C?LCULO DIFERENCIAL EM R

1.6 Axioma do Supremo.

Definição 1.7.

Seja A um subconjunto não vazio do conjunto de números reais R.

i) Dizemos que o conjunto A é limitado superiormente, se existe um elemento k1 .

R tal que:

a = k1, para todo a .

A.

ii) Dizemos que o conjunto A é limitado inferiormente, se existe um elemento k2 .

R tal que:

k2 = a , para todo a .

A.

iii) Diremos que o conjunto A é limitado, se for limitado superior e inferiormente.

Exemplo 1.34.

1

a) Os conjuntos N, A=(0,+1)eB= { /.

n.

N } são conjuntos limitados inferiormente;

n

um limite inferior é k1 = -5.

b) Os conjuntos A = (-1, 3]eB= { x .

R ;5 -(x - 1)2 > 0 } são conjuntos limitados superiormente; um limite superior é k2 = 5.

1

c) O conjunto A = { =.

n .

N} é limitado.

n

Observação 1.8.

O menor dos limites superiores é chamado de “supremo” e, o maior dos limites inferiores é chamado “ínfimo”.

O ínfimo ou supremo de um conjunto, pode não pertencer ao próprio conjunto.

1

Por exemplo o ínfimo para o conjunto A = { =.

n .

N} é o zero.

n

Definição 1.8.

Seja A .

R e A 6

= ;.

i) O número real s é chamado supremo de A e denotamos s = sup:A quando:

1o O número s é limite superior de A; isto é a = s .

a .

A.

2o Se b .

A e b<s então existe x .

A tal que b<x = s.

ii) O número real r é chamado ínfimo de A e denotamos r = inf.A quando :

1o O número r é limite superior de A; isto é r = a 8a .

A.

2o Se b .

A e r<b então existe x .

A tal que r = x<b.

Definição 1.9.

Se o supremo e ínfimo de um conjunto A pertencem ao mesmo conjunto A, então são chamados de “máximo” e “mínimo” respectivamente de A e denotamos max :A e min :A (respectivamente).

38 Christian Quintana Pinedo

Exemplo 1.35.

1

Sejam os conjuntos:

A = (0, 9] B = { =:n .

N} C = N.

n

Então:

inf :(A)=0 e sup :(A) = 9 = max :(A); inf :(B)=0 e sup :(B) = 1 = max :(B) inf :(C)=0 e sup :(C) não existe.

Axioma 1.2.

Axioma do Supremo.

Todo conjunto de números reais não vazio limitado superiormente, tem supremo

Propriedade 1.11.

Se o conjunto A .

R sendo A 6e

= Ø A limitado inferiormente, então o conjunto A possui ínfimo.

Demonstração.

Seja B = f¡x .

R=.

x .

A } , B =6
Ø

Se c é limite inferior de A, então c = a .

a .

A; logo ¡a = c .

a .

A então ¡c é limite superior de B e pelo axioma do supremo então B possui supremo s = sup :(B); assim ¡s = inf :(A).

Propriedade 1.12.

Princípio da boa ordem.

Todo conjunto não vazio de Z limitado inferiormente possui mínimo.

A demonstração é exercício para leitor.