C?LCULO DIFERENCIAL EM R

1.2.1 Adição e Multiplicação de Números Reais.

Aceitamos que em R, estão definidas duas leis de composição interna:

Adição (Soma):

Para todo número real a e b temos que a + b também é um número real.

Multiplicação (Produto):

Para todo número real a e b temos que a
· b também é um número real.

A adição e a multiplicação de números reais satisfazem os seguintes axiomas:

Cálculo Diferencial em R

Propriedade 1.1.

Para todos os números reais a, b, c temos as seguintes propriedades :

1. Os elementos neutro, inverso aditivo e multiplicativo, são únicos.

2. a = ¡(¡a).¡1)¡1
3. Se a =60 então a =(a.

4. a:0=0:a =0.

5. ¡a =(¡1):a.

6. a:(¡b)=(¡a):b = ¡(a:b) 7.

(¡a):(¡b)= a:b 8.

a + c = b + c se, e somente se a = b.

9. Se a:c = b:c e c 60, então a = b.

10. a:b =0 se, e somente se a =0 ou b =0.

11. a= b2 se, e somente se a = b ou a = ¡b.

Demonstração.

(2) Pelo Axioma A4, tem-se que:

a . R existe ¡a .

R que satisfaz a igualdade a + (¡a)=(¡a)+ a =0.

Assim para todo (¡a) .

R existe ¡(¡a) .

R que satisfaz a igualdade (¡a)+(¡(¡a)) = (¡(¡a)) + (¡a)=0.

Então a +(¡a)+(¡(¡a)) = (¡(¡a)) + a +(¡a); isto é a = ¡(¡a).

Demonstração.

(4)

a:0= a(0 + 0); pois 0=0+0 Logo, pelo Axioma D1 segue que a:0= a
· (0+0) = a:0+ a:0, então a:0=0 .

Demonstração.

(5)

a +(¡1)a =1:a +(¡1):a isto de a =1:a = [1 + (¡1)]:a distributividade = 0 [1+(¡1)] = 0 e a:0=0

então, aplicando o Axioma A4 para a, segue (¡1)a = ¡a .

Demonstração.

Demonstração.

(10) Suponhamos que a =0 ou b =0.

Então pela Propriedade (1.1)-(4) segue que a:b =0.

Por outro lado, suponha.

¡1 ¡1

Suponhamos que a:b =0 e que a 6¡1(a:b)= a:0=0, isto é (a:a):b =1:b =0;

=0.

Então a
logo b =0.

De modo análogo, suponha que b 6¤

=0.

Logo a =0.

Definição 1.1.

A diferença e o quociente de dois números reais é definido por:

Demonstração.

(1)

Sendo a e b números reais, então a - b é um número real.

Logo existe seu oposto aditivo ¡(a - b).

Assim (a - b)+(¡(a - b)) = 0.

Pela Definição (1.1) segue-se:

(a - b) - (a - b)=0 ou a +(¡b) - (a - b)=0 (1.1)

Cálculo Diferencial em R 7

Por outro lado, ¡(b - a) é um número real, logo existe seu inverso aditivo ¡[¡(b - a)], logo ¡(b¡a)+ f¡[¡(b¡a)]} =0.

Assim pela Propriedade (1.1)-(2) temos que:

¡(b¡a)+(b¡a)=0 então

¡(b - a)+ b +(¡a)=0 (1.2)

De (1.1) e (1.2) temos que (a +(¡b) - (a - b)) + (¡(b - a)+ b +(¡a)) = 0, isto é ¡(a - b)+(¡(b - a)) = 0; donde pela Propriedade (1.1)-(8) do oposto aditivo de (a - b) resulta que ¡(b - a)) = (a - b).

.

Demonstração.

(6) Sejam a 6

=0 e ax + b = c, então pela Propriedade (1.2)-(2) concluímos que ax = c - b.

Pelo oposto multiplicativo do número a 6¡1(ax)= a¡1(c - b) e, pelo Axioma P3

=0 temos a
c - b

e Definição (1.1)-(2) resulta x = .

a

Demonstração.

(2) -( 5) Exercício para o leitor.

Exemplo 1.1.

253 1

Emprestei os dos dos de um dinheiro que tinha e ainda tenho de um de milhão de

365 5

reais.

Que quantidade de dinheiro emprestei ? Solução.

O significado matemático das palavras "dos", "das", "do", "de"em matemática, podemos entender como se se tratar de uma multiplicação.

253 1

Suponha que tinha x reais.

Emprestei ()()()x, logo tenho ()(1000, 000).

Assim:

x ¡

3655
2531 12

()()()x = ()(1000, 000) .

x - x = 200, 000 .

x = 200, 000 .

x = 300, 000.

365533
Portanto, tinha 300, 000 reais e emprestei R$100, 000.

Exemplo 1.2.

Ao chegar em minha casa encontrei várias aranhas e baratas, depois de matar estes 16 insetos contei o número de patas e observei que eram 108.

Calcular, quantas baratas e aranhas encontrei ao chegar em casa.

Solução.

É suficiente sabermos o número de patas que cada inseto possui, e em seguida analisar os dados e o que se pede no problema.

Suponha, que existam b baratas e (16 - b) aranhas.

Como, cada barata tem 6 patas e cada aranha tem 8 patas, temos que:

6b +8:(16 - b) = 108.

Logo b = 10.

Portanto, o total de baratas que encontrei foram 10 e as aranhas totalizaram seis.

Exemplo 1.3.

Um fabricante de latas, deseja fabricar uma lata em forma de cilindro circular reto com 10cm de raio e 6283, 2 cm3 da capacidade.

Determine sua altura.

Solução.

Sabemos que o volume V , do cilindro circular reto de raio r e altura h é dado pela fór