MANUAL PRÁCTICO DE OPERACIONES FINANCIERAS

MANUAL PRÁCTICO DE OPERACIONES FINANCIERAS

Enrique R. Blanco Richart

Volver al índice

 

 

12.- Ejercicios prácticos

 Estudio mediante sus representaciones gráficas:

Actividad nº 1:

Dadas las siguientes operaciones, valoradas a un interés anual del 6 %. Se pide:

• ¿De cuántos capitales está formada cada operación?

• ¿Dónde está el valor actual y final de cada una de las rentas?

• ¿Coincide el valor actual y final de cada renta con el inicio y fin de cada operación? (Indica en cada caso el punto de inicio y fin de la operación)

• Indica qué rentas son anticipadas y cuáles vencidas.

• Calcular el valor inicial y final de cada una

Actividad nº 2:

Dadas las siguientes operaciones, valoradas a un interés anual del 5 %, se pide calcular su valor inicial y final.

Actividad nº 3:

Dadas las siguientes operaciones, valoradas a un interés anual del 4 %, se pide calcular su valor inicial y final de la operación de las representaciones gráficas, indicando donde está el inicio y final de cada operación.

Actividad nº 4:

Dadas las siguientes operaciones, valoradas a un interés anual del 5 %, se pide calcular su valor inicial y final de la renta de las siguientes representaciones, indicando dónde está el inicio y final de la operación y el inicio y final de cada renta.

 Vamos a sumar muchos, muchísimos capitales de una forma sencilla:

En este caso vamos a trabajar con las expresiones del valor actual y final de una renta, que nos permite sumar de una sola vez multitud de capitales iguales, y que el resultado es un capital suma equivalente a los capitales que conforman la renta.. Es muy importante tener presente que todos los elementos que conforman las rentas han de estar expresados en las mismas unidades, por lo que hay que saber modificar un tanto a la unidad de capitalización necesaria, diferenciando cómo se hace cuando éste es nominal o efectivo, etc.

Actividad nº 5:

Calcular el valor de las siguientes operaciones valoradas al 6 % anual:

a.- El actual de una renta vencida de 500 €. anuales y duración de 15 años

b.- El final de una renta anticipada de 100 €. anuales y 20 años de duración, si se valora dos años después de terminada.

Solución:

a.- Todos los elementos están expresados en la misma unidad, el año, por lo tanto

Va = C • a 15 0,06 = 500 • = 4.856,12 €.

b.- El esquema de la operación, con todos los elementos homogéneos, es el siguiente:

Vamos a valorar la operación dos años después de finalizada, con capitales anticipadas:

Vf = C • S20 0,06 = 100 • • (1 + 0,06) 2 • (1 + 0,06) 1 = 4.381,22 €.

Llevada a 22 Anticipada

Actividad nº 6:

Calcular el valor de las siguientes operaciones valoradas al 6 % anual:

a.- El actual de una renta anticipada de 200 € anuales y 10 años de duración, si el devengo del primer capital se realiza a los nueve meses de iniciada la operación.

b.- El actual de una renta anual de 120 € anticipadas, de duración indefinida, si el devengo de capitales se realiza a los tres años de iniciada la operación.

Solución:

a.- El esquema gráfico de la operación, con todos los elementos homogéneos, es el siguiente:

Va = 200 • • (1 + 0,06) - 9/12 • (1 + 0,06) = 1.493,62 €.

Llevada a - 9/12 Anticipada

b.- El esquema de la operación, con todos los elementos homogéneos, será:

Va = 120 • • (1 + 0,06) - 3 • (1 + 0,06) 1 = 1.779,99 €.

Llevada a 0 Anticipada

Actividad nº 7:

Calcular el valor actual de las siguientes rentas, valoradas al 6,5 % anual efectivo:

• De una renta vencida de 15.000 € trimestrales durante 6 años.

• De una renta semestral anticipada de 30.000 € y duración indefinida.

• De una renta de setenta y dos pagos 36.000 € mensuales que se comienza 8 meses después de iniciada la operación.

• De una renta bimestral, anticipada de 25.000 €, durante dos años.

• De una renta anual de 85.000 € anticipada durante 12 años.

Solución:

a.- Ahora el capital vence en unidades temporales inferiores al tanto, por lo al ser una renta fraccionada de m = 4, tendremos que calcular el tanto trimestral, siendo el número de capitales 6 • 4 = 24.

El tanto trimestral será: (1 + 0,065)1/4 – 1 = 0,0158682

El valor actual será: Va = 15.000 • a 24 0,0158682 = 297.448,21 €.

b.- Ahora también es una renta fraccionada de m = 2, anticipada y perpetua, por lo que tenemos que calcular el tanto semestral.

im = (1 + 0,065)1/2 – 1 = 0,03198837

El valor será: Va = 30.000 • (1 + 0,03198837) = 967.850,66 €.

Perpetua Anticipada

c.- Es una renta fraccionada de m = 12 y diferida, para 12 • 6 = 72 capitales.

El tanto a mensual será: (1 + 0,065)1/12 – 1 = 0,0052616942

Va = 36.000 • (1 + 0,00526169) - 8 = 2.064.398,22 €.

Para llevarla a 0

d.- Es una renta anticipada, fraccionada de m = 6, para 2 • 6 = 12 capitales.

El tanto bimestral será: (1 + 0,065)1/6 – 1 = 0,01055107

Va = 25.000 • (1 + 0,01055107) = 283.358,22 €.

Anticipada

e.- Como todos los datos están en anual, directamente.

Va = 55.000 • (1 + 0,065) = 738.568,61 €.

Anticipada

Actividad nº 8:

Un señor recibe la siguiente herencia:

• Un inmueble valorado en 600.000 €.

• Una renta trimestral de 65.000 €. a recibir durante 15 años

• Una finca rústica valorada en 850.000 €. y alquilada en 5.000 €. Semestrales

¿Cuál es el valor de la herencia recibida, si se valora la operación a un interés efectivo del 5,5 % anual?

Solución:

El valor de la herencia será el valor actual de todo lo recibido:

• Del inmueble y la finca, ya conocemos su valor hoy: 600.000 + 850.000 = 1.450.000 €.

• Del alquiler de la finca rústica: Una renta fraccionada, de m = 2, anticipada, al recibirse los alquileres al inicio del periodo y perpetua o indefinida.

Cambiando el tanto a semestral: (1 + 0,055)1/2 – 1 = 0,02713193

El valor de la renta será: Va = 5.000 • • (1 + 0,02713193) = 189.284,71 €.

Perpetua Anticipada

• De la renta trimestral, necesitamos el tanto trimestral, para 15 • 4 = 60 pagos.

Cambiando el tanto a trimestral: (1 + 0,055)1/4 – 1 = 0,013475174

Va = 65.000 • a 60 0,013475 = 60.000 • = 2.662.997,24 €.

Valor total de la herencia: 1.450.000 + 189.284,71 + 2.662.997,24 = 4.302.281,95 €.

Actividad nº 9:

¿Cuál será el montante que ahorrará un empleado en los próximos cinco años, si su sueldo mensual es de 1.200 €, con dos pagas extras de igual cuantía al final de junio y diciembre más una paga por beneficios de 500 €. al final de cada trimestre. Dedicará al ahorro el 25 % de su salario, el 50 % de las pagas extras y la totalidad de la de beneficios. El banco abona un interés nominal del 6 % anual?

Solución:

 Dedica al ahorro, 1.200 • 25 % = 300 €. mensuales, 1.200 • 50 % = 600 €. semestrales y 500 €. trimestrales. Por lo tanto es una operación en valor final formada por tres rentas de m = 12, m = 2 y m = 4, por lo que necesitamos calcular los tantos fraccionados, siendo el número de capitales de la operación: 5 • 12 = 60, 5 • 2 = 10 y 5 • 4 = 20.

 El tanto mensual será 6 %: 12 = 0,5 %, el tanto semestral será el 6 %: 2 = 3 % y el tanto trimestral 6%: 4 = 1,5 %.. Por lo tanto el valor final de la operación sería:

Vf = 300 • S 60 0,005 + 600 • S 10 0,03 + 500 • S 20 0,015

Vf = 300 • + 600 • + 500 •

Vf = 20.931 + 6.878,33 + 11.561,83 = 30.001,99 €.

Actividad nº 10:

Una sociedad construye un edificio de oficinas para alquilar, con el siguiente desglose de gastos:

• El terreno se ha comprado con la entrega de 400.000 €. al contado y se ha aceptado pagar el resto mediante 4 pagos semestrales de 80.000 €., valorados al 8 % nominal anual.

• Los gastos por los materiales de construcción supondrán el desembolso en los dos años de duración de las obras de 30.000 €. mensuales y el pago de la nómina supondrá un desembolso medio de 100.000 €. mensuales.

• El sueldo de la portería del edificio será de 1.200 €. mensuales.

• Los gastos de mantenimiento ascenderán a 3.000 €. mensuales.

• Si existen diez oficinas, se pide el alquiler que habrá que cobrar al comienzo de cada trimestre, en los próximos 12 años, para que la rentabilidad de la operación sea del 7 % anual

Solución:

 El coste de construcción y mano de obra, será el valor actual de los pagos a realizar, como éstos son mensuales, calculamos el tanto mensual del efectivo dado, (1 + 0,07) 1/12 - 1 = 0,005654145, y el número de pagos a efectuar será de 12 • 2 = 24.

Va = (30.000 + 100.000) • = 2.909.894,28 €.

 El coste del terreno, será el valor hoy de todos los pagos a efectuar, como éstos son semestrales necesitamos el tanto semestral. 8 %: 2 = 4 %.

Va = 400.000 + 80.000 • = 690.391,62 €.

 El coste de la mano de obra de portería y los de mantenimiento será también el valor hoy de los, 12 • 12 = 144 pagos a realizar en el periodo de estudio.

Va = (1.200 + 3.000) • = 412.997,83 €.

El total de costes: 690.391,62 + 2.909.894,28 + 412.997,83 = 4.013.283,73 €.

 Si quiere obtener una rentabilidad del 7 %, el valor actual de la renta a obtener por los alquileres será igual a los costes actualizados de construcción y mantenimiento, como el cobro se realiza trimestralmente necesitamos el tanto trimestral equivalente a la rentabilidad dada: i4 = (1 + 0,07)1/4 - 1 = 0,01705852, el número de cobros será de 12 • 4 = 48 anticipadas.

4.013.283,73 = C • (1 + 0,01705852),

Operando C = 121.068,16 €.

Como son 10 oficinas, el alquiler será: 121.068,16 : 10 = 12.106,82 € por oficina.

Actividad nº 11:

Una persona concertó un plan de ahorro, cuando inició su actividad laboral a los 25 años, mediante el ingreso de 100 €. al principio de cada mes. La entidad aseguradora concertó con él la entrega cuando se jubilase a los 65 años de 18.000 €. en metálico y el resto mediante una renta mensual vitalicia. Si se concertó el plan de ahorro al 6 % nominal anual y la renta vitalicia al 5 % nominal anual ¿Cuál es la cuantía de la mensualidad a recibir?

Solución:

 Su operación de ahorro durará 65 - 25 = 40 años, por lo que el valor ahorrado al final de la operación será el generado por la renta anticipada de 100 €. mensuales, por lo que necesitamos para 40 • 12 = 480 capitales, el tanto mensual: 6 %: 12 = 0,5 %

El valor del ahorro será: Vf = 100 • • (1 + 0,005) = 200.144,82 €.

Anticipada

 La cantidad a recibir, será una renta perpetua y mensual valorada al 5 % : 12 = 0,4167 % mensual y cuyo valor actual es la cantidad ahorrada menos los 18.000 €. que retira en efectivo: 200.144,82 – 18.000 = 182.144,82 €.

La mensualidad será: 182.144,82 = C • Operando, C = 758,94 €.

Perpetua

Actividad nº 12:

Un señor posee una huerta que se estima producirá en los próximos ocho años una renta anual estimada en 2.800 €. con unos gastos de mantenimiento del 5 % anual. Si se decide su venta ¿Cuál es el precio mínimo que aceptará, si el interés de mercado es del 7 % efectivo anual?

Solución:

 Aceptará como mínimo un valor que sea, hoy, equivalente a sus ingresos netos en los ocho próximos años.

 Ingreso neto anual: 2.800 €. - 5 % = 2.660 € anuales y el valor hoy de dichos ingresos:

Va = 2.660 • = 15.883,65 €

que será el precio mínimo de venta para que la operación le fuese indiferente, por encima de dicho valor obtendrá beneficios y por debajo pérdidas.

 Vamos a trabajar con operaciones formadas por rentas diferentes..

Realizado el estudio de las rentas normales, o de aplicación casi inmediata, vamos a analizar a través de distintos ejercicios el estudio de operaciones formadas por más de una renta ya sea debido a la existencia de capitales distintos o de tantos de valoración diferentes. En este análisis siempre nos aparecerán, al tener que valorar todas las rentas existentes, en un punto concreto, (0) si es valor actual o (n) si es valor final, rentas no inmediatas, con lo que debemos tener siempre presente la existencia de varios valores actuales o finales, los de las rentas que integran la operación y de un único valor actual o final, que será el de la operación analizada.

Actividad nº 13:

Calcular el valor actual de las siguientes operaciones, valoradas al 8 % anual:

a.- De una operación formada por una renta de 50.000 €. en los cinco primeros años y otra de 60.000 €. en los cuatro siguientes.

b.- De una operación formada por una renta anticipada de 100.000 €. en los seis primeros años y otra de 80.000 €. en los tres siguientes.

c.- De una operación formada por una renta anticipada, de 200.000 €. durante cinco años realizando el primer pago en el tercer año y de otra de 150.000 €. vencida en los dos últimos años.

Solución:

a.- El esquema de la operación es el siguiente:

Tenemos dos rentas, en la primera su valor actual coincide con el de la operación, pero la segunda de 60.000 €, tiene su valor actual en (5), y como el de la operación conjunta está en (0), habrá que actualizarla cinco periodos:

Va = 50.000 • a 5 0,08 + 60.000 • a 4 0,08 (1 + 0,08) - 5

Va = 50.000 • + 60.000 • (1 + 0,08) - 5

Va = 199.635,50 + 135.250,67 = 334.886,17 €.

b.- En este caso tendremos:

Ahora las rentas son anticipadas. La primera tiene su valor actual en (0) coincidente con el de la operación, pero la segunda tiene su valor actual en (6), habrá que actualizarla seis periodos al querer el valor de la operación en (0):

Va = 100.000 (1 + 0,08) + 80.000 (1 + 0,08) (1 + 0,08) - 6

Anticipada Anticipada llevada a 0

Va = 499.271 + 140.314,31 = 639.585,32 €.

c.- El esquema de esta operación es el siguiente:

Al realizarse el primer pago en el tercer año, al no haber en los dos primeros, habrá que actualizarla dos años al tener su valor actual en (2) y el de la operación en (0), mientras que la segunda tiene su valor actual en (7) y por lo tanto habrá que actualizarla siete años:

Va = 200.000 (1 + 0,08) (1+ 0,08)- 2 + 150.000 (1 + 0,08)- 7

Anticipada llevada a 0 llevada a 0

Va = 739.390,75 + 156.077,68 = 895.468,43 €.

Actividad nº 14:

Calcular el valor de las siguientes operaciones:

a.- El actual de una renta de 50.000 €. anuales anticipadas, valorada al 6 % anual en los cinco primeros años y al 7 % anual en los cuatro siguientes.

b.- El final de una renta de 50.000 €. anuales, valorada al 5 % anual en los cinco primeros años y al 6 % anual en los cuatro siguientes

c.- El actual de una renta que se inicia un año después de concertada, con ocho términos anuales de 250.000 € y anticipados, valorada al 8 % anual en los siete primeros y en los dos últimos se valora al 6 % anual

d.- El final de una renta que termina dos años antes de cerrar la operación, de siete términos de 500.000 € anuales anticipados, si se valora al 6 % en los cinco primeros años y al 8 % en los siguientes.

Solución:

a.- El esquema de la operación es el siguiente:

Ahora tenemos dos rentas, porque la ley de valoración es distinta, la primera tiene su valor actual en (0) calculado al 6 % y la segunda con valor actual en (5) calculado al 7 %, por lo que habrá que actualizarla cinco años al tanto del 6 %, por pedir el valor de la operación en (0):

Va = 50.000 (1 + 0,06) + 50.000 • (1 + 0,07) (1 + 0,06)- 5

Anticipada Anticipada llevada a 0

Va = 223.255,28 + 135.414,99 = 358.670,27 €.

b.- El esquema gráfico en este caso será:

Existen dos rentas por tener dos leyes de valoración diferentes, la primera renta, tiene su valor final en el año (5) y valorada al 5 %, y por lo tanto como queremos el valor final en (9), habrá que capitalizarla al 6 % cuatro años y la segunda cuyo valor final está en (9) valorada al 6 %, coincide con el final de la operación, por lo tanto:

Vf = 50.000 • + 50.000 • (1 + 0,06) 4

Vf = 218.730,80 + 348.799,11 = 567.529,91 €.

c.- En este caso tendremos una renta que se origina en (1), donde está su valor actual valorado al 8 %, por lo tanto hay que llevarla a (0) y otra renta que tiene su valor actual en (7) valorada a un interés del 6 %, llevada a 0, valor actual de la operación, al 8 % anual, por lo tanto:

Su representación gráfica sería:

Va = 250.000 • (1 + 0,08) (1 + 0,08)- 1 + 250.000 • (1 + 0,06)

(1 + 0,08) – 7 = 1.155.719,92 + 283.488,26 = 1.439.208,18 €.

d.- Estamos ante dos rentas, la primera de cinco términos valorada al 6 % cuyo valor final está en (5) y por lo tanto habrá que capitalizarla cuatro años al 8 % al terminar la operación en (9) y una segunda renta cuyo valor final está en (7) y capitalizada dos años al estar el final de la operación en el año (9).El esquema gráfico en este caso será:

Vf = 500.000 • S 5 0,06 (1 + 0,06) (1 + 0,08) 4 + 500.000 • S 2 0,08 (1 + 0,08) (1 + 0,08) 2

Vf = 4.064.677,45 + 1.310.100,48 = 5.374.777,93 €.

Actividad nº 15:

Calcular el valor de las siguientes operaciones:

a.- El valor final de 50.000 €. trimestrales en los tres primeros años y de 120.000 €. semestrales en los tres siguientes, valorada a un tanto efectivo del 8 % anual.

b.- El valor actual de una renta anticipada de: 80.000 €. cuatrimestrales en los tres primeros años y de 20.000 €. bimestrales en los tres siguientes, valorada a un tanto efectivo del 8 % anual.

c.- El valor final de una renta de 800.000 €. anuales en los cuatro primeros años y de 120.000 €. semestrales y anticipados en los tres siguientes, valorada a un interés nominal del 8 % anual, si la operación se valora tres años después de terminadas las rentas.

d.- El actual de una renta de 120.000 €. semestrales durante tres años y de 300.000 € anuales anticipadas en los cuatro siguientes, si se valora dos años antes del inicio de las rentas. Interés nominal del 8 % anual.

Solución:

a.- Su esquema gráfico será:

Estamos ante dos rentas fraccionadas, la primera trimestral y la segunda semestral. La primera habrá que capitalizarla tres años, al estar su valor final en (3) y el de la operación en (6), mientras que el valor final de la segunda coincide con el de la operación. Por lo tanto hay que obtener los tantos equivalentes según el devengo de cada una de ellas:

El tanto a trimestral: (1 + 0,08)1/4 – 1 = 0,01942654

El tanto semestral equivalente: (1 + 0,08)1/2 – 1 = 0,03923048

Vf = 50.000 • (1 + 0,08) 3 + 120.000 •

Vf = 842.049,57 + 794.418,93 = 1.636.468,50 €.

b.- El esquema de la operación es el siguiente:

80.000 cuatrimestrales anticipadas 20.000 bimestrales anticipadas

0 3 • 3 = 9 pagos 3 3 • 6 = 18 pagos 6

Estamos rentas fraccionadas, la primera de m = 3 y la segunda de m = 6, la segunda habrá que actualizarla tres años, al estar su valor actual en (3) y el de la operación en (0).

El tanto cuatrimestral: (1 + 0,08)1/3 – 1 = 0,02598556

El tanto bimestral equivalente: (1 + 0,08)1/6 – 1 = 0,01290945

Va = 80.000 (1 + 0,025985) + 20.000 (1 + 0,01290) (1 + 0,08)- 3

Va = 651.207,71 + 256.827,74 = 908.035,45 €.

c.- El esquema gráfico de la operación es el siguiente:

La duración de los pagos es de siete años, pero como se valora tres años después de su fin, el valor de la operación está en (10), mientras que el de la primera está en (4), habrá que capitalizarla 6 años (12 semestres) y la segunda está en (7) a capitalizar tres años (6 semestres). Cambiando el tanto a semestral: 8 % : 2 = 4 % semestral

Vf = 800.000• (1 + 0,04)12 + 120.000 • (1 + 0,04) (1 + 0,04) 6

Vf = 5.771.544,39 + 1.047.425,18 = 6.818.969,58 €.

d.- Estamos ante dos rentas, la primera semestral que hay que actualizarla al estar su valor actual en (2) y el de la operación en (0), la segunda de 10 semestres, después del inicio al estar su actual en (5), como podemos comprobar con el gráfico. El semestral: 8 % : 2 = 4 %

Va = 120.000 (1 + 0,04)- 4 + 300.000 (1 + 0,08) (1 + 0,04)– 10

Va = 497.152,43 + 1.419.101,17 = 1.916.253,60 €.

Actividad nº 16:

Obtenemos un préstamo de 30.000 €. a devolver en seis años mediante pagos constantes, pero abonando unos intereses del 5,5 % en los tres primeros años y del 6 % en los siguientes. ¿Cuál será la cantidad anual que se paga?

Solución:

Estamos ante dos rentas distintas motivado por las leyes de valoración utilizadas, por lo que la segunda, con valor actual en (3), habrá que actualizarla tres años a (0)

Actividad nº 17:

Para liquidar una deuda se acuerda realizar pagos de 2.500 €. mensuales durante los primeros 18 meses, un desembolso de 25.000 €. al terminar éstos, y pagos de 5.000 €. Trimestrales anticipadas durante los siguientes 18 meses, terminando de amortizar la deuda mediante un pago de 30.000 €. al finalizar los 36 meses de la operación. Si se valora a un tanto nominal del 9 % anual ¿Cuál es el importe de la deuda?

Solución:

 El esquema de la operación es el siguiente:

Va Va

2.500 mensuales 25.000 5.000 trimestrales 30.000

0 0,75 % mensual 18 2,25 % trimestral 36

Es decir está formada por dos pagos de 25.000 € en (18) y 30.000 € en (36) y dos rentas:

- La primera de 2.500 € y cuyo valor actual coincide con el inicio de la operación

- La segunda de 5.000 €, cuyo valor actual está en (18) y hay que actualizarla 18 meses.

 Como los pagos son mensuales y trimestrales, los tantos de la operación serán diferentes. En el primer tramo del: 9 %: 12 = 0,75 % mensual durante 18 meses y en el segundo tramo del 9 %: 4 = 2,25 % trimestral durante 6 trimestres (18 : 3). La ecuación financiera sería:

Va = 2.500 + 25.000 (1 + 0,0075)- 18 + 5.000 (1 + 0,0075)– 18

 

llevada a 0 llevada a 0

+ 30.000 • (1 + 0,0225) - 6 • (1 + 0,0075) - 18

Va = 41.947,95 + 21.853,90 + 24.277,40 + 22.947,24 = 111.026,49 €.

Actividad nº 18:

Se pretenden ahorrar 1.600.000 €. en ocho años mediante el ingreso al comienzo de cada año de una cantidad de cuantía a en los dos primeros años, de cuantía 2 a en los cuatro siguientes y de cuantía 1,5 a en los restantes. Los tantos de valoración son los siguientes: Del 6 % en los dos primeros, del 7 % en los cuatro siguientes y del 8 % en el resto. ¿Cuál es la cuantía de los pagos?

Solución:

El esquema de la operación es el siguiente:

V2

V1

V3

a a 2a 2a 2a 2a 1,5a 1,5a 1.600.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

6 % 7 % 8 %

Estamos ante tres rentas:

 La primera de cuantía a, valorada al 6 % y cuyo valor final está en (2), por lo tanto habrá que capitalizarla cuatro años al 7 % y dos años al 8 %,

 La segunda de cuantía 2a , valorada al 7 % con valor final en (6) por lo que habrá que capitalizarla años al 8 % y

 La tercera de cuantía 1,5a con valor final en (8), valorada al 8 %.

La ecuación financiera será:

1.600.000 = a • S 2 0,06 (1 + 0,06) (1 + 0,07)4 (1 + 0,08)2 + 2a • S 4 0,07 (1 + 0,07) •

(1 + 0,08) 2 + 1,5a • S 2 0,08 (1 + 0,08)

Operando 1.600.000 = 17.,79065722 a

Por lo tanto

a = 89.934,84 €. 1,5a = 134.902,26 €. y 2a = 179.869,69 €.

Actividad nº 19:

Se construye un centro social y con el importe de una donación se van a pagar los gastos de mantenimiento que se estiman en 480.000 €. anuales en los primeros diez años y de 600.000 €. en el resto de vida del centro. ¿Cuál es el importe de la donación, si se valora la operación al 6 % anual?

Solución:

Estamos ante el valor actual de dos rentas, la primera de 480.000 €. anuales durante 10 años, cuyo valor actual está en (0) y la segunda de 600.000 €. perpetua cuyo valor actual está en (10), por lo que habrá que actualizarla 10 años:

Va = 480.000 • + 600.000 • • (1 + 0,06) - 10



llevada a 0

Va = 3.532.841,78 + 5.583.947,77 = 9.116.789,55 €.

Actividad nº 20:

Una persona empezará a recibir dentro de cinco años una renta vitalicia y vencida de 50.000 €. anuales que está colocada en una entidad financiera que le ofrece una valoración del 5,5 % en los próximos diez años, el 6 % en los diez siguientes y el 7 % en el resto de la operación. ¿Cuál sería la cantidad a retirar hoy de una sola vez?

Solución:

Será el valor actual de una operación formado por tres rentas al estar valoradas con leyes distintas y por tener sus valores actuales en (5), (10) y (20) que habrá que actualizar. El esquema de la operación sería:

V2 V3

V1

0 5,5 % 5 5,5 % 10 6 % 20 7 % 

La ecuación financiera:

Va = 50.000• (1 + 0,055)- 5 + 50.000 • (1 + 0,055)- 10 +

50.000 • • (1 + 0,055) - 10 (1 + 0,06) - 10

Va = 163.367,07 + 215.441 + 233.500,98 = 6.12.309,05 €.

Actividad nº 21:

¿Qué capital tendremos ahorrado al cabo de 12 años, con la siguiente operación: Ingresos durante los cinco primeros años de 2.500 €. al inicio de cada trimestre y valorados a un interés efectivo del 6 % anual, tres años sin realizar imposiciones y ocho ingresos semestrales anticipadas de 8.560 €. cada uno valorados al 6,5 % efectivo anual?

Solución:

El esquema de la operación sería:

Vf

V`f

2.500 trimestral 0 0 0 8.560 semestrales

0 6 % 5 6 % 8 6,5 % 12

Es decir tenemos tres rentas, lo que sucede que una de ellas es de valor 0 y no hace falta tenerla en cuenta. La primera es trimestral y anticipada valorada al 6 %, con valor final en (5), y el final de la operación en (12), por lo tanto habrá que capitalizarla 7 periodos anuales, pero valorada al 6 % cinco años y al 6,5 % cuatro años. La segunda renta se inicia en (8) con ocho pagos semestrales y con valor final en el término de la operación.

El tanto trimestral: (1 + 0,06)1/4 – 1 = 0,014673846, con 5 • 4 = 20 capitales

El tanto semestral equivalente: (1 + 0,065)1/2 – 1 = 0,03198837

Vf = 2.500 • • (1 + 0,0146738) (1 + 0,06) 3 (1 + 0,065) 4 +

8.560 • • (1 + 0,0146738)

Vf = 89.586,99 + 79.109,76 = 168.696,75 €.

 Rentas irregulares.

La finalidad de este apartado es comprobar a través de los distintos ejercicios propuestos la utilidad que las propiedades asociativa y disociativa de las rentas, tienen a la hora de resolver situaciones que no se amoldan a las características definidas en una renta normal. Comprobaremos como cualquiera de dichas propiedades puede emplearse en la resolución de problemas diversos, con lo que los conceptos de suma de capitales y equivalencia de capitales en cualquier punto han de estar perfectamente comprendidos para asumir estas formas de resolución de problemas.

Actividad nº 22:

Un señor va a recibir diez pagos de 20.000 €. cada 18 meses, a partir de la fecha de hoy, y quiere cambiar dicha renta por una vivienda. ¿Cuál es el valor de ésta, si se valora la operación a un interés efectivo anual del 5 %?

Solución:

 En este caso tenemos la irregularidad en el vencimiento, ya que los capitales lo hacen cada dieciocho meses (cada 1,5 años). La forma más cómoda será adecuar el tanto al vencimiento del capital, es decir buscamos un tanto en el que el anual está contenido 1,5 veces, por lo tanto para m = 1,5:

i = (1 + 0,05) 1,5 – 1 = 0,07592983043 cada año y medio

Ahora es una renta constante anticipada de 10 pagos y vencimiento periódico valorada al 7,592983 %

Va = 20.000 • (1 + 0,07592983) = 147.080,32 €.

Actividad nº 23:

Se ha contratado a comienzos del presente año, el suministro de materia prima con un proveedor con el que se ha llegado a un acuerdo por diez años, en el que se especifica que todas las entregas de material de cada año, se abonarán mediante tres pagos los días 1 de marzo, 1 de julio y 1 de octubre de 25.000 €. cada uno. Calcular el valor actual de la operación a un tanto de valoración del 10 % anual.

Solución:

El esquema de la renta es el siguiente:

25.000 25.000 25.000 2.5.000 25.000 ....

1/1 1/3 1/7 1/10 1/3 1/7 1/10 ...

2 meses 4 meses 3 meses

Como podemos comprobar aún siendo iguales los capitales la periodicidad de sus vencimientos no es constante. Una forma de calcular el valor actual de la operación sería la actualización de los capitales uno a uno, lo que supondría para un periodo de 10 años, la actualización de 30 capitales, solución no operativa. Las posibles soluciones serían:

• Aplicar la solución asociativa, buscando un capital anual equivalente a los tres dados para hacerlo coincidir con el periodo de capitalización:

25.000 25.000 25.000

1/1 1/3 1/7 1/10 31/12

C´ = 25.000 (1 + 0,10) 3/12 + 25.000 (1 + 0,10) 6/12 + 25.000 (1 + 0,10) 10/12

C´ = 78.889, 68 €. anuales,

Por lo tanto ahora ya es una renta constante de vencimiento anual a tanto anual:

Va = 78.889,68 • = 484.742,91 €.

Actividad nº 24:

Dada la estructura productiva de una sociedad, los costes salariales ascienden a 60.000 €. mensuales en los ocho primeros meses del año y 50.000 €. en los restantes. Calcular el valor actual de los salarios de los próximos 10 años si se valora la operación a un tanto nominal del 12 % anual

Solución:

Estamos en una situación parecida a las anteriores, con la salvedad de que ahora los capitales son doce por año, pero diferentes. Si empleamos la solución asociativa, calcularemos el capital anual equivalente:

Vf Vf

60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 50, 50, 50, 50,

0 1

Se nos forman dos rentas, una de ocho capitales de 60.000 €. mensuales cuyo valor final está en el mes octavo, por lo que está anticipada 4 meses y la segunda de cuatro capitales de 50.000 €. mensuales cuyo valor final coincide con el final del año. El tanto mensual será: im = 0,12: 12 = 0,01

C´= 60.000 • (1 + 0,01)4 + 50.000 = 720.346,17 € anuales

Ahora al ser el capital anual necesitamos el efectivo anual equivalente al 1 % mensual:

i = (1 + 0,01) 12 – 1 = 0,12682503 y el valor de la renta será:

Va = 720.346,17 • a 10 0,12682503 = 3.958.879,74 €.

Actividad nº 23:

Calcular el valor actual de una renta de 20 años de duración, valorada al 1 % mensual si sólo existen pagos de marzo a septiembre por un importe de 8.000 €. Más uno adicional al final de cada año de 60.000 €.

Solución:

 Utilizando la propiedad asociativa, por ser la más cómodo, vamos a calcular el capital anual equivalente, siendo el esquema de la operación el siguiente:

8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 60,

0 m a m j ju ag se 1

Vf = 8.000 • • (1 + 0,01) 3 + 60.000 = 119.456,90 €. anuales

Ahora necesitamos el tanto anual para la renta anual: i = (1 + 0,01) 12 – 1 = 0,12682503

El valor hoy será:

Va = 119.456,09 • = 855.430,98 €.

Actividad nº 24:

Calcular el valor actual de una renta valorada a un tanto nominal del 9 %, de 20 años de duración y cuantía de 80.000 €. mensuales, si durante los meses de julio y agosto no se efectúan pagos.

Solución:

Calcularemos el capital anual equivalente, como en el caso anterior, siendo el interés mensual del 9 %: 12 = 0,75 %.

80, 80, 80, 80, 80, 80, 0 0 80, 80, 80, 80,

0 Jul Agos 1

Podemos calcular el capital final como si en los meses de julio y agosto hubiese pagos y después restarlos:

Vf = 80.000 • S 12 0,0075 - 80.000 (1 + 0,0075)5 - 80.000 (1 + 0,0075) 4 = 835.134,43 €.

El tanto anual equivalente: i = (1 + 0,0075) 12 – 1 = 0,09380689

El valor hoy será: Va = 835.134 • = 7.421.174,25 €.

Actividad nº 25:

Calcular el valor actual de una renta de 14 pagos cada año de 60.000 €., coincidiendo en julio y diciembre dos pagos, valorando la operación al 9 % nominal anual durante 20 años.

Solución:

Este tipo de renta es muy utilizado en la práctica para la financiación de coches, viviendas, etc. su esquema gráfico sería:

60, 60,

60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60,

0 e f m a m j j a s o n d

• Si aplicamos la propiedad asociativa, tendremos un capital anual equivalente de:

Vf = 60.000 • S 12 0,0075 + 60.000 (1 + 0,0075) 6 + 60.000 = 873.206,32 €.

Ahora necesitamos el interés anual equivalente: (1 + 0,0075) 12 – 1 = 0,093806897

Siendo el valor actual de la operación:

Va = 873.206,32 • = 7.759.488,80 €.

 Cálculo de saldos financieros de una operación: La Reserva matemática.

Con este apartado volvemos a insistir en el concepto de la reserva matemática como aquella que nos permite conocer cómo está una operación financiera en un momento determinado: Cuánto llevo ahorrado hasta la fecha, cuánto me queda por devolver de un préstamo, cuánto debería pagar hoy para cancelar una deuda, etc. Tenemos que recordar que al trabajar en compuesta la equivalencia financiera se cumple en cualquier punto de la operación, lo cuál nos permite formular de una manera más sencilla la ecuación financiera que necesitemos.

Actividad nº 26:

Las condiciones de compra de una vivienda, a un nominal del 6 % anual son:

• Entrada de 12.500 €. y un año realizando pagos trimestrales de 3.000 €. cada uno.

• Al finalizar los anteriores, se abonan 5.000 €. coincidiendo con la entrega de las llaves.

• El resto en tres años mediante pagos mensuales de 250 €.

Se pide calcular:

- Capital desembolsado a la entrega de las llaves.

- Deuda pendiente tras la entrega de las llaves.

- Precio al contado del piso.

.

Solución:

 En este ejercicio como existen dos formas de pago en la operación, dará lugar a dos tantos efectivos: El tanto trimestral: 6 %: 4 = 1,5 % y el tanto mensual: 6 %: 12 = 0,5 %

La representación gráfica de la operación sería:

12.500 5.000

3 3 3 3 250 .... 250 .... 250 ......

0 1 2 3 4

Valor contado Valor entrega llaves

Deuda pendiente

a.- Capital desembolsado a la entrega de las llaves. El punto de valoración es (1) momento de la entrega, como vamos hacia el futuro, a nuestra izquierda, se planteará el valor final de una renta o se capitalizará:

Vf = 12.500 (1 + 0,015)4 + 3.000 • S 4 0,015 + 5.000 = 30.539,75 €.

b.- En estos momentos quedan por pagar 36 pagos mensuales de 250 €, como valoramos hoy cantidades futuras, a nuestra derecha, se ha de plantear el valor actual de una renta o actualizar capitales.

V = 250 • a 36 0,005 = 8.217,75 €.

c.- El precio al contado será la suma en (0), de todos los pagos a efectuar. Como en los dos apartados anteriores ya hemos calculado lo pagado hasta (1) y lo pendiente de pagar en (1), si ambas cantidades se suman en (0), tendremos el valor al contado:

Va = 30.539,75 (1 + 0,015)- 4 + 8.217,75 (1 + 0,015)- 4 = 36.516,71 €.

Si tomamos toda la operación en su conjunto el valor al contado, será la suma de todos pagos a efectuar valorados en (0):

Va = 12.500 + 3.000 • a 4 0,015 + 5.000 (1+ 0,015)- 4 + 250 • a 36 0,005 (1 + 0,015)- 4

Va = 36.516,71 €.

Actividad nº 27:

Un señor adquiere una vivienda abonando como entrada 5.000 €., y el resto durante los próximos diez años a razón de 600 €. trimestrales. Si se valora a un tanto nominal del 12 % anual, se pide:

a.- Valor al contado del piso.

b.- Si no abonase nada en los primeros doce pagos ¿Cuánto abonará en el trece para ponerse al día?.

c.- Si en el caso anterior decide, no ponerse al día y la deuda acumulada repartirla en los pagos restantes. ¿Cuál será la cuantía de éstos?.

d.- Si después de efectuados ocho pagos, decide cancelar toda la deuda ¿Cuánto pagará?.

Solución:

a.- Será el valor hoy (0), de todos los pagos acordados, por lo tanto será el valor actual de una renta constante de 600 €. durante 10 • 4 = 40 trimestres, valorada al 12 % : 4 = 3 % trimestral:

Va = 5.000 + 600 • a 40 0,03 = 18.868,86 €.

b.- Supondrá el pago en (13) de los doce pagos aún no efectuados más el correspondiente al momento actual, el trece, por lo tanto como vamos hacia el futuro será el valor final de una renta constante de trece periodos valorada al 3 %

Vf = 600 • S 13 0,03 = 9.370,67 €.

c.- Si no se pone al día tendremos la siguiente situación: Un valor al contado en (0), y una renta constante de cuantía C, que se inicia en el trimestre número trece, por lo tanto habrá que actualizarla hasta (0). El valor de la vivienda ya conocemos que es de 18.868,86 € que es el valor actual de la operación:

Va

500.000 C C ……………….. C

0 12 13 14 ……………… 40

18.868,86 = 5.000 + C • a 28 0,03 (1 + 0,03) - 12 , operando, C = 1.053,80 €.

d.- Si ya ha efectuado ocho pagos, quedan pendientes treinta y dos pagos de 600 €., el valor actual de dichos pagos futuros será el valor de la deuda a liquidar:

Va = 600 • a 32 0,03 = 12.233,26 €.

Actividad nº 28:

Una pareja de novios se casará dentro de un año y decide hoy la compra de un piso. La inmobiliaria les informa de sus condiciones de venta: Una entrada de 18.000 €. A la entrega de las llaves dentro de un año, se abonarán 10.000 €, el resto en 10 años, mediante pagos mensuales constantes de 500 €, y cada seis meses coincidiendo con las pagas extras de junio y diciembre, desembolsarán 600 € más.

Si la operación se valora al 5 % efectivo en el primer año y al 6 % nominal anual en el resto. ¿Cuál es el valor al contado del piso?.

Los novios dicen que no pueden afrontar el pago de la entrada y solicitan su pago mediante entregas mensuales durante ese año hasta la entrega de las llaves, proposición que es aceptada por la inmobiliaria pero a un tipo de interés efectivo del 6 % anual ¿Cuál será la cuantía de los pagos mensuales?.

Y si deciden iniciar un plan de ahorro a un año, para así disponer del dinero que necesitan a la entrega de las llaves, mediante entregas mensuales anticipadas valoradas a un tanto nominal del 6 % ¿Qué cantidad han de ingresar?

Solución:

 El valor al contado será la suma en (0) de todos los pagos a realizar: 18.000 €. (0) , 10.000 € (1) que habrá que actualizar, una renta mensual que se inicia en (1) y como la operación se inicia en (0) habrá que actualizarla y otra renta semestral en las mismas condiciones que la anterior ya que son simultáneas. Los tantos a utilizar serán el 6 %: 12 = 0,5 % mensual y el semestral del 6 %: 2 = 3 %

18.000 10.000 500 €. mensuales y 600 €. semestrales

0 1 2 3 4 5 6 7

Va = 18.000 + 10.000 (1 + 0,05)- 1 + 500 • a 120 0,005 • (1 + 0,05) - 1 +

600 • a 20 0,03 • (1 + 0,05) - 1

Va = 18.000 + 8.523,81 + 42.892,12 + 8.501,41 = 78.917,34 €.

NOTA: Hemos utilizado el 5 % en las actualizaciones porque ya es efectivo.

 Si queremos sustituir el pago de 18.000 €. en (0) por una renta mensual equivalente, éste valor será el actual de una renta mensual de un año de duración, al 0,5 % mensual:

18.000 = C • a 12 0,005

Operando C = 1.549,20 €.

 Si realizasen la operación de ahorro, necesitamos el valor final de una renta valorada al 6 %: 12 = 0,5 % mensual:

10.000 = C • S 12 0,005 (1 + 0,005)

Operando, C = 806,63 € mensuales.

Actividad nº 29:

Se ha contraído una deuda a amortizar en 12 pagos trimestrales de 2.300 €. cada uno, a un tanto de valoración del 7 % nominal anual. Se pide:

a.- Cuantía de la deuda contraída.

b.- Si no se abonase nada en los tres primeros pagos ¿Cuánto se abonará en el cuarto para ponerse al día?.

c.- Si durante los cuatro primeros pagos no se abonase nada ¿Cuál sería la nueva cuota a pagar para amortizar la deuda en los ocho pagos restantes?.

d.- Si efectuado el octavo pago se decidiese saldar la deuda ¿Cuánto se abonaría?.

Solución:

a.- El valor de la deuda será el valor actual de los pagos. Es una renta de 12 pagos y valorada al 7 %: 4 = 1,75 % trimestral:

Va = 2.300 • a 12 0,175 = 24.700,96 €.

b.- Se pagarán los tres pagos no efectuados, más el cuarto y los intereses devengados, como valoramos el final del primer año, los pagos anteriores no efectuados será el valor final de esos pagos.

Vf = 230.000 • S 4 0,0175 = 944.433 €.

c.- El esquema de la operación es el siguiente:

24.700,96 C C C C C C

0 4

Pagar la misma deuda pero en ocho pagos que se inician en (4), por lo que habrá que actualizarla hasta (0) donde está el valor actual de la operación:

24.700,96 = C • a 8 0,0175 (1 + 0,0175)- 4

Operando, C = 3.575,39 €.

d.- En el momento en que se quiere saldar la deuda faltan cuatro pagos por realizar, por lo que será el valor actual de dicha renta:

Va = 2.300 • a 4 0,0175 = 8.811,17 €.

 La problemática de los pagos en su número.

El objetivo fundamental de este apartado es insistir que estamos ante operaciones que son resultado de la suma de multitud de capitales, cuando se utilizan las fórmulas del valor final o del actual para efectuar estas sumas, el factor n no representa el tiempo en sí mismo sino el número de capitales que estamos sumando. Lo que sucede es que si las rentas son normales el número de capitales suele coincidir con la duración de la operación. Con estos ejercicios aprenderemos a interpretar el concepto del número de pagos ante situaciones anómalas.

Actividad nº 30:

Calcular el valor de las siguientes operaciones:

a.- El final de una renta semestral, anticipada de 850.000 €., valorada al 7 % nominal anual y de cinco años y cuatro meses de duración

b.- El final de una renta anual valorada al 6 % anual, de 420.000 €. anticipadas, durante tres años y seis meses.

Solución:

a.- Al vencer los capitales al principio del semestre en la duración de la operación se producen 11 vencimientos ya que el último capital vence al principio de los cuatro últimos meses. Cambiando el tanto a semestral, será 7 %: 2 = 3,5 %. Su gráfico sería:

Vf renta

850, 850, 850, 850, 850, 850, 850, 850, 850, 850, 850,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Vf operación

Como estamos sumando 11 capitales el valor se sitúa al final del semestre onceavo, mientras que el de la operación dos meses antes, por lo tanto el valor final obtenido habrá que actualizarlo dos meses:

Vf = 850.000 • S 11 0,03440804328 • (1 + 0,035) (1 + 0,035) - 2/6 = 11.429.845,36 €.

b.- El esquema de la operación es el siguiente:

Vf renta

420, 420, 420, 420,

0 1 2 3 ½ 4

Vf operación

Al ser anticipada en los tres años y medio, vencen cuatro capitales, el último al principio del cuarto año, como el valor final de la renta se sitúa al final del cuarto año, al sumar 4 capitales y el de la operación seis meses antes, habrá que actualizarlo seis meses.

Vf = 420.000 • S 4 0,06 • (1 + 0,06) (1 + 0,06) - 6/12 = 1.891.655,99 €.

Actividad nº 31:

Calcular el valor de las siguientes operaciones:

a.- El actual de una renta de 300.000 €. semestrales y anticipadas, valorada al 8 % efectivo anual y de tres años y medio de duración.

b.- El final de una renta de 60.000 €. trimestrales, valorada al 8 % nominal anual y de cuatro años y cinco meses de duración. Calcularla en el caso de ser vencida y anticipada.

c.- En el caso anterior el valor final como renta anticipada.

Solución:

a.- Comprobamos que en la duración de la operación vencen 7 capitales semestrales, coincidiendo el valor final de la suma con el de la operación. Bastará con cambiar el tanto a semestral y los sumaremos. El tanto semestral será: (1 + 0,08) ½ - 1 = 0,0392304845

Va = 300.000 • a 7 0,03923048 • (1 + 0,03923048) = 1.876.588,42 €.

b.- El esquema de la operación en el caso de ser posptagables para una duración de (4 • 12) + 5 = 53 meses es:

Vf

60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60,

0 1 2 3 4 4 + 5/12

En la operación vencen en los cuatro años 16 capitales trimestrales, y en los cinco meses sólo da lugar al vencimiento, al final del tercer mes, de un capital al ser vencida, pero el vencimiento de la operación es dos meses más tarde, por lo que habrá que capitalizar el valor final obtenido. El tanto trimestral será: 8 % : 4 = 2 %.

Vf = 60.000 • S 17 0,02 • (1 + 0,02) 2/3 = 1.216.681,02 €.



capitalizada dos meses

c.- En el caso de ser anticipada, en los cuatro años vencen 16 capitales y en los cinco meses da lugar al vencimiento de otros dos, uno al principio del primer mes y el otro al principio del cuarto mes, por lo que la operación estará formada por 18 capitales y su suma ses situará al final del trimestre 18 (en el mes 18 • 3 = 54) por lo que habrá que actualizarlo un mes, que es el punto de término de la operación:

Vf renta

0 4 4 ½

Vf operación

Vf = 60.000 • S 18 0,02 • (1 + 0,02) • (1 + 0,02) - 1/3 = 1.301.811,99 €.

Actividad nº 32:

Un señor inicia una operación de ahorro depositando el 2 de julio 1.500 €. en una entidad de ahorro y acuerda entregar cada semestre 1.500 €. en los próximos diez años a un interés nominal del 6 %. Si al finalizar la operación quiere recibir una renta mensual de 850 €. ¿Cuántas mensualidades recibirá, si el interés efectivo de la nueva operación es el 6,5 %?

Solución:

 Es una renta en valor final, al ser una operación de ahorro, semestral, de m = 2, y anticipada al iniciarse el 2 de julio con el ingreso de los primeros 1.500 €. y de 10 años de duración. El dinero ahorrado se va a retirar mediante una renta, por lo que el valor final anterior se transforma en valor actual de la siguiente operación.

 El número de entregas es de 10 • 2 = 20 y el interés semestral 6 %: 2 = 3 % y el capital ahorrado será de :

Vf = 1.500 • S 20 0,03 • (1 + 0,03) = 41.514,73 €.

 El valor final ahora es el actual de la nueva operación donde n es el dato desconocido. El tanto mensual será: (1 + 0,065)1/12 – 1 = 0,005261694

41.514,73 = 850 • a n 0,005261694 operando

48,840858 = despejando la potencia

0,743014332 = (1 + 0,005261694) - n tomando logaritmos

log 0,74426217 = - n • log 1,005261694 donde

n = 56,60, son 56 las mensualidades completas que recibirá, más la 57 por un valor inferior para retirar todo el dinero ahorrado

Actividad nº 33:

Un señor desea ahorrar 7.500 €., para lo cual concierta con un banco la entrega de pagos semestrales anticipados de 250 €. El banco le abona un interés del 5 % nominal anual. Se pide calcular el número de depósitos a realizar. ¿Cuál será la cuantía extra a depositar junto al último pago para completar los 7.500 €.?

Solución:

 Estamos ante el valor final de una renta anticipada, a un interés semestral del 5 %: 2 = 2,5 % El número de depósitos a realizar será:

7.500 = 250 • S n 0,025 (1 + 0,025) operando

1,731707317 = 1,025 n tomando logaritmos

log 1,731707317 = n • log 1,025 despejando n

n = 22,23 pagos, que completos serán 22 pagos

 Como pregunta la cuantía extra a depositar junto con el último, quiere decir que mantenemos los 22 pagos, pero incrementándole el valor del último. La ecuación financiera será el valor de la renta de 21 pagos, con valor final en (21), por lo tanto hay que capitalizarla hasta (22), más la cuantía C´, a depositar al principio del último semestre que completará los 7.500 €.

7.500 = 250 • S 21 0,025 (1 + 0,025) (1 + 0,025) + C´ (1 + 0,025)

Prepagable Diferida Prepagable

Operando, C´ = 351,36 € que será la cuantía del pago nº 22.