MANUAL PRÁCTICO DE OPERACIONES FINANCIERAS

MANUAL PRÁCTICO DE OPERACIONES FINANCIERAS

Enrique R. Blanco Richart

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3.- EJERCICIOS PRÁCTICOS

 La problemática de los tantos: Actividades resueltas.

A través de los ejemplos planteados tenemos que comprobar que la relación entre los tantos no va a presentar ninguna dificultad. Es decir se pretende que las dos relaciones fundamentales, de nominal a efectivo y viceversa se utilicen con soltura y más cuando en la vida real, aunque de forma más simple, esta relación se utiliza constantemente.

Actividad nº 1:

Se desea conocer cuál es el tanto efectivo anual i equivalente, a cada uno de los casos propuestos:

a.- Del 8 % anual capitalizable mensualmente.

b.- Del 8 % anual pagadero anualmente.

c.- Del 8 % anual simple capitalizable mensualmente.

d.- Del 8 % efectivo anual capitalizable semestralmente.

e.- Del 10 % bienal capitalizable trimestralmente.

f.- Del 6 % semestral capitalizable mensualmente.

g.- Del 5 % semestral capitalizable trimestralmente.

h.- Del 3 % trimestral capitalizable mensualmente.

i.- Del 24 % trienal capitalizable anualmente.

j.- Del 12 % bienal capitalizable semestralmente.

Solución:

a.- El tanto pactado es el 8 % anual, el número de pagos es m = 12, por lo tanto:

El tanto mensual: im = 0,08 : 12 = 0,0066666.

El anual equivalente i, para m = 12, al utilizar el pagadero mensual:

(1 + i) = (1 + 0,006666) 12 , de donde i = 8,2999507 %.

b.- Al ser el tanto pactado igual que el pago pactado, ya es directamente el tanto efectivo i.

c.- El tanto pactado es el 8 % anual, el número de pagos es m = 12, por lo tanto:

El tanto mensual: im = 0,08 : 12 = 0,0066666

El anual equivalente i , para m = 12, al utilizar el mensual:

(1 + i) = (1 + 0,006666) 12 , de donde i = 8,2999507 %

d.- Como dice que el tanto es el efectivo ya se ha tenido en cuenta la forma del pago, por lo que i = 8 %.

e.- El tanto pactado es el 10 % bienal, el número de pagos es m = 8, por lo tanto:

El tanto trimestral: im = 0,10 : 8 = 0,0125.

El anual equivalente i , para m = 4, al utilizar el pagadero del trimestral:

(1 + i) = (1 + 0,0125) 4 , de donde i = 5,0945336 %.

f.- El tanto pactado es el 6 % semestral, el número de pagos es m = 6, por lo tanto:

El tanto mensual: im = 0,06 : 6 = 0,01.

El anual equivalente i , para m = 12.

(1 + i) = (1 + 0,01) 12 , de donde i = 12,6825030 %.

g.- El tanto pactado es el 5 % semestral, el número de pagos m = 2, por lo tanto:

El tanto trimestral: im = 0,05 : 2 = 0,025.

El anual equivalente i , para m = 4.

(1 + i) = (1 + 0,025) 4 de donde i = 10,381289 %.

h.- El tanto pactado es el 3 % trimestral, el número de pagos m = 3, por lo tanto:

El tanto mensual: im = 0,03 : 3 = 0,01.

El anual equivalente i , para m = 12.

(1 + i) = (1 + 0,01) 12 , de donde i = 12,682503 %.

i.- El tanto pactado es el 24 % trienal, el número de pagos m = 3, por lo tanto:

El tanto anual: im = 0,24 : 3 = 0,08.

El anual equivalente i es el calculado del 8 %.

j.- El tanto pactado es el 12 % bienal, el número de pagos m = 4, por lo tanto:

El tanto semestral: im = 0,12 : 4 = 0,03.

El anual equivalente i , para m = 2.

(1 + i) = (1 + 0,03) 2 de donde i = 6,09 %.

Actividad nº 2:

Se desea conocer para cada uno de los casos propuestos a continuación cuál es el tanto efectivo de descuento anual d equivalente:

a.- Del 6 % de descuento semestral.

b.- Del 3 % trimestral, actualizable mensualmente.

c.- Del 12 % anual actualizable bimestralmente.

d.- Del 8 % de descuento anual simple.

e.- Del 6 % semestral actualizable mensualmente.

Solución:

a.- El tanto pactado es el 6 % semestral, al no decir nada más ya es tanto fraccionado dm

El tanto anual para m = 2:

(1 - d) = (1 - 0,06) 2 , de donde d = 11,64 %.

b.- El tanto pactado es el 3 % trimestral, el número de pagos m = 3, por lo tanto:

El tanto mensual: dm = 0,03 : 3 = 0,01.

El anual equivalente d , para m = 12.

(1 - d ) = (1 - 0,01) 12 , de donde d = 11,361512 %.

c.- El tanto pactado es el 12 % anual, el número de pagos m = 6, por lo tanto:

El tanto bimensual: dm = 0,12 : 6 = 0,02.

El anual equivalente d , para m = 6.

(1 - d) = (1 - 0,02) 6 , de donde d = 11,415762 %.

d.- El tanto pactado es el 8 % anual, pero como en el año el tanto simple y compuesto coinciden, ya es directamente el tanto d, al no pactar pagos distintos al tanto dado.

e.- El tanto pactado es el 6 % semestral, el número de pagos m = 6, por lo tanto:

El tanto mensual: dm = 0,06 : 6 = 0,01.

El anual equivalente d , para m = 12.

(1 - d) = (1 - 0,01) 12 , de donde d = 11,361512 %.

Actividad nº 3:

Una sociedad dispone en estos momentos de un excedente de tesorería de 20.000 € que son invertidos en una entidad que le abona unos intereses del 3 % trimestral simple en los próximos 3 años.

¿Cuál será el tanto anual que en compuesta le han de ofrecer para que la operación le resulte indiferente?.

Solución:

Hemos de buscar un tanto de capitalización compuesta que aplicado a los 20 millones y a un plazo de 3 años dé el mismo montante. Por lo tanto calculamos el montante en régimen de capitalización simple para un periodo de 3 años que son 12 trimestres, para igualar el tanto y el tiempo:

Cn = 20.000 (1 + 0,03 • 12) = 27.200 €.

Este montante es el que queremos obtener en capitalización compuesta para que la operación se indiferente, por lo tanto para un periodo de tres años, el tanto será:

27.200 = 20.000 (1 + i) 3

Operando, i = 10,793165 % anual.

Actividad nº 4:

Una sociedad tiene sus actuales excedentes de tesorería invertidos del siguiente modo:

a.- 45.000 € a plazo fijo que le devenga un interés del 7,5 % anual con capitalizaciones mensuales.

b.- 75.000 € en una Cédula a un tanto de descuento del 10 % anual con actualizaciones semestrales.

c.- 88.500 € en una Letra del Tesoro al 7,15 % de descuento anual.

d.- 50.000 € en títulos que le reportan un interés trimestral del 2 %.

¿Cuál de las inversiones es más rentable?. Si decidiese retirar todas las inversiones y colocarlas en una única entidad a un año ¿Cuál debería ser el interés que tendría que recibir para que la inversión le resultase indiferente?.

Solución:

Procederemos a calcular el tanto i equivalente a cada caso y escogiendo aquella inversión que produzca mayor rentabilidad:

• El tanto pactado es el 7,5 % anual, el número de pagos m = 12, por lo tanto:

El tanto mensual: im = 0,075 : 12 = 0,00625.

El anual equivalente i , para m = 12.

(1 + i) = (1 + 0,00625) 12 de donde i = 7,763259 %.

• El tanto pactado es el 10 % anual, el número de pagos m = 2, por lo tanto:

El tanto semestral: dm = 0,10 : 2 = 0,05.

El anual d equivalente, para m = 2.

(1 - d) = (1 - 0,05) 2 de donde d = 9,75 %.

El anual i equivalente, i = = 10,803324 %.

• El tanto dado ya es efectivo al no pactar pagos diferentes a él , luego bastará con calcular el i equivalente:

El anual i equivalente, i = = 7,700592 %

• Ya tenemos el interés trimestral al no pactar pagos distintos a él.

El anual equivalente sería para m = 4.

(1 + i) = (1 + 0,02) 4 , de donde i = 8,243216 %.

La opción más rentable es la 2

El interés a recibir será aquél que le reporte el mismo montante que los dados para que así le resulte indiferente. Por lo tanto la suma total de su inversión única, será la suma de las parciales: 45.000 + 75.000 + 88.500 + 50.000 = 258.500 €.

45.000 (1 + 0,07763259) + 75.000 (1 + 0,10803324) + 88.500 (1 + 0,07700592)

+ 50.000 (1 + 0,08243216) = 258.500 (1 + i)

Operando i = 8,716669 % anual.

Actividad nº 5:

Una sociedad tiene un excedente de tesorería de 20.000.000 € y tres alternativas de inversión, deseando saber cuál es la más rentable:

1.- Invertir en Pagarés de empresa a un tanto anual compuesto del 9 % con actualizaciones semestrales

2.- Comprar dos Pagarés a dos años y al descuento compuesto, siendo sus nominales de 12.209.639 €

Solución:

Calcularemos la tasa de rentabilidad de cada caso y escogeremos aquella que sea más alta:

1.- El tanto pactado es el 9 % anual, el número de pagos m = 2, por lo tanto:

El tanto semestral: dm = 0,09 : 2 = 0,045.

El anual d equivalente , para m = 2.

(1 - d) = (1 - 0,045) 2 , de donde d = 8,7975 %.

El anual i equivalente, i = = 9,646117 %.

2.- Si disponemos de 20.000.000 € en el momento 0 y los nominales ascienden a 12.209.639 • 2 = 24.419.278 €, en el momento 2, el tanto de interés que iguala ambos capitales será:

20.000.000 (1 + i) 2 = 24.419.278

Operando i = 10,497235 %.

Actividad nº 6:

Una sociedad tiene el siguiente paquete conjunto de inversiones:

a) Imponer 5.000.000 € en una cuenta al 6 % semestral con capitalizaciones bimestrales

b) Imponer 10 millones en una cuenta al 10 % anual con pago de intereses semestrales

c) Con el resto realizar una inversión a un interés trimestral del 2,75 %

Calcular el tanto medio de la inversión.

Solución:

• Primero calcularemos los tantos efectivos de cada una de las operaciones y después el tanto medio del conjunto de ellas, para así obtener un tanto único a comparar con los de las dos inversiones anteriores:

• El tanto pactado es el 6 % semestral, el número de pagos m = 3, por lo tanto:

El tanto bimensual: im = 0,06 : 3 = 0,02.

El anual equivalente i , para m = 6.

(1 + i) = (1 + 0,02) 6 , de donde i = 12,616241 %.

• El tanto pactado es el 10 % anual, el número de pagos m = 2, por lo tanto:

El tanto semestral: im = 0,10 : 2 = 0,05.

El anual equivalente i , para m = 2.

(1 + i) = (1 + 0,05) 2 , de donde i = 10,25 %.

• Conociendo el tanto trimestral im = 2,75 % , el tanto anual para m = 4

(1 + i) = (1 + 0,0275) 4 , de donde i = 11,462125 %.

El tanto medio para la inversión única de 20.000.000 €, sería:

5.000.000 (1 + 0,12616241) + 10.000.000 (1 + 0,1025) + 5.000.000 (1 + 0,11462125)

= 20.000.000 (1 + i)

Operando i = 11,144591 %.

 Planteamientos generales: Actividades resueltas.

Realización de ejercicios sobre las cuestiones generales. Cálculo del montante y valor actual de un capital, cálculo del interés, del tiempo, etc. El trabajo con operaciones valoradas a más de un tanto, etc. Comprobaremos que los movimientos de capital y las ecuaciones de equivalencia son más fáciles de resolver en compuesta que en simple al no depender de un punto de aplicación concreto, es decir podremos utilizar el punto de valoración más cómodo a la hora de plantear a la equivalencia financiera.

Actividad nº 7:

Resolver las siguientes cuestiones:

a.- ¿Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de 2.450.000 €, si colocado al 6 % anual produjo unos intereses de 1.937.596,8 €?.

b.- ¿A qué tanto se impusieron 685.000 €, si en ocho años se convirtieron en 974.139 €?.

c.- ¿Qué capital colocado al 6 % anual durante doce años produjo 404.878,56 € de interés?.

d.- ¿Qué tiempo ha de pasar para que un capital colocado al 8 % de interés se triplique?.

Solución:

a.- Si aplicamos directamente la fórmula del montante, habrá que calcular éste como la suma del capital inicial más los intereses generados en la operación, por lo que:

Cn = C0 + I = 2.450.000 + 1.937.596,8 = 4.387.596,86 €.

Sustituyendo en la expresión general del montante:

4.387.596,86 = 2.450.000 (1 + 0,06) n

Operando (1+ 0,06) n = 1,79084769

Tomando logaritmos n . log (1 + 0,06) = log 1,79084769

De donde n = 10 años

b.- Aplicando directamente la fórmula del montante: 974.139 = 685.000 (1 + i) 8

Operando 1,42210073 = (1 + i) 8

Tomando raíces, i = 4,5 %

c.- Sabiendo que el capital final, Cn = C0 + I = C0 + 404.878,56 y sustituyendo en la expresión general del montante:

C0 + 404.878,56 = C0 (1 + 0,06) 12

Operando, C0 = 400.000 €

d.- En este caso el montante ha de ser Cn = 3 • C0, por lo que sustituyendo en la expresión del montante

3 C0 = C0 (1 + 0,08) n eliminando C0

3 = (1 + 0,08) n tomando logaritmos

log 3 = n • log 1,08 operando

n = 14,274913 años, es decir

La parte entera son 14 años, con el resto calculamos los meses, de 0,274913 años • 12 meses = 3,288956 la parte entera son meses, y con el nuevo resto calculamos los días, de 0,288956 • 30 = 8,96. Con lo que el tiempo exacto será de 14 años, 3 meses y 9 días.

Actividad nº 8:

Resolver las siguientes cuestiones:

a.- Calcular el valor actual de un capital de 650.000 € si se anticipó 18 meses, valorando la operación a un tanto de descuento del 3,5 % trimestral. Calcular los intereses anticipados.

b.- El descuento de un capital que se anticipó quince meses fue de 12.683,5 €. Calcular la cuantía del capital descontado y su valor actual si la operación se realizó al 8 % anual de descuento.

Solución:

1.- Expresando el tiempo en la misma unidad que el tanto: 18 : 3 = 6 trimestres y planteando la ecuación general del valor actual tendremos:

C0 = 650.000 (1 - 0,035) 6 = 524.901 €

Los intereses serán la diferencia entre el capital final y el inicial:

D = 650.000 - 524.901 = 125.099 €

2.- Si el valor actual es C0 = Cn - D, y sustituimos en la expresión general

Cn - D = Cn (1 - d) n sustituyendo, para un tiempo anual de 15/12 y operando

Cn - 12.683,5 = Cn (1 - 0,08) 15/12 = 128.143 €

Y el valor actual será de:

C0 = Cn - C0 = 128.143 - 12.683,5 = 115.459,5 €

Actividad nº 9:

Calcular los intereses generados por un capital de 1.000.000 € colocado durante cinco años a un tanto de interés del 5 % semestral. Determinar el tanto efectivo anual que permita obtener el mismo resultado en el mismo periodo de tiempo y el tanto anual que permita en el mismo tiempo duplicar los intereses obtenidos.

Solución:

• El montante para, 5 • 2 = 10 semestres, de 1.000.000 € valoradas al 5 % semestral, será:

Cn = 1.000.000 (1 + 0,05) 10 = 1.628.894,62 €.

• Los intereses son: I = Cn - C0 = 1.628.894,62 - 1.000.000 = 628.894,62 €.

• El tanto anual equivalente para obtener el mismo resultado se obtendría:

- O buscando directamente la equivalencia de tantos, en función del semestral del 5 %:

i = (1 + 0,05) 2 - 1 = 0,1025, el 10,25 % anual.

- O buscando la equivalencia con los capitales:

1.628.894,62 = 1.000.000 (1 + i ) 5

Operando, i = 10,25 % anual

• El tipo de interés a aplicar en el mismo periodo y capital, para que obtenga unos intereses dobles sería:

Intereses a obtener: 628.894,62 • 2 = 1.257.789,24 €

El montante final será: 1.000.000 + 1.257.789,24 = 2.257.789,24 €

Por lo tanto el interés equivalente sería el que igualase el capital de 1.000.000 € con el anterior montante:

2.257.789,24 = 1.000.000 (1 + i) 5

Operando, i = 17,6892 % anual

Actividad nº 10:

Calcular el montante de un capital de 350.000 €, si se impuso al 6 % anual en los cinco primeros años, al 7 % en los tres siguientes y al 7,25 % en los dos últimos. ¿Cuál ha sido el tanto medio?

Solución:

• El gráfico de la operación sería:

350.000 Cn

0 6 % 5 7 % 8 7,25 % 10

Estamos de nuevo ante el producto financiero, en este caso de tres leyes por lo que:

Cn = 350.000 (1 + 0,06) 5 (1 + 0,07) 3 (1 + 0,0725) 2 = 659.999 €

• El tanto medio será aquel que aplicado sobre 350.000 € dé en 10 años un total de 659.999 €:

659.999 = 350.000 (1 + i) 10

Operando, i = 6,548545 % anual

 La sustitución de capitales: Actividades resueltas.

Vamos a realizar ejercicios que nos permitan obtener capitales que sean suma de otros dados, o dividir un capital en otros equivalentes, etc. La principal diferencia con las operaciones simples es que las leyes compuestas, cumplen la equivalencia en cualquier punto p.

Actividad nº 11:

Hay que pagar 35.000 € dentro de tres años, pero se acuerda su liquidación mediante dos pagos dentro de dos y de cuatro años. Si la operación se valora al 6 % de interés anual. ¿Cuál es la cuantía de los pagos?

Solución:

Como tendríamos dos incógnitas, procederemos igual que hicimos en las operaciones simples, es decir buscar la solución media, es decir buscamos dos capitales. Por lo tanto un pago será de cuantía C y el otro tendrá una cuantía de (35.000 - C). Como la suma financiera no depende del punto p de valoración, vamos a resolver el problema con distintos punto p de aplicación y comprobar que el resultado no cambia (misma solución unificable).

• Con punto p de aplicación en 0:

C 35.000 35.000 - C

0 2 3 4

35.000 (1 + 0,06) - 3 = C (1 + 0,06) - 2 + (35.000 - C) (1 + 0,06) – 4 operando

C = 16.990,29 € y el otro capital, el resto, 35.000 – 16.990,29 = 18.009,71 €

• Con punto p de aplicación en 4:

C 35.000 35.000 - C

0 2 3 4

35.000 (1 + 0,06) 1 = C (1 + 0,06) 2 + (35.000 - C)

C = 16.990,29 € y el otro capital, el resto, 35.000 – 16.990,29 = 18.009,71 €

• Con punto p de aplicación en 3:

C 35.000 35.000 - C

0 2 3 4

35.000 = C (1 + 0,06) 1 + (35.000 - C) (1 + 0,06) - 1

C = 16.990,29 € y el otro capital, el resto, 35.000 – 16.990,29 = 18.009,71 €

Con lo que comprobamos que la suma financiera de capitales en capitalización compuesta coincide con el capital unificado.

Actividad nº 12:

Se nos había concedido un préstamo de 30.000 € para devolver dentro de cinco años con un interés del 7 % anual. Acordamos con el banco sustituir el pago único por dos iguales y vencimientos dentro de cuatro y siete años, pero valorando la operación al 9 % de interés anual. Se pide calcular la cuantía de los pagos para que no exista lesión de intereses.

Solución:

En este caso la vieja operación valorada al 7 % anual será sustituida por otra pero valorada la 9 % de interés anual. Para que no exista lesión de intereses se ha de mantener la equivalencia financiera de lo que se iba a pagar con lo que se va a pagar ahora en la nueva condición.

• Si valorásemos la operación en el punto p = 4: Calcularemos el importe del capital a entregar para la devolución del préstamo y éste será el importe a sustituir:

30.000 (1 + 0,07) 5 = 42.076,55 €.

C 42.076,55 C

0 4 9 % 5 9 % 7

Valorando en p = 4, al nuevo tipo de interés tendremos:

42.076,55 (1 + 0,09) - 1 = C + C (1 + 0,09) - 3

Operando, C = 21.782,36 €.

• Si valorásemos la operación en el punto p = 0:

Comprobamos en el gráfico que al trasladar el primer capital a (0) se mezclan dos tantos, en el periodo de 4 a 5, para resolver el problema llevaremos el nuevo capital al vencimiento original con el 9 % (5) y desde allí a (0) con el viejo tipo de interés:

7 %

30.000 C C

0 4 9 % 5 9 % 7

30.000 = C (1+ 0,09) 1 (1 + 0,07) - 5 + C (1 + 0,07) - 5 (1 + 0,09) - 2

Operando, C = 21.782,36 €

Actividad nº 13:

Calcular la cuantía a pagar por la devolución en el 7º año, de los siguientes capitales: 3.000 € con vencimiento en el año dos, 4.000 € con vencimiento en tres años y seis meses, 6.000 € con vencimiento en el año diez y 9.000 € a pagar en el año doce, si la operación se valora al 8 % anual.

Solución:

• El esquema de la operación sería:

3000 4000 C ? 6000 9000

0 2 3,5 7 10 12

• La ecuación de equivalencia con p = 7, será:

C = 3.000 (1 + 0,08) 5 + 4.000 (1 + 0,08) 3 (1+ 0,08) 6/12 + 6.000 (1 + 0,08) - 3

+ 9.000 (1 + 0,08) - 5

Operando, C = 20.532,75 €

Actividad nº 14:

Se quieren liquidar las siguientes deudas, mediante un único pago dentro de cuatro años valorando la operación al 7 % de interés anual: 1.300 € a pagar en el año dos, 4.500 € a pagar en el año cinco y 3.000 € a pagar en el año seis. Calcular la cuantía del único pago a efectuar.

Solución:

• El esquema de la operación será con p = 4:

1.300 C ? 4.500 3.000

0 2 4 5 6

C = 1.300 (1 + 0,07) 2 + 4.500 (1 + 0,07)- 1 + 3.000 (1 + 0,07) – 2 = 8.314,29 €

• Si valorásemos en p = 0, tendríamos:

1.300 C ? 4.500 3.000

0 2 4 5 6

C (1 + 0,07) - 4 = 1.300 (1 + 0,07) - 2 + 4.500 (1 + 0,07) - 5 + 3.000 (1+ 0,07) - 6

Operando, C = 8.314,29 €

Actividad nº 15:

Compramos una máquina cuyo coste al contado es de 5.000.000 €, entregando al contado 2.000.000 € y el resto mediante tres pagos, el primero y el segundo de 1.000.000 € con vencimientos dentro de uno y dos años. Si el vencimiento del tercer pago es dentro de tres años ¿Cuál es su cuantía, si se valora la operación al 6,5 % anual?

Solución:

• La cuantía del tercer pago será aquella que mantenga la equivalencia financiera entre la prestación (el valor de la máquina), y las contraprestaciones, (los pagos). Por lo tanto valorando en 0:

5.000,

2.000, 1.000, 1.000, C ?

0 1 2 3

5.000.000 = 2.000.000 + 1.000.000 (1 + 0,065)- 1 + 1.000.000 (1 + 0,065)- 2 +

C (1 + 0,065)- 3

Operando, C = 1.424.624 €

Actividad nº 16:

Por la devolución de un préstamo, concedido al 3 % de interés, hemos de entregar dentro de tres años 1.500.000 €. Se acuerda con el prestamista devolverlo en dos pagos iguales con vencimientos dentro de cuatro y cinco años, pero subiendo el interés un punto. ¿Cuál será la cuantía de los pagos?

Solución:

• La representación gráfica sería:

4 %

1.500.000 C ? C ?

0 3 4 5

• Valorando la operación en p = 3:

1.500.000 = C (1 + 0,04) - 1 + C (1 + 0,04) - 2

Operando, C = 795.294 €

• Si hubiésemos valorado en p = 0: Habrá que llevar la deuda original a 0, con su tanto y los nuevos pagos los llevaremos al vencimiento original (p = 3) con el nuevo interés y desde allí a 0 con el viejo tipo de interés, como ya hicimos en el problema nº 2:

1.500.000 C ? 4 % C ?

0 3 4 5

3 %

1.500.000 (1 + 0,03) - 3 = C (1 + 0,04) - 1 (1 + 0,03) - 3 + C (1 + 0,04) - 2 (1 + 0,03) - 3

Operando, C = 795.294 €

Actividad nº 17:

Un préstamo de 4.000.000 € ha de ser devuelto en tres pagos , el primero por un importe de 1.000.000 € a pagar dentro de tres años , el segundo de 2.000.000 € a pagar dentro de siete años y el tercero a pagar dentro de diez años, si los tipos de interés acordados son del 5 % en los tres primeros años, del 6 % en los cuatro siguientes y del 7 % en los tres últimos ¿ Cuál será la cuantía del tercer pago ?

Solución:

• El esquema de la operación es:

4.000.000 1.000, 2.000, C ?

0 5 % 3 6 % 7 7 % 10

• La ecuación financiera será la que iguale la prestación de cuatro millones con las contraprestaciones:

4.000.000 = 1.000.000 (1 +0,05) - 3 + 2.000.000 (1 + 0,05) - 3 (1+ 0,06)- 4 +

C (1 + 0,05) - 3 (1 + 0,06) - 4 (1 + 0,07) - 3

Operando, C = 3.164.804 €

 Capitalización compuesta: Actividades propuestas.

1.- Se desea conocer cuál es el tanto efectivo anual i equivalente:

a.- Del 6 % nominal anual pagadero mensualmente.

b.- Del 8 % efectivo anual.

c.- Del 4 % efectivo semestral.

d.- Del 10 % bienal pagadero semestralmente.

e.- Del 6 % anual pagadero semestralmente.

2.- Se desea conocer el tanto efectivo i equivalente:

a.- Del 2 % trimestral.

b.- Del 8 % efectivo anual pagadero semestralmente.

c.- Del 1,5 % de descuento trimestral.

d.- Del 4 % semestral..

e.- Del 8 % anual pagadero semestralmente.

3.- Se desea conocer cuál es el tanto efectivo anual i equivalente:

 Del 2 % bimestral capitalizable mensualmente.

 Del 6 % semestral capitalizable trimestralmente.

 Del 3 % trimestral capitalizable mensualmente.

 Del 4 % bienal capitalizable semestralmente

 Del 2 % mensual.

4.- Compramos una máquina cuyo coste al contado es de 900.000 €, entregando al contado 200.000 € y el resto mediante cuatro pagos, el primero de 200.000 €, con vencimiento dentro de 3 meses, el segundo de 100.000 € con vencimiento dentro de 7 meses, el tercero de 100.000 € y vencimiento dentro de 12 meses, y el último con vencimiento a los 18 meses. ¿Cuál es la cuantía del último pago, si se valora la operación al 4 % anual? ¿Cuál es la cuantía de la deuda pendiente en el octavo mes?

5.- Se ha realizado una inversión de 45.000 €, a 14 meses, concertando con la entidad financiera los siguientes intereses: Del 3 % semestral en los cinco primeros meses, del 1 % mensual en los siete siguientes y del 5 % anual en los restantes. Se pide calcular el montante que recibirá al final de la inversión.

6.- Se ha obtenido un préstamo de 30.000 €, a devolver mediante un pago único dentro de 18 meses, valorado a un interés del 6 % nominal pagadero mensualmente. Pero se acuerda con el prestamista devolverlo en dos pagos uno de 1.500.000 € con vencimiento dentro de 20 meses y otro con vencimiento a los 24 meses, pero subiendo el interés al 7 % efectivo anual ¿Cuál será la cuantía del segundo pago?

7.- Una entidad dispone de un efectivo de 8.000.000 € y con él quiere realizar una inversión a dos años. Las opciones que tiene son las siguientes: Comprar 10 Pagarés de 1.000.000 € al descuento compuesto o prestarlos para ser devueltos en el plazo de dos años, a un interés nominal del 10,5 % capitalizable por semestres. ¿Cuál de las alternativas es mejor?

8.- Una entidad dispone de un efectivo de 3.000.000 € y su asesor le ofrece: Invertirlo en una cuenta de ahorro a un interés del 3 % trimestral. Adquirir una Letra al 8 % anual de descuento o depositarlo en una cuenta al 7,75 % anual con pago trimestral de intereses.

¿ Cuál es la opción que ha de escoger ?

9.- Calcular el montante de un capital de 150.000 €, si se valora al 6 % anual en los cinco primeros años y al 4 % semestral en los dos siguientes