Consideremos uma curva qualquer y = f(x) e um ponto A que se movimenta ao longo dessa curva.
Definição 6.5
Dizemos que o ponto A tende (converge) ao infinito se, a distância entre o ponto A e a origem de coordenadas (0, 0) tende ao infinito (a distância cresce indefinidamente).
Definição 6.6
Figura 6.6
Seja A um ponto que se movimenta ao longo de uma curva y = f(x) e d a distância entre A e uma reta L . Se acontece que o ponto A tende ao infinito e, a distância d tende a zero, dizemos que a reta L é uma de assíntota da curva y=f(x) ; isto é \lim \limits_{ A \to +\infty} d(A, L) = 0 .Figura 6.6)
Propeiedade 6.5
A reta x = a é uma assíntota vertical da curva y = f(x) se cumpre um dos seguintes enunciados:
1º. f(x) = (Figura 6.5)
2º. f(x) = (Figura 6.7)
3º. f(x) = (Figura 6.8)
A demonstração obtém-se facilmente da definição de assíntota.
f(x) = + f(x) = -
Figura 6.7: Figura 6.8:
Propriedade 6.6
A reta y = k é uma assíntota horizontal da curva y = f(x) se cumpre um dos seguintes enunciados:
1o. .f(x) = k
2o. f(x) = k (Figura 6.9))
3o. f(x) = k (Figura 6.10)
A demonstração é obvia.
f(x) = k f(x) = k
Figura 6.9 Figura 6.10
Propriedade 6.7
A reta y = mx + b, m 0 é uma assíntota oblíqua da curva y = f(x) se e somente se cumpre uma das seguintes condições:
1º. [ ] = m e [f(x) - mx] = b (Figura 6.11)
2º. [ ] = m e [f(x) - mx] = b (Figura 6.12)
Figura 6.11: Figura 6.12:
Demonstração (i)
Suponhamos que a curva y = f(x) tenha uma assíntota oblíqua de equação y = mx + b .
Seja A(x, f(x)) o ponto que se movimenta ao longo da curva y = f(x) ; e C(x, mx+b) o ponto da assíntota de abscissa x .
Da definição de assíntota temos que = 0 ; porém
= .cos e = | f(x) - (mx+b) |
onde cos é uma constante diferente de zero.
Logo, = 0 = 0 [f(x) - (mx + b)] = 0 .
Portanto, temos [f(x) - mx ] = b .
Reciprocamente ( )
Se [f(x) - (mx + b)] = 0 é obvio que a reta y = mx + b é uma assíntota.
Por outro lado, determinemos m e b .
[f(x) - (mx + b)] = 0 [ - ]. x = 0 então deve acontecer que [ - ] = 0 pois x + de onde, [ - m ] = = 0 assim, = m . Sendo m conhecido e considerando [f(x) - (mx + b)] = 0 obtemos que [f(x) - mx] = b .
Por outro lado, se m e b são números que satisfazem as condições = m e [f(x) - mx] = b então [f(x) - (mx+b)] = 0 o que implica que a reta y = mx + b é uma assíntota de y = f(x) .
Observação 6.4
Respeito à Propriedade (6.7) é necessário o seguinte:
i) Se ao calcular os valores m e b (quando x + ) um dos limites não existe, a curva não apresenta assíntota oblíqua à direita. Resultado similar obtém-se quando x - .
ii) Se m = 0 e b é infinito, a assíntota é horizontal.
Exemplo 6.21
Determine as assíntotas da curva determinada pelas equações:
(a) f(x) = + (b) g(x) = .
Solução a)
O domínio D(f) = R - {2} .
O cálculo do limite [ + ] = , logo x = 2 é assíntota vertical.
Observe que, [ + ] = , logo não tem assíntota horizontal.
Para o cálculo de assíntota oblíqua :
= [ + ] = 1 = m
[f(x) - mx] = [ + - x] = + , logo não existe assíntota oblíqua.
De modo análogo, não existe assíntota oblíqua quando x -.
Solução (b)
O domínio D(g) = R - {-5} .
Possível assíntota vertical, x = -5 ; o cálculo do limite = = , logo x = -5 é assíntota vertical.
Observe que, = , logo não tem assíntota horizontal.
Por outro lado, = = 5 além disso,
[g(x) - 5x] = [ -5x] = -33
Assim y = 5x - 33 é assíntota oblíqua.
Para o caso x -, temos que, = = 5 também
[g(x) - 5x] = [ -5x] = -33
Portanto, y = 5x - 33 é a única assíntota oblíqua.
Exemplo 6.22
Determine as assíntotas da curva y = , e traçar os respectivos gráficos.
Solução
O domínio D(f) = R - {2} .
Intersecções com os eixos.
a) Com o eixo- y : x = 0 então f(0) = - ; é o ponto A(0, - )
Figura 6.13
b) Com o eixo- x : y = 0 então x = ; são os pontos de coordenadas B( , 0 ) e C( , 0 )
Cálculo de assíntotas
a) Verticais:
f(x) = = +
f(x) = = -
Logo x = 2 é assíntota vertical.
b) Horizontais:
Temos que f(x) = .
Logo não tem assíntotas horizontais.
c) Oblíquas:
= = 2 .
b = [f(x) - mx ] = [ - 2x ] =
= -3
Por tanto a reta y = 2x - 3 é uma assíntota à direita e esquerda da curva y = f(x) . O gráfico mostra-se na Figura (6.13).
Exemplo 6.23
Determine as assíntotas da curva dada pela equação g(x) = . Mostre seu respectivo gráfico.
Solução
O domínio da função é D(g) = R.
Observe que não temos assíntotas verticais; pois não existe número a tal que o limite g(x) = isto é não existe valor real que faz zero o denominador.
Não temos assíntotas horizontais; não existe número c tal que o limite g(x) = c.
Cálculo de assíntotas oblíquas:
m = = = 1
b = [ - 1. x ]=
= [ ] = -1
A reta y = x - 1 é assíntota direita e esquerda.
Cálculo de extremos relativos:
g'(x) = então x = -1, x = 3 e x = -3 são pontos críticos.
Observe que, para h positivo suficientemente pequeno temos que g'(-1+h) < 0 e g'(-1-h) > 0 , logo temos máximo relativo no ponto A(-1, ) ; por outro lado, g'(3-h) < 0 e g'(3+h) > 0 , logo em B(3, 0) temos mínimo relativo.
Figura 6.14: Figura 6.15:
O gráfico mostra-se na Figura (6.14).
Exemplo 6.24
Traçar o gráfico da função f(x) = mostrando as assíntotas.
Solução
O domínio de definição é, D(f) = { x R /. x4-5x3-4x2+20x 0} , isto é D(f) = (-, -2] [0, 2] [5, +) .
Intersecções com eixos de coordenadas são os pontos (-2, 0), (0, 0), (2, 0) e (5, 0) .
Não tem assíntotas verticais nem horizontais.
Cálculo de assíntotas oblíquas:
m = = = 1
b = f(x) - 1 . x = [ - x] = -
A reta y = x - é assíntota oblíqua à direita.
Por outro lado: m = = = -1 .
b = [f(x) –(-1) x] = [ - (-1)x] =
A reta y = -x + é assíntota oblíqua à esquerda.
O gráfico mostra-se na Figura (6.15).
Exemplo 6.25
Construir o gráfico da curva y = g(x) , mostrando suasassíntotas.
g(x) =
Solução
O domínio da função D(g) = R - {-1}.
Cálculo de assíntotas horizontais:
.g(x) = = 1 e .g(x) = (- ) = -
A única assíntota horizontal é y = 1 .
Cálculo de assíntotas verticais:
As possíveis assíntotas verticais são os valores de x para os quais o denominador é zero e estes valores são: x = 0, x = -1, e x = 4 .
O limite = + ; e = , em x = -4 não tem sentido calcular pelo fato estar definida g(x) no intervalo real (-3, 0] . Logo a única assíntota vertical é x = 0 .
Assíntotas oblíquas:
Não existe assíntota oblíqua à direita, pois já existe uma assíntota horizontal.
Figura 6.16:
m = = = = 1
b = [g(x) - mx] = [- - x] = = 0
A única assíntota oblíqua é y = x .
O gráfico mostra-se na Figura (6.16)
Observação 6.5
Se a equação de uma curva escreve-se na forma x = g(y) , para obter assíntotas utilizamos os resultados das Propriedades (6.5) – (6.7) modificando as variáveis correspondentes. Deste modo:
i) Se g(y)= k ou se g(y)= k então areta x = k é uma assíntota vertical.
ii) Se existe a R tal que g(y) = , g(y) = ou g(y) = , então a reta y = a é uma assíntota horizontal.
iii) A reta x = ky + b é uma assíntota oblíqua se:
= k e [g(y) - ky ] = b ou
= k e [g(y) - ky ] = b
Exemplo 6.26
Traçar o gráfico da curva y3 - y2x + y2 + x = 0 , mostrando suas assíntotas.
Solução
Da equação a curva temos que, x = f(y) = .
A variável y (imagem da função y = f-1(x) ) pertence ao conjunto de números reais R - {-1, 1}.
Assíntotas verticais:
Observe o .f(y) = ; logo não existe assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais:
São possíveis assíntotas horizontais y = -1 e y = 1 .
= -
= + e = -
então a única assíntota horizontal é y = 1 .
Assíntotas oblíquas:
Figura 6.17:
k = = = 1
b = [g(y) - ky ] = [ - y ]= 1
logo a única assíntota é x = y + 1 .
O gráfico mostra-se na Figura (6.17)
Exemplo 6.17
Determine o gráfico da curva y3x2 - y2 + y + 2 = 0 , mostrando suas assíntotas.
Solução
Observe que, x2 = , de onde x = .
Ao substituir x por -x na equação original, a mesma não vária, logo é simétrica respeito do eixo- y ; então é suficiente analisar x = .
Derivando implicitamente, 3y^2x^2y' + 2y^3x - 2yy' + y' = 0 , logo y'= \disp então x = 0 é um ponto.
Quando x = 0, y = 2 ou y = -1 ; em (0, 2) temos máximo relativo e, em (0, -1) temos mínimo relativo.
Considerando que x = = então a imagem y pertence ao intervalo [-1, 0) [2, +) .
O limite = + ; logo y = 0 é assíntota horizontal.
Por outro lado, = 0 então x = 0 é a única assíntota horizontal.
Não tem assíntotas oblíquas, seu gráfico mostra-se na Figura (6.18).
Observação 6.6
Para o gráfico de curvas podemos utilizar recursos adicionais de pontos críticos e, ou critérios da derivada.
Figura 6.18:
Exercícios 6-2
1. Determinar os intervalos de crescimento, os extremos relativos e esboçar o gráfico das seguintes funções.
1. f(x) = x3+2x2 - 4x+2 2. f(x) = x4-14x2-24x+1
3. f(x) = 5 - 4. f(x) = | x^2 - 9 |
5. f(x) = 6. f(x) =
7. g(x) = 8. f(x) =
9. g(x) = 3x5-125x3+2160x 10.. g(x) = (x-1)
11. h(x) = - 12. g(x) = x3 +
13. f(x) = 14. f(x) =
15. f(x) = 16. f(x) =
2. Para os seguintes exercícios determine os pontos de máximo ou mínimo, caso existir.
1. f(x) = (a - x)2 + (b - x)2 para a b .
2. f(x) = (a_1 - x)2 + (a_2 - x)2 + (a_3 - x)2 + . . . + (a_n - x)2
3. f(x) = (a_1 - 2x2)2 + (a_2 - 2x2)2 + (a_3 -2x2)2 + . . . + (a_n - 2x2)2 .
4. f(x) = (a_1 - x)r + (a_2 - x)r + (a_3 - x)r +. . . + (a_n - x)r .
3. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento para as funções:
1. y = x(1+ ) 2. y = x - 2sen x , se 0 x 2.
4. Analisar os extremos das seguintes funções:
1. y = (x - 5)ex 2. y =x
3. y = (x - 1)4 4. y =1 -
5. Determinar os valores a, b e c se:
1. f(x) = 2x3 + ax2 + b tem extremo relativo em (-1, 2) .
2. g(x) = ax2 + bx + c tem extremo relativo em (1, 7) e o gráfico passa pelo ponto (2, -2) .
6. Para cada uma das seguintes funções, determine o determine o máximo ou mínimo absoluto nos intervalos indicados.
1. f(x) = 3x4-8x3+6x2 em [- , ] 2. f(x) = em [- , 1]
3. f(x) = em [-0, 5] 4. f(x) = em [-1, ]
7. Para as seguintes funções, determine os extremos relativos:
1. f(x) =
2. f(x) =
8. Determine o raio da base e a altura h de um cilindro reto com volume constante V , de modo que sua área total seja mínima.
9. Achar os lados do retângulo, de maior área possível, inscrito na elipse: b2x2 + a2y2 = a2b2 .
10. Sejam os pontos A(1, 4) e B(3, 0) da elipse 2x2 + y2 = 18 . Achar um terceiro ponto C tal que, a área do triângulo ABC seja a maior possível.
11. Entre os retângulos de perímetro 10 , qual deles é aquele que tem maior área ?
12. Para os seguintes exercícios, traçar o gráfico da curva correspondente indicando suas assíntotas.
1. f(x) = + 2x 2. f(x) =
3. f(x) = 4. f(x) =
5. f(x) = 6. f(x) =
7. f(x) = - x 8. f(x) =
9. f(x) = 10. f(x) = +
11. f(x) = 12. f(x) = +
13. f(x) = 14. f(x) = -
15. f(x) = 16. f(x) = +
17. f(x) = 18. f(x) = + x
19. y3 - 6x2 + x3 = 0 20. f(x) = x -
21. f(x) =
22. f(x) =
23. f(x) =
24. f(x) =
12. Construir o gráfico das seguintes curvas, mostrando suas assíntotas.
1. y3 = (x-a)2(x-c), a > 0, c > 0 2. y2(x-2a) = x3 - a3
3. x3 - 2y2 - y^3 = 0 4. xy2 + yx2 = a3, a > 0
5. 4x3 = (a+3x)(x^2+y^2), a > 0 6. x2(x-y)2 = a2(x2+y2)
7. x2(x-y)2 = y^4 - 1
13. Determine as constantes m e n que satisfaz a condição:
1. [ - mx - n ] = 0
2. [ - mx - n ] = 0
3. [ -mx - n] = 0
4. [ -mx -n ] = 0
5. [ -3mx - 2n ] = 0
6. [ - 2mx - 3n ] = 0
7. [ - - + 2mx - 3n ] = 0
8. [ - + + 4mx + 17n ] = 0
14. Para cada um dos seguintes exercícios, desenhar a região A :
1. A = {(x, y) R2 /. y = cosx, x = - , x = , y = 0 }
2. A = {(x, y) R2 /. y = x2 + 2x- 3 , x = -2, x = 0, y = 0 }
3. A = {(x, y) R2 /. y = 9 - x2, y = x2 + 1 }
4. A = {(x, y) R2 /. y = , y = 0, x = -1, x = 2 }
5. A = {(x, y) R2 /. y = 3x - x2, y = x2 - x }
6. A = {(x, y) R2 /. y = tanx, x = 0, y = cos x }
7. A = {(x, y) R2 /. y = x3 + x, x = 0, y = 2, y = 0 }
8. A = {(x, y) R2 /. y = arctanx, y = arccos , y = 0 }
9. A = {(x, y) R2 /. y = arcsenx, y = arccos x, x= 1 }
10. A = {(x, y) R2 /. y = x3 -3x2 + 2x + 2 , y = 2x2 - 4x + 2 }
11. A = {(x, y) R2 /. y = 4 -Ln(x+1), y = Ln(x+1), x = 0 }
12. A = {(x, y) R2 /. y2 - x = 0, y - x3 = 0, x + y - 2 = 0 }
13. A = {(x, y) R2 /. y(x2 + 4) =4(2 - x), y = 0, x = 0 }
14. A = {(x, y) R2 /. y = x3+ x - 4, y = x, y = 8 - x }
15. A = {(x, y) R2 /. y = ex, y = e-x, x = 1 }
16 A = {(x, y) R2 /. y = 2x + 2, x = y2 + 1, x = 0, y = 0, x = 2 }
17 A = {(x, y) R2 /. y = | x -2 | , y + x2 = 0, x = 1, x = 3 }
18 A = {(x, y) R2 /. y = , y = | x - 1 | , y = 0 }
19. A = {(x, y) R2 /. y = | sen x | para x [0, 2] , y = - x, x = 2}
20. A = {(x, y) R2 /. y = , x = -3, x = 3, y = 0 }
21. A = {(x, y) R2 /. y = arcsenx, y = arccos x, x = 0 }
22. A = {(x, y) R2 /. y =tan2x, y = 0, x = , x = 0 }