MANUAL PRÁCTICO DE OPERACIONES FINANCIERAS

MANUAL PRÁCTICO DE OPERACIONES FINANCIERAS

Enrique R. Blanco Richart

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7.- ACTIVIDADES: EJERCICIOS RESUELTOS

 Cuadros de amortización. Casos generales.

En este apartado vamos a aprender a manejar las tablas de amortización como herramienta en el aprendizaje del significado de sus componentes, de sus relaciones y de sus desgloses, del efecto que las carencias tienen en la evolución de la amortización, del significado de los distintos métodos de amortización, en qué afecta cada método a la amortización del capital y al pago de intereses, si en todos los casos se pagan monetariamente los mismos intereses calculados sobre el mismo capital aplicando el mismo tanto de interés, etc.

Es importante que no avancemos si este apartado no nos queda claro, porque es necesario para poder entender el funcionamiento de las operaciones, de forma que sin tener los cuadros sepamos cuál es la posible evolución de la operación, etc. Tampoco nos olvidemos que sin ellos muchas de las anotaciones contables no serían posible.

Actividad nº 1:

Realizar el cuadro de amortización de la siguiente operación:

• Préstamo de 100.000 €

• Duración de tres años a un interés del 8 % anual, pagadero semestralmente.

• Amortización mediante reintegro único y pago semestral de intereses.

Solución:

• Los intereses a pagar en cada tramo, al mantenerse vivo siempre el mismo capital, serían, para un i semestral (8 % : 2 = 4 %), de: 100.000 • 0,04 = 4.000 €

• La tabla de pagos sería:

Actividad nº 2:

Realizar el cuadro de amortización de la siguiente operación:

• Préstamo de 600.000 €

• Duración de ocho años, a un interés del 6 % anual en los cuatro primeros años, del 7 % en los dos siguientes y del 7,5 % en los restantes.

• Amortización mediante reintegro único y pago anual de intereses.

Solución:

• Los intereses a pagar en cada tramo, se calcularían siempres sobre los 600.000 €.:

Durante los cuatro primeros años: 600.000 • 0,06 = 36.000 €. Durante los dos siguientes: 600.000 • 0,07 = 42.000 € y durante los dos últimos: 600.000 • 0,075 = 45.000 €.

• La tabla de pagos sería:

Actividad nº 3:

Realizar el cuadro de amortización de la siguiente operación:

• Préstamo de 60.000 €.

• Duración de cinco años, a un interés del 9 % anual.

• Amortización de 20.000 € de capital en el segundo año y el resto al vencimiento con pago anual de intereses.

Solución:

• Existe una amortización parcial lo que hará variar el capital vivo y en consecuencia el interés a pagar: En los dos primeros años: I1 = 60.000 • 0,09 = 5.400 €. En los siguientes el capital vivo es de 60.000 – 20.000 = 40.000 €. Por lo tanto el interés de estos periodos será: I2 = 40.000 • 0,09 = 3.600 €

• La tabla de pagos sería:

Actividad nº 4:

Se ha obtenido un préstamo de 400.000 € a un interés del 2 % semestral a amortizar en 5 años del siguiente modo: En los dos primeros semestres no realizará pago alguno, en los dos siguientes devolverá 60.000 € y 50.000 € de capital. En los tres siguientes sólo pagará los intereses y en el resto efectuará tres devoluciones de capital de 90.000 €, 130.000 € y en el último la cantidad necesaria para amortizar la deuda. Se pide confeccionar el cuadro de la operación.

Solución:

Actividad nº 5:

Se ha obtenido un préstamo de 20.000 € a un interés del 5 % anual a amortizar con la entrega de los siguientes pagos: 5.000 €, 3.000 €, 6.000 €, 4.000 € y 5.160,23 €. Se pide comprobar si la operación se amortiza en su totalidad y si no fuese así efectuar las rectificaciones oportunas.

Solución:

Siguiendo el procedimiento de cálculo y comprobaremos la última fila.

Comprobando que la operación se amortiza con los pagos suministrados.

Actividad nº 6:

Realizar el cuadro de amortización de la siguiente operación: Préstamo de 10.000 €, a cuatro años, con un interés del 6 % anual y amortización mediante la entrega de las siguientes cantidades: 2.000 € en el primer año, 4.000 € en el segundo año, 2.500 € en el tercer año y un cuarto pago a calcular.

Solución:

• El valor del último pago valorando la operación al interés del 6 %, será el que iguale la prestación con la contraprestación

10.000 = 2.000 (1 + 0,06)–1 + 4.000 (1 + 0,06)– 2 + 2.500 (1 + 0,06)–3 + C (1 + 0,06)– 4

Operando, C = 3.098,34 €

• Pero desarrollando la tabla desglosando cada pago se obtendrá el mismo resultado.

Actividad nº 7:

Se ha obtenido un préstamo de 3.500 € a un interés del 4 % anual a amortizar con la entrega de tres pagos anuales de 1.100 €, 1.500 € y 1.187,26 €. Se pide comprobar si la operación se amortiza. ¿Tiene regularidad amortizativa esta operación? Explícalo.

Solución:

• Tendrá regularidad amortizativa cuando cada pago es capaz a la vez de amortizar capital y de pagar los intereses correspondientes. Como lo cumple en todos los pagos sí la tiene.

Actividad nº 8:

Realizar el cuadro de amortización de la siguiente operación: Préstamo de 60.000 € concedido el 30 de agosto del 2006 a un interés del 6 % anual y a amortizar según el plan adjunto.

Solución:

• Estamos ante una operación irregular en cuanto a los vencimientos de los pagos, 1 mes, 1 mes, 5 meses, 2 meses y 4 meses. Por lo que desarrollaremos cada pago para obtener la tabla, partiendo de las cuotas de capital y por lo tanto del capital vivo.

Pagos Pago (a) Interés (I) Amortización Capital Vivo

0 - - - 60.000

1 10.000 + 300 = 10.300 60.000 • 0,06 • 1/12 = 300 10.000 50.000

2 15.000 + 250 = 15.250 50.000 • 0,06 • 1/12 = 250 15.000 35.000

3 10.000 + 875 = 10.875 35.000 • 0,06 • 5/12 = 875 10.000 25.000

4 20.000 + 250 = 20.250 25.000 • 0,06 •2/12 = 250 20.000 5.000

5 5.000 + 100 = 5.100 5.000 • 0,06 • 4/12 = 100 5.000 0

Actividad nº 9:

Realizar el cuadro de amortización de la siguiente operación:

• Préstamo de 2.000.000 €

• Duración de tres años, con un interés nominal del 8 % anual.

• Amortización mediante pagos trimestrales constantes.

Solución:

• Al ser el término y el rédito constante, estamos ante el sistema francés. Por lo tanto a un interés trimestral del 8 % : 4 = 2 %, durante 3 años • 4 trimestres = 12 trimestres, la cuantía del pago consante será:

2.000.000 = a • a 12 0,02 Operando, a = 189.119,19 €

• Las cuotas de capital las obtendremos por recurrencia a partir de la primera:

A1 = a – I1 = 189.119,19 – (2.000.000 • 0,02) = 149.119,19 €

A2 = A1 (1 + 0,02) = 152.101,57 €

A3 = A1 (1 + 0,02)2 = 155.143,61 € y así sucesivamente.

• El capital vivo será la resta al capital prestado de las cuotas de amortización:

C1 = 2.000.000 - 149.119,19 = 1.850.880,81 €.

C2 = 1.850.880,81 - 152.101,57 = 1.698.779,24 €.

C3 = 1.698.779,24 - 155.143,61 = 1.543.635,63 €. y así sucesivamente.

También podría obtenerse a través de la ecuación general, es decir:

C1 = 189.119,19 • a 11 0,02 = 1.850.880,81 €.

C2 = 189.119,19 • a 10 0,02 = 1.698.779,24 €.

C3 = 189.119,19 • a 9 0,02 = 1.543.635,63 €.

• Las cuotas de interés se pueden obtener o Is = Cs-1 • i , o por diferencia a – As = Is

I1 = 2.000.000 • 0,02 = 40.000

I2 = 1.850.880,81 • 0,02 = 37.017,62

I3 = 1.698.779,24 • 0,02 = 33.975,58 y así sucesivamente.

• La tabla de pagos sería:

Actividad nº 10:

Realizar el cuadro de amortización de la siguiente operación:

• Préstamo de 4.500 € a ocho años a un interés del 6 % anual.

• Amortización mediante pagos constantes, con carencia de principal en los dos primeros años.

Solución:

• Al existir carencia de principal en los dos primeros años, el capital vivo es el mismo hasta el término de la carencia en dos, ya que al pagar los intereses la deuda no varía. Por lo tanto la ecuación financiera que nos permite calcular el término constante mediante la fórmula de la renta constante para 8 – 2 = 6 pagos:

4.500 = a • a 8-2 0,06 Operando, a = 915,13 €

• Los dos pagos por intereses realizados en los dos primeros años serán de:

I = 4.500 • 0,06 = 270 €

• El resto de los elementos se calculará, con el mismo procedimiento que en el problema anterior, es decir calculamos primero las cuotas de capital:

A3 = 915,13 – 270 = 645,13

A4 = A3 (1 + 0,06) = 683,84

A5 = A3 (1 + 0,06)2 = 724,87

A6 = A3 (1 + 0,06)3 = 768,36 Y así sucesivamente.

• El capital vivo se obtendría con la ecuación general por el método prospectivo:

C0 = C1 = C2 = 4.500 €.

C3 = 915,13 • a 5 0,02 = 3.854,87 €.

C4 = 915,13 • a 4 0,02 = 3.171,03 €. Y así sucesivamente.

• Los intereses serían cada uno de los capitales anteriores por el rédito.

• La tabla de pagos sería:

Actividad nº 11:

Realizar el cuadro de amortización de la siguiente operación:

• Préstamo de 600.000 € a ocho años y un interés del 7 % anual.

• Amortización mediante pagos anuales constantes realizándose el primero al final del tercer año.

Solución:

• Al realizar el primer pago en el tercer año, existe una carencia total con lo que la deuda al inicio del tercer año será los seis millones más los intereses acumulados de dos años:

C2 = 600.000 • (1 + 0,07) 2 = 686.940 €

• El importe del término amortizativo se calculará sobre la deuda anterior, como si la operación se iniciase en (2):

686.940 = a • a 8-2 0,07 Operando, a = 144.117,13 €

• Calculada la primera cuota de capital obtendremos por recurrencia el resto:

A3 = 144.117,13 – (686.940 • 0,07) = 96.031,33 €

A4 = 96.031,33 • (1 + 0,07) = 102.753,52 €.

A5 = 96.031,33 • (1 + 0,07)2 = 109.946,27 €.

A6 = 96.031,33 • (1 + 0,07)3 = 117.642,51€.

A7 = 96.031,33 • (1 + 0,07)4 = 125.877,48 €.

A8 = 96.031,33 • (1 + 0,07)4 = 134.688,91 €.

• Los capitales vivos podemos obtenerlos por la ecuación general:

C0 = 600.000 €.

C1 = 600.000 • (1 + 0,07) = 642.000 €.

C2 = 642.000 • (1 + 0,07) = 686.940 €.

C3 = 144.117,13 • a 5 0,02 = 590.908,69 €.

C4 = 144.117,13 • a 4 0,02 = 488.155,76 €.

C5 = 144.117,13 • a 3 0,02 = 378.208,90 €. Y así sucesivamente.

• Los intereses se calcularían con cada uno de los capitales anteriores por el rédito.

• La tabla de pagos sería:

Actividad nº 12:

Realizar el cuadro de amortización de la siguiente operación:

• Préstamo de 1.500.000 € a seis años y un interés del 7 % anual.

• Amortización mediante cuotas de capital anuales y constantes.

Solución:

• Al ser constantes las cuotas de capital su valor será: 1.500.000 € : 6 = 250.000 €/año.

• El capital vivo se reducirá cada año en 250.000 €.

C0 = 1.500.000 €.

C1 = 1.500.000 – 250.000 = 1.250.000 €.

C2 = 1.250.000 – 250.000 = 1.000.000 €.

C3 = 1.000.000 – 250.000 = 750.000 €.

C4 = 750.000 – 250.000 = 500.000 €.

C5 = 500.000 – 250.000 = 250.000 €.

C6 = 250.000 – 250.000 = 0 €.

• El valor de los términos amortizativos variará en progresión aritmética decreciente de razón: d = - A• i = 250.000 • 0,07 = - 17.500 €. Al igual que las cuotas de interés.

I1 = 1.500.000 • 0,07 = 105.000 € a1 = 250.000 + 105.000 = 355.000 €

I2 = 105.000 – 1 • 17.500 = 87.500 € a2 = 355.000 – 1 • 17.500 = 337.500 €

I3 = 105.000 – 2 • 17.500 = 70.000 € a3 = 355.000 – 2 • 17.500 = 320.000 €

I4 = 105.000 – 3 • 17.500 = 52.500 € a4 = 355.000 – 3 • 17.500 = 302.500 €

I5 = 105.000 – 4 • 17.500 = 35.000 € a5 = 355.000 – 4 • 17.500 = 285.000 €

I6 = 105.000 – 5 • 17.500 = 17.500 € a6 = 355.000 – 5 • 17.500 = 267.500 €

• La tabla de pagos sería:

 Cálculo de términos amortizativos. Casos generales.

Este apartado está muy vinculado con el correcto conocimiento y manejo de las rentas constantes ya que vamos a calcular el término amortizativo de una operación de amortización en situaciones diversas: Con más de un tipo de interés, con cantidades a pagar diferentes, con amortización forzada por el contrato de concesión etc.

Actividad nº 13:

Calcular los términos amortizativos correspondientes a los siguientes préstamos:

a.- De un préstamo de 2.000.000 € a amortizar en ocho años, con abono sólo de los intereses en los dos primeros años, valorados al 8 % anual y con anualidades constantes valoradas al 7 % en los restantes.

b.- De un préstamo de 1.500.000 € a amortizar en nueve años, con carencia total en los dos primeros años, con pago sólo de los intereses en los tres siguientes y con anualidades constantes en los restantes valorando la operación la 7 %.

c.- De un préstamo de 2.000.000 € a amortizar en cuatro años mediante pagos trimestrales constantes valorados al 8 % nominal anual.

Solución:

a.- La ecuación financiera sabiendo que el capital vivo en (2), seguirá siendo C0 al tener carencia parcial, para el cálculo de los términos:

2.000.000 = a • a 6 0,07 Operando, a = 419.592 €

También podía establecerse la ecuación financiera ateniéndose a los pagos que conforman la contraprestación, donde habrá que incluir los dos pagos de intereses, por un importe de: 2.000.000 • 0,08 = 160.000 €

2.000.000 = 160.000 • a 2 0,07 + a • a 6 0,07 (1 + 0,08)- 2 Operando, a = 419.591,60 €

b.- La deuda aumenta por no pagar cantidad alguna en los dos primeros años, siendo el importe de la deuda acumulada al final de los dos años de:

C2 = 1.500.000 • (1 + 0,07)2 = 1.717.350 €

Los intereses a pagar en los siguientes años serían: 1.717.350 • 0,07 = 120.214,5 €,

El término lo plantearemos de las dos maneras como en el caso anterior, pero tomando como deuda la acumulada en (2):

1.717.350 = a • a 4 0,07 Operando, a = 507.010 €

Si incluimos los intereses en la ecuación de equivalencia calculada en (2) sería:

1.717.350 = 120.215 • a 3 0,07 + a • a 4 0,07 (1 + 0,07)- 3

Operando a = 507.010 €

c.- Al ser los pagos trimestrales habrá que calcular el tanto trimestral: 8 % : 4 = 2 % trimestral. El número de pagos será 4 • 4 = 16.

2.000.000 = a • a 16 0,02 Operando, a = 147.300,25 €

Actividad nº 14:

Calcular los términos amortizativos correspondientes a los siguientes préstamos:

a.- De un préstamo de 6.000.000 € valorado al 6 % nominal anual en los dos primeros años, al 5 % efectivo anual en los dos siguientes y al 4 % nominal anual en los cuatro últimos. En los dos primeros años sólo se abonarán intereses trimestrales, en los dos siguientes no se pagará cantidad alguna y en los restantes pagos trimestrales constantes.

b.- Para realizar una urbanización las condiciones del préstamo solicitado son: El Banco entregará 10 millones de euros en cada uno de los próximos tres años a un interés del 4 % anual, para devolverlo, junto con sus intereses, a partir de la última entrega, mediante ocho pagos anuales constantes.

Solución:

a.- Los pagos trimestrales de los intereses en los dos primeros años al 6 % : 4 = 1,5 %, serán de 6.000.000 • 0,015 = 90.000 € cada uno.

En los dos siguientes periodos al no pagar nada se incrementa la deuda:

6.000.000 (1 + 0,05)2 = 6.615.000 €

El tanto de valoración de los pagos trimestrales restantes será: 4 % : 4 = 1 % y su valor

6.615.000 = a • a 16 0,01 Operando, a = 449.453,91 €

e.- En este caso estamos ante un préstamo con prestación múltiple y contraprestación múltiple, cuya representación sería:

10, 10, 10, pagos anuales

0 1 2 3 11

El valor de la deuda en 3, será la deuda acumulada hasta esos momentos:

C3 = 10.000.000 • S 3 0,04 = 31.216.000 €

El valor de los términos amortizativos sería:

31.216.000 = a • a 8 0,04 Operando a = 4.121.782,54 €.

Actividad nº 15:

Calcular los términos amortizativos que amortizan un préstamo de 5 millones de euros, a devolver en 6 años, a un tanto de interés del 10 %, con las siguientes condiciones:

• Durante los tres primeros años ha de pagar un término constante que permita amortizar la cuarta parte del principal.

• Durante los tres años siguientes, pagará otro término constante que le permita amortizar el resto.

Solución:

• En este caso se obliga al pago de distintos términos para así cumplir el plan de amortización, de tal forma que en el primer tramo ha de amortizar 1/4 del principal, es decir 5.000.000 • 1/4 = 1.250.000 €, quedando vivo un principal de 5 millones – 1,25 millones = 3,75 millones, para el siguiente tramo. Como lo que obtenemos al final de cada tramo es el capital vivo, podemos plantear el problema a través de su concepto:

• Podemos comenzar por el último tramo ya que los 3.750.000 se han de amortizar mediante tres pagos de cuantía a2, cuyo importe será:

• En origen de la operación quedan pendientes de amortizar, 5.000.000 € que se corresponden con dos rentas una de cuantía a2 que ya conocemos (la que amortizó los 3.750.000 €), más otra de cuantía a1:

Actividad nº 16:

Se pide el cálculo de las anualidades que amortizan un préstamo de 3 millones de euros, para ser amortizado en 9 años, a un tanto de interés del 7 %, de manera que en los cuatro últimos años amortice 1.000.000 € y en los cinco primeros el resto.

Solución:

• Estamos ante un caso igual al anterior, es decir la amortización de la operación está condicionada a unas características de cantidad. La representación gráfica sería:

• En origen de la operación quedan pendientes de amortizar, 3.000.000 € que se corresponden con dos rentas una de cuantía que ya conocemos (la que amortizó el 1.000.000 €), más otra de cuantía a1a calcular:

3.000.000 = a1 • a 5 0,07 + 1.000.000 (1 + 0,07) – 5 operando: a1 = 557.781,39 €

Actividad nº 17:

Se ha obtenido un préstamo de 200.000 € a devolver dentro de un año a un interés del 5 % anual. Llegado el vencimiento el prestatario paga los intereses devengados y 50.000 € para devolver parte del principal pero solicitando la posibilidad de alargar la operación un año más, propuesta que es aceptada pero aumentando el interés un punto. Se pide calcular el pago a realizar para amortizar el préstamo en el situiente año.

Solución:

• Al finalizar el primer año los intereses son de: I1 = 200.000 • 0,05 = 10.000 €

• El capital que adeuda tras la amortización parcial es de 200.000 – 50.000 = 150.000 €

• En el siguiente año pagará:

Por intereses: I2 = 150.000 • 0,06 = 9.000 €

Por el principal: 150.000 €.

Total a pagar: 150.000 + 9.000 = 159.000 €.

 La problemática de los pagos en su número y cuantía.

El objetivo fundamental de este apartado es insistir, como ya se hizo en el tema de rentas, que estamos ante operaciones que son resultado de la suma de multitud de capitales, cuando se utilizan las fórmulas del actual para efectuar estas sumas, el factor n no representa el tiempo en sí mismo sino el número de capitales que estamos sumando, eso sí asociados a un intervalo temporal. Con estos ejercicios aprenderemos a interpretar el concepto del número de pagos ante situaciones anómalas.

Actividad nº 18:

Una sociedad tiene en vigor un préstamo de 1.600.000 € a devolver en seis años con pagos mensuales constantes, valorados a un tanto nominal del 6 %. Si después de efectuado el pago número treinta, le bajan el interés al 5 % ¿Cuál sería el nuevo pago a efectuar?.

Solución:

• El interés mensual que se aplica es del: 6 % : 12 = 0,5 %. El número de pagos es 6 • 12 = 72 pagos y la cuantía del pago con el que inició la amortización era:

1.600.000 = a • a 72 0,005 Operando, a = 26.516,62 €

• Efectuado el pago número treinta, la deuda viva es el importe de 72 – 30 = 42 pagos:

Cs = 26.516,62 • a 42 0,005 = 1.002.283,18 €

• El nuevo tipo de interés a aplicar al resto de la operación es: 5 % : 12 = 0,416666 % y el importe de la nueva mensualidad:

Actividad nº 19:

Un préstamo de 600.000 € va a ser amortizado del siguiente modo: Dos años sin efectuar pago alguno y al finalizar éstos abonará los intereses acumulados hasta ese momento y 50.000 € para reducir el principal y seis años abonando pagos trimestrales constantes. Los tipos de interés acordados han sido del 6 % efectivo en los dos primeros años y del 7 % nominal en los siguientes. Se pide:

• Cuantía de los pagos a realizar.

• Si realizados ocho pagos trimestrales decide realizar una amortización anticipada por un importe de 200.000 € ¿Cuál sería el importe del préstamo adeudado?. ¿Cuál sería el importe del nuevo apgo trimestral?.

Solución:

• El capital acumulado hasta el segundo año es: 600.000 (1 + 0,06) 2 = 674.160 €.

• Los intereses a pagar serían: 674.160 – 600.000 = 74.160 €. Como en el segundo año abona los intereses acumulados queda a deber sólo los 600.000 € y como además entrega 50.000 € para reducir el principal éste quedará reducido a 550.000 €, al iniciar los pagos.

• El interés trimestral, es el 7 % : 4 = 1,75 % trimestral, por lo tanto la cuantía del pago:

550.000 = C • a 24 0,0175 Operando, C = 28.262,11 €

• En el momento de realizar el octavo pago trimestral le quedan pendientes 24 – 8 = 16 pagos, el capital vivo será:

Cs = 28.262,11 • a 16 0,0175 = 391.444,23 €

• Como reduce la deuda en 200.000 quedará un capital vivo de: 391.444,23 – 200.000 = 191.444,23 €, el importe del nuevo pago será:

191.444,23 = C • a 16 0,0175 Operando, C = 13.822,19 €

Actividad nº 20:

Para la compra de una máquina pesada, se ha solicitado un préstamo de 20.000.000 € a amortizar mediante pagos trimestrales durante los próximos 10 años, a un interés nominal del 10 %. ¿Cuál es la cuantía de los pagos trimestrales?. Si realizado el pago número 20, realiza una amortización de 5.000.000 €:

• ¿Cuál sería el importe de la deuda en esos momentos?.

• ¿Cuál sería la nueva cuantía del pago trimestral, si se mantiene la duración?.

• ¿Cuál sería el número de pagos exactos a realizar, si se mantiene la cuantía original de éstos?.

Solución:

• El valor de los pagos trimestrales, se corresponde con una renta trimestral de 10 • 4 = 40 pagos, valorada al 10 % : 4 = 2,5 % trimestral.

• La deuda pendiente después de efectuado el pago número 20, será el valor actual de los 20 pagos pendientes de abonar de 796.724,6 € cada uno.

• El saldo vivo tras la aportación extraordinaria será:

12.420.270,07 - 5.000.000 = 7.420.270,07 €

• Si mantiene el número de pagos pendientes, la duración de la renta, la incógnita será C:

Operando, C = 475.989,02 €

• Si mantiene el pago de 796.724,66 €, que estaba realizando, el número de pagos a efectuar será la incógnita, por lo tanto:

Operando, n = 10,73 pagos, que exactos serán 10, si incrementamos este último pago o pueden ser 11, siendo éste menor a los anteriores.

Actividad nº 21:

Un préstamo de 500.000 € se ha devolver en cinco años con pagos mensuales de 9.000 € valorados al 4,8 % nominal. Se pide comprobar si con estos pagos se amortiza el préstamo y si no es así calcular el valor de 2 pagos iguales y extras a efectuar al final del segundo y cuarto año para poder amortizar la totalidad de la deuda.

Solución:

• Lo primero que tenemos que hacer es comprobar si con los sesenta pagos de 9.000 € se cancela o no la deuda. El tipo de interés mensual a aplicar sería el: 4,8 % : 12 = 0,4 %

Comprobando que no se amortiza la operación, por lo tanto vamos a calcular el valor de los pagos extras a efectuar para poder cancelarla, que se obtendrá añadiendo a la ecuación financiera anterior los dos pagos iguales de cuantía C con vencimientos en el mes 24 y 48 y actualizados.

Actividad nº 22:

Una empresa tiene en vigor un préstamo de 50.000 € obtenido hace tres años, para ser amortizado en seis años a un interés nominal del 8 % anual mediante pagos semestrales constantes. Hoy ante dificultades financieras se concierta con el banco el pago sólo de los intereses en los dos siguientes años y seguir amortizando la operación con los pagos semestrales que estaba realizando. ¿Cuál sería el número de pagos que tendrá que realizar para terminar de amortizar el préstamo?.

Solución:

• Los pagos se estaban valorando al 8 % : 2 = 4 % semestral y cuyo importe era de:

50.000 = C • a 12 0,04 Operando, C = 5.327,61 €

• Como el préstamo lo obtuvo hace tres años, el capital vivo será el valor de los seis pagos pendientes:

Cs = 5.327,61 • a 6 0,04 = 27.928,05 €

• En los dos siguientes años efectuará sólo el pago de los intereses por un importe de:

I = 27.928,05 • 0,04 = 1.117,12 €

• El capital vivo terminado el pago de los intereses será el mismo, por lo tanto el número de pagos a realizar sería:

Operando n = 5,999 pagos, es decir 6 pagos.

Actividad nº 23:

Un comerciante solicitó el 18 de marzo, un préstamo de 50.000 € para amortizar en ocho años, mediante pagos mensuales constantes. Acuerda con el banco realizar los pagos el 5 de cada mes, venciendo el primero el día 5 de abril, a un interés nominal del 8 %. Se pide calcular el importe de los pagos mensuales y el valor del pago realizado el primer 5 de abril para el abono de los intereses devengados desde la concesión. Calcular dicho pago si los intereses se calculan en simple y en compuesta.

Solución:

• Desde el 18 de marzo al 5 de abril transcurren 18 días, por lo que el primer pago por el valor de los intereses devengados en ese tiempo será de:

 Calculados en simple: 50.000 • 0,08 • 18/360 = 200 €.

 En compuesta, necesitamos el interés mensual del 8 % : 12 = 0,666 %

I = Cn – C0 = 50.000 (1 + 0,00666)18/30 – 50.000 = 199,73 €

• Como en este caso ha pagado los intereses, la deuda sigue siendo de la misma cuantía y el importe de los términos constantes se obtendrá de la suma del valor actual de la renta de 12 • 8 = 96 pagos que la forman:

50.000 = a • a 96 0,00666

Operando, a = 706,83 €

 Operaciones de “leasing”.

Actividad nº 24:

Se va a adquirir un vehículo mediante “leasing” cuyo coste al contado es de 38.705 €, mediante 36 pagos constantes más una opción de compra de igual cuantía a los pagos. El interés pactado es del 5,8 % anual.

Se pide confeccionar el cuadro de pagos de la operación

Solución:

• La cuantía de los pagos se obtendrá de una renta constante anticipada de 37 cuotas, al realizarse los pagos al inicio de cada periodo, valorada a un interés del 5,8 % : 12 = 0,04833333 mensual:

Los datos de la primera línea de la tabla serán:

 I1 = (38.705 – 1.139,42) • 0,0048333 = 181,57 €.

 A1 = 1.139,42 – 181,57 = 957,85 €, el resto se obtendrá por recurrencia.

A2 = 957,85 • 1,00483333 = 962,48 €

A3 = 962,48 • 1,00483333 = 967,138 € y así sucesivamente.

 C1 = 38.705 – 957,85 = 37.747,15 € pero recordando que aunque es el importe de la deuda aún no pagada, no es la cifra sobre la que se calculan los intereses ya que siempre hay que restar el importe de la opción de compra (- 1.139,42 = 36.607,73 que sería el importe de la deuda viva a efectos del cálculo de los intereses, I2 = 36.607,73 • 0,0048333 = 176,94 €).

Actividad nº 25:

El 1 de febrero se ha concertado un “leasing” de maquinaria pesada con el siguiente detalle: Importe del bien: 502.500 € a pagar en 24 cuotas mensuales constantes, haciendo efectiva la primera a la firma del contrato, siendo la opción de compra del mismo importe de las cuotas. El tipo de interés de la operación es del 12,5 % nominal anual. Se pide calcular el valor de las mensualidades y la tabla de pagos.

Solución:

• La ecuación financiera, al igual que en el caso anterior, será el valor actual de una renta constante anticipada de 24 más la opción. El interés mensual de la operación sería: 12,5 % : 12 = 1,04166 % mensual:

502.500 = C . a 25 0,104166 (1 + 0,0104166) Operando, C = 22.698 €.

• El interés o carga financiera del primer pago se calcula sobre el capital financiado que es el valor al contado del bien menos la opción de compra. La primera cuota de capital o recuperación del coste se obtendrá restando al valor de la cuota neta, la parte correspondiente a los intereses del primer pago. El resto de las cuotas se puede obtener fácilmente utilizando la ley de recurrencia del préstamo francés (1 + i).

• Primera cuota de interés. I1 = 502.500 – 22.698 = 479.802 € • 0,01041666 = 4.998 €.

• Primera cuota de capital: A1 = 22.698 € – 4.998 € = 17.700 €., el resto de las cuotas:

A2 = 17.700 (1,0104166)1 = 17.885 €.

A3 = 17.700 (1,0104166)2 = 18.071 €.

A4 = 17.700 (1,0104166)3 = 18.259 €, y así sucesivamente.

• El resto de las cuotas de interés se obtendrían por diferencia entre el pago mensual y la cuota de capital. La tabla de pagos sería:

Actividad nº 26:

El 1 de febrero se ha concertado el arrendamiento financiero de una máquina, con el siguiente detalle: Importe del bien, 1.972.500 € a pagar en 36 cuotas mensuales constantes, más la opción de compra del mismo importe, haciendo efectiva la primera a la firma del contrato. El tipo de interés acordado es del 13 % nominal. Se pide calcular el valor de las mensualidades y los seis primeros pagos de la tabla.

Solución:

• Procediendo de igual modo que en el caso anterior a un interés mensual del: 13 % : 12 = 1,08333 %, el valor a pagar será el actual de 37 pagos al ser la opción del mismo importe que las cuotas:

1.972.500 = C • a 37 0,108333 (1 + 0,01083333) Operando, C = 64.295 €.

• Primera cuota de interés. I1 = (1.972.500 – 64.295) • 0,01083333 = 20.672 €.

• Primera cuota de capital: A1 = 64.295 €. – 20.672 €. = 43.623 €., el resto de las cuotas:

A2 = 43.623 (1,01083333)1 = 44.095 €.

A3 = 43.623 (1,01083333)2 = 44.573 €. y así sucesivamente.

• El resto de las cuotas de interés se obtendrían por diferencia entre el pago mensual y la cuota de capital. La tabla sería:

Actividad nº 27:

El 30 de diciembre se ha concertado el arrendamiento financiero de un coche, de 29.600 € y la matriculación 2.664 €. Se pagarán 48 cuotas mensuales siendo la primera de 17.504,36 € a un interés del 7,5 % nominal.

Se pide calcular el valor de las mensualidades y los seis primeros pagos de la tabla.

Solución:

• El coste del vehículo con matriculación es de: 29.600 €. + 2.664 €. = 32.264 €.

• El tipo de interés mensual es del: 7,5 % : 12 = 0,625 % y el valor de los pagos:

32.264 = 17.504,36 + C • a 48 0,00625 (1 + 0,00625) donde C = 354,66 €.

NOTA: Al considerarse la entrada como un primer pago, la ecuación se plantea con 48 pagos constantes (48 más la opción menos la entrada).

• La primera cuota de interés, como se ha entregado como entrada 17.504,36 €., el valor a financiar será el de contado menos la entrada menos la opción: (32.264 - 354,66 – 17.504,36) • 0,00625 = 90,03 €.

• La primera cuota de capital: 354,66 - 90,03 = 264,62 €.

El resto de cuotas: A2 = 264,62 (1,00625)1 = 266,28 €.

A3 = 264,62 (1,00625)2 = 267,94 €.

A4 = 264,62 (1,00625)3 = 266,92 €., y así sucesivamente.

• El cuadro de pagos sería: