CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

Christian José Quintana Pinedo

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6.2.2 Assíntotas.

Consideremos uma curva qualquer y = f(x) e um ponto A que se movimenta ao longo dessa curva.

Definição 6.5

Dizemos que o ponto A tende (converge) ao infinito se, a distância entre o ponto A e a origem de coordenadas (0, 0) tende ao infinito (a distância cresce indefinidamente).

Definição 6.6

Figura 6.6

Seja A um ponto que se movimenta ao longo de uma curva y = f(x) e d a distância entre A e uma reta L . Se acontece que o ponto A tende ao infinito e, a distância d tende a zero, dizemos que a reta L é uma de assíntota da curva y=f(x) ; isto é \lim \limits_{ A \to +\infty} d(A, L) = 0 .Figura 6.6)

Propeiedade 6.5

A reta x = a é uma assíntota vertical da curva y = f(x) se cumpre um dos seguintes enunciados:

1º. f(x) =   (Figura 6.5)

2º. f(x) =   (Figura 6.7)

3º. f(x) =   (Figura 6.8)

A demonstração obtém-se facilmente da definição de assíntota.

f(x) = +  f(x) = - 

Figura 6.7: Figura 6.8:

Propriedade 6.6

A reta y = k é uma assíntota horizontal da curva y = f(x) se cumpre um dos seguintes enunciados:

1o. .f(x) = k

2o. f(x) = k (Figura 6.9))

3o. f(x) = k (Figura 6.10)

A demonstração é obvia.

f(x) = k f(x) = k

Figura 6.9 Figura 6.10

Propriedade 6.7

A reta y = mx + b, m  0 é uma assíntota oblíqua da curva y = f(x) se e somente se cumpre uma das seguintes condições:

1º. [ ] = m e [f(x) - mx] = b (Figura 6.11)

2º. [ ] = m e [f(x) - mx] = b (Figura 6.12)

Figura 6.11: Figura 6.12:

Demonstração (i)

Suponhamos que a curva y = f(x) tenha uma assíntota oblíqua de equação y = mx + b .

Seja A(x, f(x)) o ponto que se movimenta ao longo da curva y = f(x) ; e C(x, mx+b) o ponto da assíntota de abscissa x .

Da definição de assíntota temos que = 0 ; porém

= .cos e = | f(x) - (mx+b) |

onde cos é uma constante diferente de zero.

Logo, = 0  = 0  [f(x) - (mx + b)] = 0 .

Portanto, temos [f(x) - mx ] = b .

Reciprocamente (  )

Se [f(x) - (mx + b)] = 0 é obvio que a reta y = mx + b é uma assíntota.

Por outro lado, determinemos m e b .

[f(x) - (mx + b)] = 0  [ - ]. x = 0 então deve acontecer que [ - ] = 0 pois x  + de onde, [ - m ] = = 0 assim, = m . Sendo m conhecido e considerando [f(x) - (mx + b)] = 0 obtemos que [f(x) - mx] = b .

Por outro lado, se m e b são números que satisfazem as condições = m e [f(x) - mx] = b então [f(x) - (mx+b)] = 0 o que implica que a reta y = mx + b é uma assíntota de y = f(x) .

Observação 6.4

Respeito à Propriedade (6.7) é necessário o seguinte:

i) Se ao calcular os valores m e b (quando x  + ) um dos limites não existe, a curva não apresenta assíntota oblíqua à direita. Resultado similar obtém-se quando x  - .

ii) Se m = 0 e b é infinito, a assíntota é horizontal.

Exemplo 6.21

Determine as assíntotas da curva determinada pelas equações:

(a) f(x) = + (b) g(x) = .

Solução a)

O domínio D(f) = R - {2} .

O cálculo do limite [ + ] = , logo x = 2 é assíntota vertical.

Observe que, [ + ] = , logo não tem assíntota horizontal.

Para o cálculo de assíntota oblíqua :

= [ + ] = 1 = m

[f(x) - mx] = [ + - x] = + , logo não existe assíntota oblíqua.

De modo análogo, não existe assíntota oblíqua quando x  -.

Solução (b)

O domínio D(g) = R - {-5} .

Possível assíntota vertical, x = -5 ; o cálculo do limite = =  , logo x = -5 é assíntota vertical.

Observe que, = , logo não tem assíntota horizontal.

Por outro lado, = = 5 além disso,

[g(x) - 5x] = [ -5x] = -33

Assim y = 5x - 33 é assíntota oblíqua.

Para o caso x  -, temos que, = = 5 também

[g(x) - 5x] = [ -5x] = -33

Portanto, y = 5x - 33 é a única assíntota oblíqua.

Exemplo 6.22

Determine as assíntotas da curva y = , e traçar os respectivos gráficos.

Solução

O domínio D(f) = R - {2} .

Intersecções com os eixos.

a) Com o eixo- y : x = 0 então f(0) = - ; é o ponto A(0, - )

Figura 6.13

b) Com o eixo- x : y = 0 então x = ; são os pontos de coordenadas B( , 0 ) e C( , 0 )

Cálculo de assíntotas

a) Verticais:

f(x) = = + 

f(x) = = - 

Logo x = 2 é assíntota vertical.

b) Horizontais:

Temos que f(x) = .

Logo não tem assíntotas horizontais.

c) Oblíquas:

= = 2 .

b = [f(x) - mx ] = [ - 2x ] =

= -3

Por tanto a reta y = 2x - 3 é uma assíntota à direita e esquerda da curva y = f(x) . O gráfico mostra-se na Figura (6.13).

Exemplo 6.23

Determine as assíntotas da curva dada pela equação g(x) = . Mostre seu respectivo gráfico.

Solução

O domínio da função é D(g) = R.

Observe que não temos assíntotas verticais; pois não existe número a tal que o limite g(x) =  isto é não existe valor real que faz zero o denominador.

Não temos assíntotas horizontais; não existe número c tal que o limite g(x) = c.

Cálculo de assíntotas oblíquas:

m = = = 1

b = [ - 1. x ]=

= [ ] = -1

A reta y = x - 1 é assíntota direita e esquerda.

Cálculo de extremos relativos:

g'(x) = então x = -1, x = 3 e x = -3 são pontos críticos.

Observe que, para h positivo suficientemente pequeno temos que g'(-1+h) < 0 e g'(-1-h) > 0 , logo temos máximo relativo no ponto A(-1, ) ; por outro lado, g'(3-h) < 0 e g'(3+h) > 0 , logo em B(3, 0) temos mínimo relativo.

Figura 6.14: Figura 6.15:

O gráfico mostra-se na Figura (6.14).

Exemplo 6.24

Traçar o gráfico da função f(x) = mostrando as assíntotas.

Solução

O domínio de definição é, D(f) = { x  R /. x4-5x3-4x2+20x  0} , isto é D(f) = (-, -2]  [0, 2]  [5, +) .

Intersecções com eixos de coordenadas são os pontos (-2, 0), (0, 0), (2, 0) e (5, 0) .

Não tem assíntotas verticais nem horizontais.

Cálculo de assíntotas oblíquas:

m = = = 1

b = f(x) - 1 . x = [ - x] = -

A reta y = x - é assíntota oblíqua à direita.

Por outro lado: m = = = -1 .

b = [f(x) –(-1) x] = [ - (-1)x] =

A reta y = -x + é assíntota oblíqua à esquerda.

O gráfico mostra-se na Figura (6.15).

Exemplo 6.25

Construir o gráfico da curva y = g(x) , mostrando suasassíntotas.

g(x) =

Solução

O domínio da função D(g) = R - {-1}.

Cálculo de assíntotas horizontais:

.g(x) = = 1 e .g(x) = (- ) = - 

A única assíntota horizontal é y = 1 .

Cálculo de assíntotas verticais:

As possíveis assíntotas verticais são os valores de x para os quais o denominador é zero e estes valores são: x = 0, x = -1, e x = 4 .

O limite = + ; e = , em x = -4 não tem sentido calcular pelo fato estar definida g(x) no intervalo real (-3, 0] . Logo a única assíntota vertical é x = 0 .

Assíntotas oblíquas:

Não existe assíntota oblíqua à direita, pois já existe uma assíntota horizontal.

Figura 6.16:

m = = = = 1

b = [g(x) - mx] = [- - x] = = 0

A única assíntota oblíqua é y = x .

O gráfico mostra-se na Figura (6.16)

Observação 6.5

Se a equação de uma curva escreve-se na forma x = g(y) , para obter assíntotas utilizamos os resultados das Propriedades (6.5) – (6.7) modificando as variáveis correspondentes. Deste modo:

i) Se g(y)= k ou se g(y)= k então areta x = k é uma assíntota vertical.

ii) Se existe a  R tal que g(y) =   , g(y) =   ou g(y) =  , então a reta y = a é uma assíntota horizontal.

iii) A reta x = ky + b é uma assíntota oblíqua se:

= k e [g(y) - ky ] = b ou

= k e [g(y) - ky ] = b

Exemplo 6.26

Traçar o gráfico da curva y3 - y2x + y2 + x = 0 , mostrando suas assíntotas.

Solução

Da equação a curva temos que, x = f(y) = .

A variável y (imagem da função y = f-1(x) ) pertence ao conjunto de números reais R - {-1, 1}.

Assíntotas verticais:

Observe o .f(y) = ; logo não existe assíntotas verticais.

Assíntotas horizontais:

São possíveis assíntotas horizontais y = -1 e y = 1 .

= -

= +  e = -

então a única assíntota horizontal é y = 1 .

Assíntotas oblíquas:

Figura 6.17:

k = = = 1

b = [g(y) - ky ] = [ - y ]= 1

logo a única assíntota é x = y + 1 .

O gráfico mostra-se na Figura (6.17)

Exemplo 6.17

Determine o gráfico da curva y3x2 - y2 + y + 2 = 0 , mostrando suas assíntotas.

Solução

Observe que, x2 = , de onde x =  .

Ao substituir x por -x na equação original, a mesma não vária, logo é simétrica respeito do eixo- y ; então é suficiente analisar x = .

Derivando implicitamente, 3y^2x^2y' + 2y^3x - 2yy' + y' = 0 , logo y'= \disp então x = 0 é um ponto.

Quando x = 0, y = 2 ou y = -1 ; em (0, 2) temos máximo relativo e, em (0, -1) temos mínimo relativo.

Considerando que x = = então a imagem y pertence ao intervalo [-1, 0)  [2, +) .

O limite = + ; logo y = 0 é assíntota horizontal.

Por outro lado, = 0 então x = 0 é a única assíntota horizontal.

Não tem assíntotas oblíquas, seu gráfico mostra-se na Figura (6.18).

Observação 6.6

Para o gráfico de curvas podemos utilizar recursos adicionais de pontos críticos e, ou critérios da derivada.

Figura 6.18:

Exercícios 6-2

1. Determinar os intervalos de crescimento, os extremos relativos e esboçar o gráfico das seguintes funções.

1. f(x) = x3+2x2 - 4x+2 2. f(x) = x4-14x2-24x+1

3. f(x) = 5 - 4. f(x) = | x^2 - 9 |

5. f(x) = 6. f(x) =

7. g(x) = 8. f(x) =

9. g(x) = 3x5-125x3+2160x 10.. g(x) = (x-1)

11. h(x) = - 12. g(x) = x3 +

13. f(x) = 14. f(x) =

15. f(x) = 16. f(x) =

2. Para os seguintes exercícios determine os pontos de máximo ou mínimo, caso existir.

1. f(x) = (a - x)2 + (b - x)2 para a  b .

2. f(x) = (a_1 - x)2 + (a_2 - x)2 + (a_3 - x)2 + . . . + (a_n - x)2

3. f(x) = (a_1 - 2x2)2 + (a_2 - 2x2)2 + (a_3 -2x2)2 + . . . + (a_n - 2x2)2 .

4. f(x) = (a_1 - x)r + (a_2 - x)r + (a_3 - x)r +. . . + (a_n - x)r .

3. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento para as funções:

1. y = x(1+ ) 2. y = x - 2sen x , se 0  x  2.

4. Analisar os extremos das seguintes funções:

1. y = (x - 5)ex 2. y =x

3. y = (x - 1)4 4. y =1 -

5. Determinar os valores a, b e c se:

1. f(x) = 2x3 + ax2 + b tem extremo relativo em (-1, 2) .

2. g(x) = ax2 + bx + c tem extremo relativo em (1, 7) e o gráfico passa pelo ponto (2, -2) .

6. Para cada uma das seguintes funções, determine o determine o máximo ou mínimo absoluto nos intervalos indicados.

1. f(x) = 3x4-8x3+6x2 em [- , ] 2. f(x) = em [- , 1]

3. f(x) = em [-0, 5] 4. f(x) = em [-1, ]

7. Para as seguintes funções, determine os extremos relativos:

1. f(x) =

2. f(x) =

8. Determine o raio da base e a altura h de um cilindro reto com volume constante V , de modo que sua área total seja mínima.

9. Achar os lados do retângulo, de maior área possível, inscrito na elipse: b2x2 + a2y2 = a2b2 .

10. Sejam os pontos A(1, 4) e B(3, 0) da elipse 2x2 + y2 = 18 . Achar um terceiro ponto C tal que, a área do triângulo ABC seja a maior possível.

11. Entre os retângulos de perímetro 10 , qual deles é aquele que tem maior área ?

12. Para os seguintes exercícios, traçar o gráfico da curva correspondente indicando suas assíntotas.

1. f(x) = + 2x 2. f(x) =

3. f(x) = 4. f(x) =

5. f(x) = 6. f(x) =

7. f(x) = - x 8. f(x) =

9. f(x) = 10. f(x) = +

11. f(x) = 12. f(x) = +

13. f(x) = 14. f(x) = -

15. f(x) = 16. f(x) = +

17. f(x) = 18. f(x) = + x

19. y3 - 6x2 + x3 = 0 20. f(x) = x -

21. f(x) =

22. f(x) =

23. f(x) =

24. f(x) =

12. Construir o gráfico das seguintes curvas, mostrando suas assíntotas.

1. y3 = (x-a)2(x-c), a > 0, c > 0 2. y2(x-2a) = x3 - a3

3. x3 - 2y2 - y^3 = 0 4. xy2 + yx2 = a3, a > 0

5. 4x3 = (a+3x)(x^2+y^2), a > 0 6. x2(x-y)2 = a2(x2+y2)

7. x2(x-y)2 = y^4 - 1

13. Determine as constantes m e n que satisfaz a condição:

1. [ - mx - n ] = 0

2. [ - mx - n ] = 0

3. [ -mx - n] = 0

4. [ -mx -n ] = 0

5. [ -3mx - 2n ] = 0

6. [ - 2mx - 3n ] = 0

7. [ - - + 2mx - 3n ] = 0

8. [ - + + 4mx + 17n ] = 0

14. Para cada um dos seguintes exercícios, desenhar a região A :

1. A = {(x, y)  R2 /. y = cosx, x = - , x = , y = 0 }

2. A = {(x, y)  R2 /. y = x2 + 2x- 3 , x = -2, x = 0, y = 0 }

3. A = {(x, y)  R2 /. y = 9 - x2, y = x2 + 1 }

4. A = {(x, y)  R2 /. y = , y = 0, x = -1, x = 2 }

5. A = {(x, y)  R2 /. y = 3x - x2, y = x2 - x }

6. A = {(x, y)  R2 /. y = tanx, x = 0, y = cos x }

7. A = {(x, y)  R2 /. y = x3 + x, x = 0, y = 2, y = 0 }

8. A = {(x, y)  R2 /. y = arctanx, y = arccos , y = 0 }

9. A = {(x, y)  R2 /. y = arcsenx, y = arccos x, x= 1 }

10. A = {(x, y)  R2 /. y = x3 -3x2 + 2x + 2 , y = 2x2 - 4x + 2 }

11. A = {(x, y)  R2 /. y = 4 -Ln(x+1), y = Ln(x+1), x = 0 }

12. A = {(x, y)  R2 /. y2 - x = 0, y - x3 = 0, x + y - 2 = 0 }

13. A = {(x, y)  R2 /. y(x2 + 4) =4(2 - x), y = 0, x = 0 }

14. A = {(x, y)  R2 /. y = x3+ x - 4, y = x, y = 8 - x }

15. A = {(x, y)  R2 /. y = ex, y = e-x, x = 1 }

16 A = {(x, y)  R2 /. y = 2x + 2, x = y2 + 1, x = 0, y = 0, x = 2 }

17 A = {(x, y)  R2 /. y = | x -2 | , y + x2 = 0, x = 1, x = 3 }

18 A = {(x, y)  R2 /. y = , y = | x - 1 | , y = 0 }

19. A = {(x, y)  R2 /. y = | sen x | para x [0, 2] , y = - x, x = 2}

20. A = {(x, y)  R2 /. y = , x = -3, x = 3, y = 0 }

21. A = {(x, y)  R2 /. y = arcsenx, y = arccos x, x = 0 }

22. A = {(x, y)  R2 /. y =tan2x, y = 0, x = , x = 0 }