Se f''(c) é zero ou não existe, o critério é inconsistente.

Exemplo 6.7

Determine os intervalos de crescimento e os extremos relativos da função f(x) = x3 - 3x2 .

Solução

Tem-se que f'(x) = 3x(x - 2); quando f'(x) = 0 resulta x =0 e x = 2 assim, 0 e 2 são pontos críticos.

Aplicando a Propriedade (6.1) construímos a seguinte tabela.

Intervalos Sinal de f'(x) Comportamento Extremos

(-, 0) + crescente f(0) = 0 máx. relat

f(2) = -4 mín.. relat

(0, 2) - decrescente

(2, +) + crescente

O gráfico da função é mostrada na Figura (6.3).

Exemplo 6.8

Determine os intervalos de crescimento e os extremos relativos da função f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 2.

Solução

Observe que f'(x) = 3x2 - 6x - 9 = 3(x - 3)(x + 1) , em virtude da \textit{Propriedade \eqref{pro076}} f'(x) = 0 implica x = 3 e x = -1 , e segundo a seguinte tabela:

Intervalos Sinal de f'(x) Comportamento Extremos

(-, -1) + crescente f(-1= 7 máx. relat

f(3) = -25 mín.. relat

(-1, 3) - decrescente

(3, + ) + crescente

Exemplo 6.9

Determine os intervalos de crescimento e os extremos relativos de g(x) = + .

Solução

Tem-se que o D(g) = R- {0}, g'(x) = quando g'(x) = 0 obtém-se os pontos críticos x = 6 e x = -6 ; o ponto x = 0 não é ponto crítico por não pertencer ao domínio D(g) ; porém deve-se considerar este ponto por ser ponto de descontinuidade.

Considere-se a seguinte tabela:

Intervalos Sinal de f'(x) Comportamento Extremos

(-, -6) + crescente f(-6) = -2 máx. relat.

(-6, 0) - decrescente

(0, 6) - decrescente f(6) = 2 mín. relat.

(0, + ) + crescente

Exemplo 6.10

Seja a função f(x) = , determine os pontos de extremos relativos.

Solução

O domínio D(f) = R , e f'(x) = , quando f'(x) = 0 temos que os pontos críticos são: 0,-2 e -3 . Observe que em x = -3 e x = 0 a derivada não existe (é infinita). Aplicando a Propriedade (6.1), para o cálculo dos intervalos de crescimento ou decrescimento, segundo a seguinte tabela, tem-se:

Considere-se a seguinte tabela:

Intervalos Sinal de f'(x) Comportamento Extremos

(-, -3) + crescente

(-3, -2) + decrescente f(-2)= máx. relat

f(0)=0 min. Rela.

(-2, 0) - crescente

(0, + ) + crescente

Exemplo 6.11

Uma empresa apurou que sua receita total (em reais) com a venda de um produto admite como modelo R = -x3 + 450x2 + 52.500x, onde x é o número de unidades produzidas. Qual o nível de produção que gera a receita máxima?

Solução

Temos que R = -x3 + 450x2 + 52.500x , logo R' = - 3x2 + 900x +52500 ; resolvendo R'(x) = -3x2 + 900x + 52500 = 0  -3(x2 - 300x - 17500) = 0  -3(x - 350)(x + 50) = 0  x = 350 ou x = -50 .

Observe que R''(x) = - 6x + 900  R''(350) < 0 , assim quando x = 350 o nível de produção gera a receita máxima.

Exemplo 6.12

Seja a função f(x) = determine os extremos relativos.

Solução

Tem-se que D(f) = R - {2}, f'(x) = o único ponto crítico é x = 2 . Logo:

Intervalos Sinal de f'(x) Comportamento Extremos

(-, 0) - decrescente f(0) = 0 mín.. relat

(0, 2) + decrescente

(2, + ) - crescente

Figura 6.4:

A reta x = 2 é assíntota vertical da curva como mostra a Figura (6.4).

Exemplo 6.13

Seja a > 0, mostre que o máximo absoluto da função:

f(x) = - é

Solução

Se g(x) = | x | , então: g'(x) = ;

logo tem-se que:

f'(x) = . - .

o que implica que a derivada não existe em x = 0 e em x = a .

Quando f'(x) = 0 então . = . onde x = ; assim os pontos críticos são 0, e a

Intervalos Sinal de f'(x) Comportamento Extremos

(-, 0) + crescente

(0, )

- decrescente Máx. local em f(0)

Mín. local em f( )

Máx. local em f(a)

( , a)

+ crescente

(a, + ) - decrescente

Tem-se que f(0) = 1 + = ; f( ) = e f(a) = , considerando que f é contínua e do fato f( ) < f(0) = f(a) concluímos que o máximo absoluto de f(x) é f(a) = .

Exemplo 6.14

Determine os valores de a, b e c de modo que a função f(x) = ax4 + bx2 + c tenha extremo relativo em x = , e que a equação da tangente no ponto de abscissa x = -1 seja 2x - y + 4 = 0 .

Solução

A derivada f'(x) = 4ax3 + 2bx como x = é ponto crítico tem-se f'( ) = 4a( )3 + 2b( ) = 0 assim + b = 0 .

Por outro lado, m = 2 é o coeficiente angular da reta tangente quando x = -1 , então f'(-1) = -4a - 2b = 2 .

Na reta tangente, quando x = -1 tem-se y = 2 e na função, f(-1) = a + b + c = 2.

Resolvendo as três igualdades: + b = 0 , -4a - 2b = 2 e a + b + c = 2 segue que a = - , b = e c =

Portanto, f(x) = - x4 + x2 +

Observação 6.3 Critério para os extremos absolutos de uma função contínua num intervalo fechado.

Se f é uma função contínua no intervalo [a, b] , pela Propriedade (4.6) (Teorema de Weierstrass), f apresenta extremos absolutos. Para o cálculo de seus extremos, considerando que estes podem estar nos extremos do intervalo, é suficiente adicionar os pontos a e b aos pontos críticos de f , logo comparar os valores que f assume em cada um destes postos críticos, o maior é o máximo absoluto e o menor o mínimo absoluto.

Exemplo 6.15

Determine os valores máximos e mínimos absolutos da função f(x) = x3 + 3x2 - 24x -10 em [0, 4].

Solução

Observe que f(x) é contínua no intervalo [0, 4] , e f'(x) = 3(x - 2)(x +4) ;logo seus pontos críticos são 0, 2 e 4 . Por outro lado, f(0) = -10, f(2)= -32 e f(4) = 6 .

Portanto, f(4) = 6 e f(2) = -32 são máximo é e o mínimo absoluto respectivamente.

Exemplo 6.16

Se g(x) = , determine os valores máximos e mínimos absolutos.

Solução

Tem-se g(x) contínua em [-4, 2] e g'(x) = os pontos críticos são -4, -1, 0, 1 e 2 .

Por outro lado, f(-4) = , f(-1) = -2, f(0) = 0, f(1) = -2 e f(2) = - .

Portanto, o valor máximo absoluto é 0 = f(0), e o valor mínimo absoluto é -2 = f(-1) = f(1) .

Exemplo 6.17

Determine o valor máximo da função y = sen x sen 2x .\\

Solução

Desde que sen 2x = 2 sen x cos x , temos que y = sen x sen 2x = 2cos x sen2x = 2cos x(1 - cos2x) . Considere z = cos x , logo -1  z  1 . A função g(z) = z - z3 = z(1-z2) assume valores negativos no intervalo -1  z < 0 , é igual a zero se z = 0 , e assume valores positivos no intervalo 0 < z 1 .

Quando g(z) = z(z-z2) então g'(z) = 1 - 3z2 , fazendo g'(z) = 0 segue que z =  são pontos críticos; g(z) tem valor máximo relativo em z = .

Logo a função y = sen x sen 2x alcança seu valor máximo nos pontos nos quais z = cos x = este valor acontece quando x =  0,777 .

Exemplo 6.18

Mostre que a função f(x) = x - ax alcança seu valor mínimo igual a (1- ) , no ponto x = , sempre que a > 0,  > 1, x > 0 .

Solução

Da função f(x) = x- ax segue que f'(x) =  x - 1 - a , quando f'(x) = 0 , então x = . Por outro lado, a derivada segunda de f(x) é f''(x) = ( - 1)x - 2 > 0 pela hipótese de .

O critério da derivada segunda permite afirmar que f(x) atinge seu valor mínimo igual a (1- ) , no ponto x = .

Propriedade 6.4 Desigualdade de Holder.

Se p > 1, + = 1, x > 0 e y >0 , tem-se que xy  + .

Demonstração

Pelo Exemplo (6.18), se  > 1, a > 0 e x > 0 , para a função f(x) = x - ax temos que f(x)  f( ) , isto é

x - ax > (1- ) (6.2)

Considerando nesta desigualdade  = p e a = py , encontramos em (6.2) xp - (py)x > (1- p) .

Como + = 1 resulta = 1 - =  q = , p - 1 = , então xp - pyx - yq de onde xy  + .

Exemplo 6.19

Seja a > 0, mostre que o valor máximo da função f(x) = - atinge quando x = .

Solução

Temos f(x) = de onde

f’(x) =

Observe que f(x) cresce no intervalo (- , 0) e ecresce no intervalo [a, + ) , logo o máximo de f(x) acontece no intervalo [0, a] .

Quando f'(x) = 0 , para x  (0, a) então (1+x)2-(1-x+a)2= 0  x = . Como f( ) = < = f(0) = f(a) , o máximo é .

Exemplo 6.20

Um comerciante vende 2.000 unidades por mês ao preço de R$ 10 cada. Ele pode vender mais 250 unidades por mês para cada R$ 0,25 da redução no preço. Que preço unitário maximizará a receita?.

Solução

Seja q o número de unidades vendidas em um mês, consideremos p o preço unitário, e R a receita mensal, supondo em condições de livre concorrência a receita é dada por R = qp ; quando p preço p = 10 temos que q = 2.000 ; e, quando p = 10,0, - 0,25 = 9,75 temos que q = 2.250 .

Com esta informação podemos obter o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (10, 2.000) e (9,75 ; 2250) onde m = = ; logo p = -0,001q + 12 ; considerando esta última igualdade na equação da receita obtemos R = q(-0,00q + 12)  R '= 12 - 0,002q  q = 6.000 ; observe que R '' = - 0,002 < 0 .

Figura 6.5:

Quando q = 6.000 o nível de produção proporciona receita máxima; neste caso p = 12 - 0.001(6.000) = 6 reais.