CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

Christian José Quintana Pinedo

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2.3.5 Construção do Gráfico Cartesiano de uma Função.

Um sistema de coordenadas cartesianas consiste em um par de retas de números reais as quais se interceptam formando ângulo reto como mostra a Figura (2.8); y a reta horizontal é chamado “eixo-x” ou“eixo das abscissas” e a reta vertical é chamada de “eixo-y” ou “eixo das ordenadas”.

Para construir o gráfico de uma função y = f(x), basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando ¡3 ¡2 ¡1

a sentencia matemática que define a função, calcular os correspondentes valores para y = f(x).

Por exemplo se desejamos construir o gráfico da função definia por

Primeiro observe que o domínio são todos os números reais, logo podemos considerar x =2;x =

4;x =6;x =8, e assim calculamos os respectivos

valores para y, como indica a tabela:

Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano como mostra a Figura (2.9).

O gráfico da função será uma reta que passará pelos quatro pontos encontrados.

Basta traçar a reta, e o gráfico estará construído.

Para desenhar o gráfico de uma reta são necessários apenas dois pontos.

No exemplo acima escolhemos 6 pontos, mas bastaria escolher dois elementos do domínio, encontrar suas imagens, e logo após traçar a reta que passa por esses dois pontos.

Segundo a Definição (2.5), toda função f : A ¡.

B , tem como domínio D(f)= A; porém quando dizemos que temos uma função de A em B e achamos seu domínio D(f) .

A, na verdade

o que temos é uma relação de A em B e ao calcular seu domínio D(f) a transformamos em uma função (sempre que for possível) de D(f) em B; isto ocorre com freqüência quando temos uma relação de R em R e falamos de “função de R em R”.

Exemplo 2.13.

Seja f : R ¡.

R definida por:

Exemplo 2.14.

Dada a função f : R ¡.

R (ou seja, o domínio e o contradomínio são os números reais) definida por f(x)= x2 - 5x +6, calcule: a) f(2);f(3) e f(0); b) o valor de x cuja imagem vale 2.

Solução.

a)

f(2) = 22 - 5(2)+6 = 0; f(3) = 32 - 5(3)+6 = 0 e f(0) = 6 .

Solução.

b) Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equação f(x)=2, ou seja,

x2 - 5x +6=2.

Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4.

Portanto os valores de x que têm imagem 2 são x =1 e x =4.

Exemplo 2.15.

Seja a função f : R ¡.

R definida por: f(x)= x2 - 3x +2.

Determine:

a) f(¡3) b) f(x 2) c) f(y - z) d) f(2x - 3) - f(x + 3) e) f(a 2) f) f(x + h) g) f(f(x)) h) f(x 2 - 3x + 2)

Solução.

a) f(¡3) = (¡3)2 - 3(¡3)+2 = 2

b) f(x2)=[x2]2 - 3[x2]+2= x4 - 3x2 +2

c) f(y - z)=(y - z)2 - 3(y - z)+2= y2 + z2 - 2yz - 3y +3z +2

d) f(2x - 3) - f(x +3) = [2x - 3]2 - 3[2x - 3] + 2 - [x + 3]2 - 3[x +3]+2 = = [4x2 - 18x + 20] - [x2 +3x +2] = 3x2 - 21x + 18

e) f(a2)=[a2]2 - 3[a2]+2= a4 - 3a2 +2 f) f(x + h)=(x + h)2 - 3(x + h)+2= x2 + h2 +2hx - 3x - 3h +2 g) f(f(x)) = [f(x)]2 - 3[f(x)] + 2 h) f(x2 - 3x +2) = [x2 - 3x + 2]2 - 3[x2 - 3x +2]+2 = x4 - 6x3 + 10x2 - 3x .

Exemplo 2.16.

a) Para quais funções f(x) existe uma função g(x) tal que f(x)=[g(x)]2 ? 1

b) Para que função f(x) existe uma função g(x) tal que f(x)= ?

g(x) c) Para quais funções b(x) e c(x) podemos achar uma função f(x) tal que:

[f(x)]2 + b(x)[f(x)] + c(x)=0

para todos os números reais x ?

d) Que condições satisfazem as funções a(x) e b(x) se existe uma função f(x) tal que a(x)f(x)+ b(x)=0 para todos os números reais x ?

Solução.

a) Como f(x)=[g(x)]2 = 0, então isto é possível somente para as funções f(x) = 0, .

x .

R.

b) Considerando que estamos trabalhando com funções de R em R, podemos intuitivamente

1

entender f(x) como sendo um número real; assim g(x) existe somente quando g(x)=

f(x) exista, isto somente é possível se f(x) 6
.

x .

R

=0, c) De [f(x)]2 + b(x)[f(x)] + c(x)=0, pela fórmula de Bhaskara segue que:

¡b(x) ± p[b(x)]2 - 4
· c(x)

f(x)=

2 logo existe f(x) quando [b(x)]2 = 4
· c(x), .

x .

R.

¡b(x)

d) Para o caso a(x) 6
.

x .

R, existe uma única função f(x)= , .

x .

R com esta

=0,

a(x) condição.

Quando a função b(x)=0, .

x .

R então a(x)=0.

Observe que se a(x)=0 para algum x .

R, então podemos eleger arbitrariamente f(x) de modo que existem infinitas funções que satisfazem esta condição.

.

Exemplo 2.17.

Um estudo sobre a eficiência de operários do turno da manha de uma determinada fábrica, indica que um operário médio que chega ao trabalho as 8 horas da manha, monta x horas após de iniciado seu trabalho f(x)= ¡x3 +6x2 + 15x rádios transistorizados.

a) Quantos rádios o operário terá montado ate as 10 h da manha? b) Quantos rádios o operário terá montado entre as 9 e 10 horas da manha? Solução.

a) Da pergunta do problema temos que, das 8 :00 até as 10 : 00 o operário trabalhou x =2 horas, logo ele terá montado f(2) = ¡23 + 6(22) + 15(2), então f(2) = 36.

Portanto, ele terá montado 36 aparelhos.

b) Entre as 8 : 00 e 9 : 00 da manha ele montou f(1) = ¡13 + 6(12) + 15(1) = 20 aparelhos; logo entre as 9 : 00 e 10 : 00 ele montou 36 - 20 aparelhos, isto é 26.

Exemplo 2.18.

Devemos construir uma caixa aberta sem tampa com um pedaço retangular de cartolina de 60 × 86 cm cortando-se uma área de x cm2 em cada canto e dobrando-se os lados como indica a Figura (2.10).

Expresse o volume da caixa em função de x.

Solução.

As dimensões da caixa são: altura x cm, e a base é um retângulo de lados (60¡2x) e (86¡2x) como observamos na Figura (2.10).

Logo o volume V é V = x(60 - 2x)(86 - 2x); isto é V =4x(30 - x)(43 - x)

Exemplo 2.19.

Supõe-se que f(x)= seja o número necessário de homens -hora para distribuir

400 - x panfletos entre x por cento de moradores de uma cidade.

a) Determine o domínio da função.

b) Para que valor de x o problema tem interpretação prática ? c) Quantos homens-hora são necessários para distribuir panfletos entre os primeiros 50% de moradores ? d) Quantos homenshora são necessários para distribuir panfletos à comunidade inteira.

e) Que porcentagem de moradores da cidade recebeu panfletos, quando o número de homens-hora foi de 100 ? Solução.

900

a) Observando a função f(x)= como uma relação de R em R, seu domínio são todos

400 - x

os números reais exceto x = 400.

Christian Quintana Pinedo

b) Sendo x uma variável que representa porcentagem, o problema tem aplicação prática quando 0 = x = 100.

(900)(50) 900

c) Quando x = 50, então f(50)= = =128, 59 homens-hora; isto é aproximada

400 - 50 7

mente 129 homens.

(900)(100)

d) A comunidade inteiras representa o 100%; logo x = 100,e f(100) = = 300.

São

400 - 100

necessários 300 homens.

900x

e) Para calcular x quando f(x) = 100, temos que 100 = .

(400 - x)=9x )

400 - x

x = 40.

Recebeu o 40% da população.

Exemplo 2.20.

Certo Banco A, cobra R$30:00 por talão de cheques e R$5:00 para cada cheque usado.

Outro Banco B cobra R$10:00 por talão de cheque e R$9:00 para cheque usado.

Calcular ou critério para decidir em que Banco você abrirá sua conta.

Solução.

Suponha sejam usadas x folhas de cheque, então temos:

Gastos no Banco A : R$30:00 + (R$5:00)x.

Gastos no Banco B : R$10:00 + (R$9:00)x.

Fazendo a desigualdade, R$30:00 + (R$5:00)x<R$10:00 + (R$9:00)x tem-se 5 <x isto significa que se usamos mais de 5 folhas é melhor os serviços do Banco A; se usamos x =5 folhas não faz diferença e se usamos menos de 5 folhas é melhor o Banco B.

Exemplo 2.21.

Mostre que, se f(x)= kx+b e os números a1;a2 e a3 constituem uma progressão aritmética, os números f(a1);f(a2) e f(a3) também constituem uma progressão arit-mética.

Solução.

Suponhamos que a1 = a - r, a2 = a, e a3 = a + r então f(a1)= f(a - r);f(a2)= f(r), e f(a3)= f(a + r), logo:

f(a1)= k(a - r)+ b =(ka + b) - kr;

f(a2)= kr + b =(kr + b);

f(a3)= k(a + r)+ b =(ka + b)+ kr.

Portanto os números f(a1);f(a2), e f(a3) constituem uma progressão aritmética de razão kr.

Exemplo 2.22.

O volume de uma lata cilíndrica é de 24p centímetros cúbicos.

O metal utilizado para a tampa e para a base custa R$3:00 por cme o material empregado na parte lateral custa R$2:00 por cm2.

Calcular o custo de produção da lata em função de seu raio.

Solução.

Suponha o raio r da base e h a altura, logo seu volume é dado por ¼r2h e da condição do problema resulta 24p = ¼r2h onde h = .

A área total do cilíndro é dada pela expressão:

área total = 2(área da base) + (área lateral)

Por outro lado, sabemos que: área da base = ¼r2 e área lateral = 2¼rh =2¼r = ¼.

rr Seja C(r) o custo de produção; então:

C(r)=(R$3:00):2(área da base)+(R$2:00):(área lateral)= 48 96

=(R$6:00):(¼r2)+(R$2:00):(¼) isto éC(r)=6¼r2 + ¼reais

rr

Exemplo 2.23.

Um fabricante de panelas pode produzir uma determinada panela a um custo de R$10 por unidade.

Esta estimado que se o preço de venda for de x cada panela, então o número de panelas vendidos por mês seria (300 - x).

a) expresse o lucro mensal do fabricante como função de x.

b) Utilize o resultado da parte a) para determinar o lucro se o preço de venda for R$35 cada.

Solução.

a) O lucro podemos obter subtraindo da receita total R(x), o custo total C(x); isto é: receita total R(x)= x(300 - x) e custo total C(x) = 10(300 - x); logo o lucro mensal L(x),é L(x)= x(300 - x) - 10(300 - x)=(x - 10)(300 - x).

b) Quando x = 35 reais, o lucro L(35) = 6:875 reais.