CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

Christian José Quintana Pinedo

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6.1.2 Aceleração Instantânea.

A aceleração é uma medida da variação da velocidade. Quando uma partícula tem movimento retilíneo com velocidade constante, a aceleração é nula (zero). Por exemplo, em uma competição da Fórmula 1, os veículos passam pelo ponto de partida com velocidade uniforme, digamos 200 km/h . Oito segundos após um de eles está correndo com velocidade de 300 km/h , a aceleração média desse auto é:

= 12,5 (km/h)/seg

As unidades parecem bastante estranhas desde que a velocidade está expressa em km/h e o tempo em segundos , transformando km/h para m/seg , temos que a aceleração média desse auto é:

= 12,5 (km/h)/seg= 12,5 (1000m/3600seg)/seg = 3,472 m/seg2

Definição 6.3 Aceleração instantânea.

Se S(t) dá a posição no instante t de um objeto se movendo em linha reta, então a aceleração instantânea ou simplesmente a aceleração a(t) do objeto no instante t é dada

Figura 6.2:

por: a(t) = v'(t) , onde v(t) é a velocidade no instante t .

Exemplo 6.5

Dois carros partem ao mesmo tempo de um ponto A , um para o oeste a 80km/h e o outro para o norte a 45km/h . Com que velocidade aumenta a distância entre ambos 3hs depois da saída ?

Solução

Suponha tenham percorrido t horas, segundo a Figura (6.2) e aplicando o teorema de Pitágoras, temos que a distância entre eles é: d(t) = = 5t . A velocidade com que aumenta a distância entre eles é d'(t) = 5 km/h = 91,78km/h .

Exemplo 6.6

Determine a aceleração de um objeto em queda livre cuja função posição é: S(t) = -4,9t^2 + 40 .

Solução

Pela definição de velocidade instantânea sabe-se que v(t) =-9,8t; portanto a aceleração é a(t) = -9,8 m/s^2 .

Esta aceleração denotada por g é devida à gravidade; seu valor exato dependo do lugar da posição do experimento. Em geral a posição de um objeto em queda livre (desprezando a resistência do ar) sob a influencia da gravidade é S(t) = gt^2 + v_0t + s_0 onde g é a gravidade da terra, v_0 é a velocidade inicial e s_0 é a altura inicial.

Exercícios 6-1

1. A altura de uma bola t segundos depois seu lançamento vertical é dada pela função: h(x) = -16t2 + 48t +32. (a) Verifique que h(1) = h(2) .(b) Segundo o teorema de Rolle, determine a velocidade instantânea no intervalo [1, 2] .

2. O custo C(x) de pedido de uma mercadoria é dada por : C(x) = onde C é medido em milhares de reais e x é o tamanho do pedido medido em centenas. (a) Verifique que C(4) = C(6) . (b) Segundo o teorema de Rolle, a taxa variação de custo deve ser zero para algum pedido no intervalo [4, 6] . Determine o tamanho desse pedido.

3. Seja a função real: f(x) =

1. Suponha f seja diferenciável no intervalo (-, ) ; determine a e b .

2. Achar a n-ésima derivada da função f em x = 3 .

4. Escrever as equações da reta tangente e normal à catenária y = cosh , no ponto x = 2Ln 2.

5. Um avião a uma altura de 3000m esta voando horizontalmente a 500km/h , e passa diretamente sobre um observador. Determine a velocidade que se aproxima do observador no instante em que está a 5.000m do dele.

6. Um projétil é lançado para cima, a partir da superfície da terra, a uma velocidade inicial de 80m/s . Qual é a velocidade após de 5 segundos?. E após 10 segundos?.

7. Uma bola é lançada para baixo do topo de um edifício de 60m de altura a uma velocidade inicial de 6m/s . Qual é a velocidade após 3 segundos?. Qual é a velocidade depois da bola ter caído 22 metros?.

8. Num instante dado, os catetos de um triângulo reto são 8cm e 6cm respectivamente. O primeiro cateto decresce a razão de 1cm por minuto e o segundo cresce a razão de 2cm por minuto. Com que velocidade cresce a área depois de dois minutos?.

9. Uma bola enche-se de ar a razão de 15cm3/seg . Com que velocidade esta crescendo o diâmetro depois de 5 segundos?. Supor que o diâmetro é zero no instante zero.

10. Um ponto se move ao longo de uma curva y = de modo que = 4 . Achar quando x = 3 .

11. Um corpo em queda livre percorre uma distância S que varia com o tempo segundo a equação: S(t) = 4,9t2 (distância em metros e t em segundos). (a) Calcular a taxa de variação de d (distância) em relação a t entre t1 e t2 nos seguintes intervalos: (1S, 1.5S), (1S, 1.3S) .(b) Calcular a velocidade instantânea no instante t = 1S .

12. Acumula-se areia em forma cônica a razão de 10dm3/min . Se a altura do cone é sempre igual a dos vezes o raio de sua base, a que razão cresce a altura do cone quando esta é igual a 8dm ?

13. Uma escada de 5m de comprimento esta apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada se desliza horizontalmente separando-se da parede a 1,2m/s . A que velocidade esta deslizando-se o extremo superior da escada, quando a base está a 2m da parede?.

14. A altura de um objeto t segundos após de ser largado a 150m do solo é dada pela função: f(t) = 150 - 4,9t. (a) Encontre a velocidade média do objeto durante os três primeiros segundos. (b) Mediante o T.V.M. verificar que em algum instante durante os três primeiros segundos de queda, a velocidade instantânea é igual à velocidade média. Encontre esse instante.

15. \item Uma bola de bilhar é atingida e move-se em linha reta. Se S cm é a distância da bola de sua posição inicial em t segundos, onde S = 100t2 + 100t . Se v cm/s é a velocidade da bola , então v é a taxa de variação de s com relação a t . Se a bola bate na tabela a 39cm da posição inicial ,com que velocidade ela bate na tabela?

16. Um foguete é lançado verticalmente para cima, e está S metros acima do solo, t segundos após o lançamento, onde S = 560t - 16t^2 é a direção positiva para cima. Se v m/s é a velocidade do foguete, então v é a taxa de variação de s em relação a t . (a) Ache a velocidade do foguete 2seg. após o lançamento; (b) Se a altura máxima é atingida quando a velocidade é zero, ache quanto demora para o foguete atingir sua altura máxima.

17. Uma partícula movimenta-se em linha reta segundo a relação: s - 3t3 - 16t2+108t + 132 , onde s é a distância, em metros e t é o tempo em segundos. Qual é a velocidade quando t = 2 ?; e qual é a aceleração quando t = 3 ?