CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

Christian José Quintana Pinedo

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6.4 Aplicações Diversas.

Apresenta-se a seguir problemas aplicados a diversos ramos das ciências exatas, tais como problemas de física, química, biologia, etc.

Exemplo 6.48

Determine dois números inteiros positivos de modo que sua soma seja 60 e seu produto o maior possível.

Solução

Sejam os números x e 60-x , então o produto P(x) = x(60 -x) , logo P'(x) = 60 - 2x quando P'(x) = 0 segue que x = 30 (é ponto crítico de P(x) ); também P''(x) = -2 e P''(30) =-2 < 0 . Pelo critério da derivada segunda de P(x) , em x = 30 tem-se máximo para P(x) .

Logo os números são 30 e 30 .

Exemplo 6.49

Dada uma folha de papelão quadrada de lado a , deseja-se construir uma caixa de base quadrada sem tampa cortando em suas esquinas quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lados dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja máximo possível.

Solução

Sendo x o lado do quadrado a ser cortado em cada esquina, o volume da caixa é V(x) = x(a - 2x)2 onde 0 < x < . Derivando tem-se V'(x) = a2 - 8ax + 12x2 , quando V'(x) = 0 tem-se que o único ponto critico que satisfaz a condição é ; por outro lado, V''(x) = - 8ª + 24x e V''( ) = - 4a < 0 .

Portanto, o volume será máximo quando os cortes dos quadrados nas esquinas sejam iguais à sexta parte do comprimento do lado a .

Exemplo 6.50

Deseja-se construir um cilindro circular reto com tampa de base uma circunferência, de modo a gastar a menor quantidade de material. Qual é a relação entre a altura e o raio da base para isto acontecer?

Solução

De um ponto de vista matemático, o problema apresenta dois aspectos.

a) De todos os cilindros que possuem área total igual, terá menor gasto de material aquele que tenha maior volume.

b) De todos os cilindros que possuem o mesmo volume, terá menor gasto de material aquele que sua área seja mínima.

Consideremos o caso da parte (a). Suponha um cilindro de altura h e raio da base r ; então sua área total é A = 2 r^2 + 2rh ( A é constante) e seu volume V = r2h .

Do dado da área total, vem que h = , substituindo este valor em V tem-se

V(r) =  r2( ) = -  r3 , otimizando esta função encontra-se que r0 = é ponto crítico, e V''(r0) = - 6\pi r < 0 , assim o volume é máximo.

Considere r = r0 =  A = 6r2 , substituindo na altura h temos que h = = = 2r .

Logo a relação h : r é 2 : 1 ; a altura é o dobro do raio da base.

Exemplo 6.51

Um arame de 80cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços. Com um deles deve-se construir uma circunferência, e com o outro um quadrado. Quais são as dimensões dos arames de modo que a soma das áreas do círculo e quadrado sejam: (a) mínima; (b) máxima.

Solução

Supunha a raio da circunferência seja r , e o lado do quadrado m ; e sejam os comprimentos do arame x cm e (80 - x) cm ; então 2 r = x e 4m = 80 - x . A soma das áreas é: S = r2 + m2 = t[ ]2 + [ ]2 .

Logo, S'(x) = - = x [ + ] - 10 = x[ ] - 10 ; o único pontocrítico acontece quando x = 10 [ ]  35,20 .

A derivada segunda de S(x) é: S''(x) = [ + ] > 0 .

Como a função S(x) somente tem mínimo relativo em x  35,20 , a área mínima é S(35,20) = [ ]2 + [ ]2 = 224cm2 , pelo fato não possuir mais pontos críticos, a área máxima deve ocorrer em um dos pontos do extremo. Se x = 0, S(0) = 400cm2 e, se x = 80, S(80) = [ ]^2 = 127.2cm2 .

Exemplo 6.52

Gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia elétrica. Se a potência P , em watts , que um certo gerador lança num circuito elétrico é dado por: P(i) = 20.i-51i2 onde i é a intensidade da corrente elétrica, que atravessa o gerador, em amperes ( amp ), pede-se: (a) Para que intensidade da corrente elétrica, este gerador lança no circuito potência máxima ? (b) Para que intensidade da corrente elétrica, este gerador lança no circuito uma potência maior que 15W ?

Solução

A potência é máxima quando existe i de modo que seja a função P(i) máxima.

De P(i) = 20.i-51i2 temos que P'(i) = 20 - 102i onde i = é o valor crítico;

observe que P''(i) = - 102 < 0 , logo em i = = 0.196 amp .

Por outro lado, pede-se o valor de i quando P(i) = 15 ; isto é 15 = 20.i-51i2 logo 51i2 - 20.i + 15 = 0  i = sendo o interior da parte radical negativa, não existe i.

Portanto a resposta para a parte {\bf a)} é i =0.196 amp e para a parte (b) no existe solução.

Exemplo 6.53

Figura 6.19

Dois postes verticais de 6 e 8 metros estão plantados num terreno plano, a una distância de 10m entre suas bases. Calcular aproximadamente o comprimento mínimo de um fio que partindo do topo de um destes postes, toque o solo na reta que une as bases e, logo o topo do outro poste.

Solução

Na seguinte Figura (6.19), seja = 10, = 6 e = 8 , então a hipotenusa = e = .

A função comprimento do fio que modela o problema é:

f(x) = +

Lembre que x  0 ; logo no cálculo dos pontos críticos de f(x) tem-se que:

f'(x) = -

quando f'(x) = 0 , temos que x = é ponto crítico.

A derivada segunda de f(x) é, f''(x) = + > 0 e f''( ) > 0 , logo temos comprimento mínimo quando x = ; assim

f( ) = + = 17.20m .

Exemplo 6.54

Um automóvel desce um plano inclinado segundo a equação s(t) = 12t2 + 6t . a) Achar a velocidade 3 segundos depois da partida; b) determine a velocidade inicial.

Solução

O automóvel que estava em repouso, descreve um movimento em relação ao tempo mediante a equação s(t) = 12t2 + 6t ; sua velocidade instantânea em qualquer ponto da trajetória é v(t) = s'(t) = 24t + 6 .

(a) v(3) = 24(3) + 6 = 78m/sg .

(b) A velocidade inicial quando t = 0 , foi v(0) = 6m/sg .

Exemplo 6.65

Espera-se que a população de uma certa cidade t anos após 1º. de janeiro de 1.994 seja f(t) = 10.000 - . (a) Use a derivada para estimar a mudança esperada na população de 1º. de janeiro de 1998 a 1º. de janeiro de 1999 ;(b) Ache a mudança exata esperada na população 1^o de janeiro de 1998 a 1º. de janeiro de 1999.

Solução {a)}

Figura 6.20:

Temos que o 1º. de janeiro t = 0 e f(0) = 6.000 habitantes. Como t é dado em anos, em 1º. de janeiro de 1.998 temos que t = 4 .

Por outro lado, em geral f'(t)  logo f'(4)  = f(5) - f(4) assim f'(4) = (10.000 - ) - (10.000 - ) = 200 a mudança esperada é de 200 habitantes a mais.

Solução (b)

Lembre que f'(x) = , logo a mudança esperada exata é f'(4) = = 160 .

Exemplo 6.56

Duas linhas férreas se cruzam em ângulo reto. Duas locomotivas de 20m cada uma, em grande velocidade, aproximam-se do cruzamento. Uma delas de certa estação situada a 40km do encontro; o outro de uma localizada a 65km . A primeira corre a uma velocidade de 800m/min , enquanto o outra vai a 600m/min . Quantos minutos terão transcorridos desde a partia até o instante em que a distância entre as duas locomotivas é mínima; e qual é essa distância?

Solução

Suponhamos terão transcorrido x min ; e seja a velocidade da primeira 800m/min = 0.8 km/min e da segunda 0.6 km/min . Segundo o gráfico da Figura (6.20) Temos que = 65km e = 40km ; após transcorridos x min temos as distâncias:

= (65-0.6x), = (40-0.8x); =

A função que descreve a distância é: f(x) =

Calculemos o mínimo relativo da função f(x):

f'(x) = - = -

quando f'(x) = 0 temos que x = 71; se x1 > 71, f'(x1) > 0 e se x2 < 71, f'(x2) < 0, logo em x = 71 temos mínimo relativo. Observe que: 40 - 0.8(71) = -16.8 = , 65 - 0.6(71) = 22.4 = e f(71) = 28 .

Portanto, terão transcorrido 71 minutos e a distância mínima entre elas é de 28km .

Exemplo 6.57

Achar os valores de x e y , a fim de que a expressão xnym seja máxima, sendo x + y = a onde a é constante.

Solução

Temos que y = a - x , por outro lado da expressão xnym podemos obter a função f(x) = xn(a-x)m .

Temos que f'(x) = xn(a-x)m[na - x(n+m)] ; são pontos críticos x = a e x = . Quando x = a temos que y = 0 e x^ny^m não é uma expressão máxima (é constante). Seja x1 > , então f'(x1) < 0 ; e se x2 < então f'(x2) > 0 ; assim f(x) tem máximo quando x = .

Como x + y = a então x =  x.m = n.y logo a expressão xnym será máxima quando é satisfeita a relação : . :

Exemplo 6.58

Enche-se um balão esférico de tal modo que seu volume está crescendo a razão de 5 cm2/min.. Em que razão o diâmetro cresce quando o diâmetro é 12 cm ?

Solução

O volume de uma esfera de raio r é V = r3; sendo seu diâmetro x = 2r , temos que V(x) = . O diferencial do volume em relação ao diâmetro x é, d(V) = dx ; segundo os dados, d(V) = e x = 12 cm , logo = dx então dx = . Por tanto o diâmetro cresce na razão de .

Exemplo 6.59

Uma pedra é lançada para arriba verticalmente; suponha que sua altura seja h(t) em metros depois de t segundos do lançamento. Que altura máxima atingira a pedra? Quantos segundos após ter sido lançada?

Solução

É um problema de máximo relativo, por hipótese h(t) = -5t2 + 10t , então h'(t) = -10t + 10  t = 1 é ponto crítico; h''(t) = -10 < 0 assim em t = 1 temos máximo relativo (também absoluto) onde h(1) = -5(1)^2 + 10(1) = 5 m ela atinge o ponto mais alto 1 segundo após de lançada para arriba.

Exemplo 6.60

Num circuito elétrico, se E volts é a força eletromotriz, R ohns é a resistência I amperes é a corrente, a lei de Ohm estabelece que I . R = E. Suponha que E seja constante, mostre que R decresce a uma taxa proporcional ao inverso do quadrado de I.

Solução

É imediato, pelos dados do problema temos que, sendo E constante, então R(I) = ; a taxa de variação de R é dada pela expressão dR = [ ]'dI isto é, dR = - dI .

Portanto, R é decrescente ( dR < 0 ); decresce a uma taxa proporcional ao inverso do quadrado da corrente I .

Exemplo 6.61

Determine as dimensões do cilindro circular reto de volume máximo que pode ser inscrito em uma esfera de raio R = 12 m Figura (6.21).

Figura 6.21: Figura 6.22:

Solução

Observe a Figura (6.21), sabemos que R = 12 = = = .

Seja r o raio da base do cilindro, então = 2r e a altura do cilindro é = = 2 ; o volume do cilindro é dado pela função V(r) = 2r2 .

Temos a derivada \disp V'(r) = quando V' (r) = 0 então r = 4 e r = 0 são pontos críticos.

Somente temos volume máximo quando r = 4 e BC = 8 .

Portanto, o raio da base do cilindro é r = 4 e sua altura BC =8 .

Exemplo 6.62

Um farol encontra-se num ponto A , a 4 km do ponto mais perto O de uma costa reta; no ponto B também da costa e a 4 km de O existe uma tenda. Se o guarda do farol pode remar a 4km/hora e caminhar 5km/hora . Que caminho deve seguir para chegar do farol à tenda no menor tempo possível?

Solução

Suponhamos aconteça o desenho da Figura (6.22), isto é, deve remar até o ponto C situado entre O e B logo caminhar o resto do caminho.

Seja T o tempo utilizado desde o ponto A até chegar ao ponto B .

Então, como o tempo é a relação do espaço dividido entre velocidade, temos que o tempo T = + .

Observe que | | = e | | = 4 - x , logo T(x) = + de onde 0 \leq x \leq 4 .

Derivando T(x) obtemos T'(x) = - , quando T'(x) = 0 e considerando o domínio de definição da função, obtemos o ponto crítico x =  que não pertence ao domínio. A conclusão é que não existe máximo ou mínimo relativo quando 0  x  4 .

Por outro lado, T(0) = e T(4) = < = T(0) . Como T(4) = < = T(0) , é mais rápido remar diretamente até B e não caminhar.

Exemplo 6.63

Figura 6.23

As margens superior e inferior de uma página são 3 cm cada uma e as margens laterais de 2,5 cm cada uma. Se a área do material impresso deve ser fixa e igual a 623,7 cm2 . Quais são as dimensões da página da área mínima?.\\

Solução

Suponhamos temos a página como na Figura (6.23).

A área da mesma é

A(x) = (x+5) cm2

Para o cálculo de pontos críticos temos que A'(x) = 6 - = 0, então x = 22,80 (aproximadamente). Sendo a derivada segunda positiva, em x = 22.8 temos mínimo relativo.

Portanto a pagina deve ter 27,80 cm por 33,32 cm .

Exemplo 6.64

Suponha que uma pessoa posa aprender f(t) palavras sem sentido em t horas e f(t) = 25 , onde 0  t  9 . Ache a taxa de aprendizado da pessoa após: (a) 1 hora; (b) 8 horas.

Solução a)

A taxa de aprendizado depois da primeira hora é = f(1) = 25 palavras.

Solução b)

Depois das 8 primeiras horas é = 25( - ) = 8,167 palavras após de 8 horas. A taxa de aprendizado exato é f'(t) = 25[ ] , quando t = 8 temos que f'(8) = = 8.333

Exemplo 6.65

Quando tossimos o raio de nossa traquéia diminui, afetando a velocidade do ar que passa nesse órgão. Sendo r0 e r respectivamente o raio da traquéia na situação normal e no momento da tosse, a relação entre a velocidade V e r é dada por uma função da forma V(r) = ar2(r0 - r) , onde a é uma constante positiva. Calcule o raio r que permite a maior velocidade do ar.

Solução

Teremos que calcular o valor de r que maximiza a função V(r) ; com efeito V'(r) = 3ar( r0 - r) o valor crítico acontece quando r = r0 . Seja r1 > r0 , então V'(r1) < 0 ; e se x2 < r0 então V'(r2) > 0 ; assim V(r) tem máximo quando x = r0 . O raio r que permite a maior velocidade é r = r0 .

Exemplo 6.66

A soma de três números inteiros positivos é 40 , o primeiro mais o triplo do segundo mais o quádruplo do terceiro somam 80 . Determine os números de modo que seu produto seja o maior possível.

Solução

Sejam os n\'umeros a, b, c (nessa ordem) e suponhamos que a = 40 - (b+c) , logo [40-(b+c)] + 3b + 4c = 80  2b = 40 - 3c . O produto é P = abc = [40-( + c)]( )c = (40+c)(40-3c)c .

Derivando a função P obtemos P'(c) = - (9c2 + 160c - 1600) onde c = 6,22 é ponto de máximo relativo. O número procurado próximo de 6,22 é 6 .

Portanto os números que satisfazem o problema são 23, 11 e 6 .

Exercícios 6-4

1. Uma pessoa atira verticalmente para o céu uma bola do topo de um edifício. Depois de 2 segundos, a bola passa por ele, chegando ao solo 2 segundos depois.

(a) Qual era a velocidade inicial da bola?

(b) Qual é a altura do edifício?

(c) Com que velocidade a bola passou pela pessoa, quando caía em direção ao solo?

(d) Com que velocidade a bola chegará ao solo?

2. A 20 km da estrada de ferro, cuja linha é reta se encontra um povoado. Onde construir o posto C de tal modo que a viagem de A para B por via férrea e por estrada de rodagem se gaste o mínimo de tempo; a velocidade por trem é de 0.8 km/min e, pela estrada de rodagem é de 0.2 km/min Resposta: Aproximadamente a 5 km de um ponto D (perpendicular a B ).

3. A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV = C , onde P é o número de quilos por unidade quadrada de pressão, V é o número de unidades cúbicas no volume do gás e C é uma constante . Ache a taxa de variação instantânea de V em relação a P quando P = 4 e V = 8 .

4. Esta sendo drenado água de uma piscina, e V é o volume de água t minutos após o começo da drenagem, onde V = 250(1.600 - 80t + t2) , ache: (a) A taxa média segundo a qual a água deixa a piscina durante os 5 primeiros minutos. (b) A velocidade a qual a água está fluindo da piscina 5 minutos após o começo da drenagem .

5. Suponha que um cilíndro circular reto tenha uma altura constante de 10,00 cm . Se V cm^3 foi o volume do cilindro e r o raio de sua base, ache a taxa de variação média de V em relação a r quando r varia de: (a) 5,00 a 5,40 ; (b) 5,00 a 5,10 ; (c) 5,00 a 5,01 ; (d) ache a taxa de variação instantânea de V em relação a r quando r é 5,00 . Sugestão: A fórmula para encontrar o volume de um cilíndro circular reto é V = r^2h , onde h cm é altura do cilíndro .

6. Um tronco de árvore mede 20 m , tem a forma de um cone truncado. Os diâmetros de suas bases medem 2 m e 1 m , respectivamente. Deve-se cortar uma viga de seção transversal quadrada cujo eixo coincida com a do tronco e cujo volume seja o maior possível. Que dimensões deve ter a viga?.

7. Quando duas resistências elétricas R1 e R2 estão unidas em paralelo, a resistência total R está dada por = + . Se R1 e R2 aumentam a razão de 0.01 ohms/sg e 0.02 ohms/sg , respectivamente, Qual é a taxa de variação de R no instante em que R1 = 30 ohms e R2 = 90 ohms ?

8. Um foguete é lançado verticalmente e sua trajetória tem equação horária s = 160t - 5t2 , o sentido positivo para o céu. Determine: a) A velocidade do foguete 2 s depois do lançamento. b) O tempo que leva o foguete para alcançar sua altura máxima.

9. Um tanque tem a forma de um cone com o vértice para abaixo e mede 12m de altura e 12m de diâmetro. Bombeia-se água a razão de 4 m3/min . Calcular a razão com que o nível de água sobe: (a) Quando a água tem 2m de profundidade. (b) Quando a água tem 8m de profundidade

10. Uma pedra é lançada a uma lagoa e produz uma serie de ondulações concêntricas. Se o raio r da onda exterior cresce uniformemente a razão de 1.8 m/s , determine a taxa com a que a água perturbada está crescendo (a) Quando r = 3 m. (b) Quando r = 6m .

11. Uma pedra se deixa cair (com velocidade inicial zero) do topo de um edifício de 144 metros de altura. a) Em que momento a pedra chegará ao solo? b) Qual será a velocidade ao chegar ao solo? Sugestão: Para um objeto que se atira ou cai verticalmente, a altura que recorre depois de t segundos é: A(t) = -16t2+V0+A0 , onde V0 é a velocidade inicial do objeto e A_0 é a altura inicial.

12. Suponhamos que um cilíndro circular reto e fechado tenha uma área de 100 cm2 . Que valores devem ter o raio e sua altura para que seu volume seja máximo?

13. Mostre que o cilíndro reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone, é do volume do cone.

14. Um cone circular reto tem um volume de 120 cm^3 Que dimensões deve ter para eu sua área lateral seja mínima?

15. Num triângulo isósceles ABC o lado desigual AC mede 2a e a altura correspondente a esse lado mede h . Determine os pontos P sobre a altura mencionada para que a soma das distâncias de P até os três vértices sea: a) mínima; b) máxima.

16. Calcule as dimensões do trapézio de perímetro máximo que pode-se inscrever em uma semicircunferência de raio r se uma base do trapézio ocupa todo o diâmetro de la semicircunferência. (Utilizar funções trigonométricas).

17. Um comerciante produz certo produto ao custo unitário de R$ 5 e calcula que, se vendê-los a x reais a unidade, os clientes comprarão (20 - x) unidades por dia. A que preço o fabricante deve vender seu produto para que seja máximo o lucro obtido?

18. Mostre que a reta normal à parábola em qualquer ponto que pertença a esta, desempenha a função de bissetriz do ângulo formado entre o raio focal do ponto e a reta paralela ao eixo da parábola e que passa pelo ponto dado.

Miscelânea 6-1

1. Estudemos a seguinte função: f(x) =

Pelo T.V.M no intervalo [0, x] tem-se: f(x) - f(0) = x.f'() quando ( 0 <  <x) . Isto é: x2sen = x(2.sen - cos ) , onde cos = 2.sen - x.sen .

Quando x tende para zero,  também tende para zero; deste modo concluímos que: cos = 0 . Explicar este resultado paradoxal.

2. Para uma constante a > 0 , determine a diferença entre o valor máximo e mínimo relativo da função g(x) = (a - - x )(4 - 3x^2) .

3. Sejam f e g funções diferenciáveis em (a, b) tais que f'(x)> g'(x) \quad  x  (a, b) . Se existe c  (a, b) tal que f(c) = g(c) , mostre que f(x) < g(x) \quad  x  (a, c) e g(x) < f(x)\quad  x  (c, b) .

4. Seja f derivável em R e g(x) = , \quad x  0 . Se c é um ponto de máximo local de g , mostre que:

1. c.f'(c) - f(c) = 0 .

2. A reta tangente ao gráfico de f no ponto (c, f(c)) passa pela origem.

5. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento das seguintes funções:

1. y = 2 - 3x + x3 2. y = x.e-x 3. y =

4. y = (2 - x)(x + 1)2 5. y = x2(1 -x ) 6. y = Ln(x2 + 1)

7. y = 8. y = (2x - 1) 9. y = x - 2sen2x

10. y = e1,5sen x

6. Determine um ponto no eixo- y desde o qual o segmento seja observado com um ângulo máximo.

7. Determine o cilindro de superfície total S , tal que seu volume seja máximo.

8. Para os seguintes exercícios, traçar o gráfico da curva correspondente indicando suas assíntotas.

1. f(x) = 2. f(x) =

3. f(x) = 4. f(x) =

9. Uma escada com 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,6m/s , com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 4m do solo?

10. Um homem de 1,80m , caminhando à velocidade de 1,5m/s , afasta-se de uma lâmpada situada a 5m acima do chão. Calcule a velocidade com que se move a sombra do homem e a velocidade com que se move a extremidade dela.

11. O gás de um balão esférico escapa à razão de 2dm3/min . Encontre a razão com que diminui a superfície do balão quando o raio é de 12dm .

12. Um balão esférico está sendo inflado e seu raio é R no fim de t segundos. Encontre o raio no instante em que as taxas de variação da superfície e do raio são numéricamente iguais.

13. Mostre que a subtangente correspondente a qualquer ponto da parábola y = ax2 é igual à metade da abscissa do ponto de tangencia.

14. O número de bactérias de certo cultivo num instante t é dado pela fórmula N = 1000(25+ te^{t/20}) para 0  t  100 .

1. Em que instante desse intervalo, 0  t  100 , existe um número máximo e um número mínimo de bactérias?

2. Em que instante é mais lento o crescimento ou decrescimento do número de bactérias?

15. A velocidade de um móvil que parte da origem está dada em m/s e pelo gráfico:

1. Calcular a função “espaço percorrido”.

2. Graficar a função espaço percorrido-tempo.

3. Prove que a área sob a curva que da a velocidade coincide com o espaço total percorrido.