O estudo dos números reais pelo método axiomático, consiste em definir este “sistema numérico” mediante um grupo de axiomas, de modo que qualquer conjunto de números: naturais, inteiros, racionais e irracionais sejam formados por subconjuntos próprios do conjunto de números reais R.
Ha outro modo de se estudar os números reais, podemos defini-los em termos de números racionais, usando os clássicas cortes de Dedekind 1 ou as sucessões de Cauchy2 .
Porém, para o nosso estudo de -“Cálculo Diferencial em R” -é suficiente introduzir o sistema pelo método axiomático.
Consideremos os seguintes conjuntos numéricos:
Estudou o problema dos números irracionais, é mais bem conhecido pelo seu trabalho nos fundamentos do sistema de números reais.
2Augustin Cauchy (1789 - 1857) foi o fundador da análise moderna, aportou importantes resultados em outras áreas da matemática.
Além de suas atividades políticas e religiosas, escreveu 759 trabalhos em matemática.
Cálculo Diferencial em R
Qualquer número real pode ser considerado como um número racional ou número irracional.
Estes números racionais consistem dos seguintes:
a) Os inteiros positivos, negativos e o zero:
b) As frações positivas e negativas:
c) Os números decimais limitados (positivos e negativos):
d) Os números decimais ilimitados (positivos e negativos):
É importante lembrar que o símbolo
˜ significa aproximadamente.
Observe:
Se consideramos que 0, 999999 ¢¢· = =1 isto é um absurdo já que o número 1 é inteiro e
0, 999999 ¢¢· é um número decimal com uma infinidade de dígitos nove.
Assim é melhor entender 9
• Os números irracionais são aqueles números decimais não periódicos.
Por exemplo:
A Figura (1.1) mostra mediante diagramas de Venn3 a relação de inclusão entre os conjuntos.
É importante destacar que o número zero não é número positivo nem negativo.
3John Venn (1834-1923) publicou “Lógica Simbólica” em 1881 e “Os Princípios de Lógica Empírica” em 1889.
O segundo destes é bastante menos original mas o primeiro foi descrito por Keynes como provavelmente o trabalho mais duradouro em lógica.
Suponha que tenhamos a realizar operações aritméticas elementares (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radicação) com dois números quaisquer de um subconjunto dos números reais, e desejamos que o resultado pertença ao mesmo subconjunto.
Observe que, com os números naturais 4 e 7 não é possível efetuar a operação 4¡7 (subtração), pois sabemos que 4 - 7 não pertence ao conjunto N.
Assim, em geral temos que em:
N somente é possível efetuar operações de adição e multiplicação.
Z somente é possível efetuar operações de adição, subtração e multiplicação.
Q é possível efetuar operações de adição, subtração , multiplicação e divisão (desde que o divisor não seja zero).
I é possível efetuar operações de modo restrito.
R podemos efetuar operações de adição, diferença, multiplicação e divisão (desde que o divisor não seja zero).
C é possível efetuar operações de adição, diferença, divisão (com divisor não zero), multiplicação, potenciação e radicação.
O conjunto dos números complexos C tem mais propriedades que o conjunto dos números reais R.
Nosso objetivo neste capítulo será estudar as propriedades importantes do conjunto R.
Aos elementos de x .
Ré possível associar um ponto de uma reta, de modo que a este número real x corresponda um, e somente um, único ponto P como indica a Figura (1.2).
Dizemos "sistema de números reais"ao conjunto R, que satisfaz as operações de adição (+), multiplicação (?), uma relação de ordem (< ) que se lê “menor que”eo axioma do supremo.
O sistema de números reais pode ser denotado como (R, +, ?, < ) ou simplesmente escreve-se
R.
Outra notação para a multiplicação é um ponto.
Assim, por exemplo, se a, b .
R, tem-se que a
· b significa multiplicação (produto) dos números a e b.