MANUAL PR?CTICO DE OPERACIONES FINANCIERAS

3.- ESTUDIO PARTICULAR DE CADA MÉTODO DE AMORTIZACIÓN

a.- Amortización mediante contraprestación única y rédito constante.

Supone la existencia de una sola prestación y una sola contraprestación por un importe del nominal más los intereses acumulados hasta el momento de la devolución, por lo que la cuantía a devolver será: Cn = C0 • (1 + i) n

El cuadro de pagos para rédito constante sería:

b.- Amortización mediante contraprestación múltiple y rédito constante.

 El préstamo de tipo americano.

Como ya hemos adelantando antes consiste en el pago sólo de los intereses en cada uno de los periodos y el abono al final de la operación del principal de la deuda. Por lo tanto el término amortizativo es la cuantía de los intereses excepto en el último periodo que hay que sumar a los intereses el nominal del préstamo. Por lo tanto podemos afirmar que es un préstamo con carencia de principal en (n-1) periodos. Su cuadro de pagos sería para rédito constante:

 El préstamo de pagos constantes. El progresivo o francés.

 Caso general: Es el caso en el que los términos y réditos son constantes.

a = As + Is

Si sabemos que en cada periodo vamos a devolver una parte de principal, supondrá que el capital vivo disminuya con cada pago, por lo tanto la cuota de interés, Is , será decreciente con el tiempo. Si esta cuota es decreciente y el pago periódico es constante, forzará para mantener la igualdad anterior, que las cuotas de amortización As sean crecientes con el tiempo, de ahí el nombre de progresivo. La ecuación de equivalencia que permite el cálculo del término es el valor actual de una renta constante (suma financiera de los términos).

C0 = a • a n i

El capital vivo: Es el valor del capital o principal aún no devuelto, al ser el valor de la reserva matemática podrá calcularse de varias maneras pero utilizaremos el denominado método prospectivo (el capital vivo es la suma financiera de los pagos pendientes) por ser el más sencillo:

Cs = a • a n-s i

La cuota de interés: Es la cantidad pagada en cada periodo por este concepto, será por lo tanto la deuda del periodo anterior multiplicada por el rédito, o la diferencia entre el término y la cuota de capital:

C s-1 Is

s-1 s

Is = Cs-1 • i Is = a - As

Las cuotas de amortización: Es el valor del capital o principal devuelto en cada periodo, como ya se ha explicado, éstas son crecientes en el tiempo, lo que vamos a demostrar es si este crecimiento sigue alguna ley. Si tomamos dos términos consecutivos:

a = As + Is

a = As+1 + Is+1

Restando ambos términos:

0 = As + Is - As+1 - Is+1

0 = (As - As+1) + ( Is - Is+1 )

Sabiendo que el interés es el capital anterior por el rédito, sustituimos:

0 = (As - As+1) + (Cs-1 • i - Cs • i ) sacando factor común a i

0 = (As - As+1) + (Cs-1 - Cs ) • i

Como la diferencia entre dos capitales vivos consecutivos es el capital devuelto en el último periodo:

0 = (As - As+1) + As • i operando y sacando factor común a As

0 = As (1 + i) - As+1 despejando quedará

As+1 = As (1 + i )

Como podemos comprobar la cuota de capital de un periodo se obtiene multiplicando la anterior por (1 + i), por lo tanto deducimos que la cuantía del capital amortizado en cada periodo varía en progresión geométrica creciente de razón (1+i), si ponemos la expresión anterior en función de la primera cuota de capital:

As+1 = A1 ( 1 + i )s

Al realizar el cuadro de amortización como todos los elementos pueden girar alrededor de las cuotas de amortización, las calcularemos en primer lugar con lo que conocemos el capital vivo y en consecuencia la cuota de interés y el capital amortizado.

 Con carencia total: Cuando no se paga cantidad alguna durante los s periodos en que ésta existe, por lo tanto afecta a la operación incrementando el valor del capital vivo hasta que ésta termine, donde la deuda será: Cs = C0 (1 + i) s

En este caso la ecuación de equivalencia, sería:

C0 (1 + i) s = a • a n-s i

El resto de los elementos se calcularía igual en el caso general, sólo que se trabaja con Cs y no con C0.

 Con carencia de principal: Cuando sólo se pagan los intereses durante los s periodos en que ésta existe, por lo tanto no afecta a la operación ya que el capital vivo no se ve incrementado. Como sabemos que en el momento de iniciar los pagos el capital vivo sigue siendo C0 la ecuación de equivalencia sería:

C0 = a • a n-s i

El resto de los elementos se calcularía del mismo modo que en el caso general, sólo con la particularidad de que el capital con el que hay que trabajar es C0.

 El préstamo de cuotas de capital constantes. Método italiano.

Es otro caso particular en el que los términos amortizativos son variables al permanecer constante la devolución de capital en cada periodo.

as = A + Is

Si sabemos que en cada periodo vamos a devolver la misma parte de principal, supondrá que el capital vivo disminuya proporcionalmente con cada pago, por lo tanto la cuota de interés, Is será decreciente con el tiempo y de forma proporcional. Si esta cuota es decreciente y la devolución de capital constante, forzará, para mantener la igualdad anterior, a que los términos amortizativos sean también decrecientes y de forma proporcional con el tiempo. El cálculo de las cuotas de capital se obtendrá divdiendo el capital en n partes iguales.

C0 = n • A

El capital vivo: Es el valor actual de los pagos pendientes, Cs = (n-s) • A

Las cuotas de interés: Es el interés pagado en cada periodo, es la deuda del periodo anterior multiplicada por el rédito:

Is = Cs-1 • i

Los términos amortizativos: Como ya hemos indicado éstos son variables y decrecientes de forma proporcional, lo que vamos a demostrar es la razón de variación de los términos. Si tomamos dos términos consecutivos:

as = A + Is

as+1 = A + Is+1

Restando ambos términos: as - as+1 = 0 + Is - Is+1

Poniendo el interés en función del capital vivo:

as - as+1 = ( Cs-1 • i - Cs • i ) sacando factor común a i

as - as+1 = ( Cs-1 - Cs ) • i

Como la diferencia entre dos capitales vivos consecutivos es el capital devuelto en el último periodo y éste siempre es el mismo

as - as+1 = A • i

as+1 = as - A • i

Con lo que comprobamos que un término se obtiene del anterior restando una cantidad fija que es A•i, por lo tanto los términos amortizativos varían en progresión aritmética

 Con carencia total: Como en la carencia total la deuda se incrementa antes de iniciar el proceso de amortización, el valor de cada cuota se obtendrá dividiendo en partes iguales el capital adeudado en s: Cs = C0 (1 + i) s

C0 (1 + i) s = (n-s) • A

 Con carencia de principal: Como el capital adeudado no se modifica en los s periodos al estar pagando los intereses, el importe a amortizar se reparte en un número de cuotas menor

C0 = (n-s) • A

 El préstamo variable en progresión.

Es otro caso particular en el que los términos amortizativos son variables ya sea en progresión aritmética o en progresión geométrica y a rédito constante.

as = As + Is

En estos casos el término no es variable porque otro de los elementos de la ecuación anterior le fuerce sino porque así se impone como condición de amortización.

 Que los términos varíen en progresión geométrica:

 Ecuación de equivalencia para el cálculo del término se corresponderá con el valor actual de una renta variable en progresión geométrica de razón q:

C0 = a1 •

 Capital vivo: Es el valor del principal aún no devuelto y calculada por el método prospectivo, sería el valor actual de los pagos pendientes:

Cs = as+1 •

 Cuotas de interés: Es el interés pagado en cada periodo:

Is = Cs-1 • i

 Cuotas de amortización: Las cuotas serán crecientes con el tiempo y pueden obtenerse por diferencia entre el valor del pago y la correspondiente cuota de interés.

 Que los términos varíen en progresión aritmética:

 Ecuación de equivalencia para el cálculo del término se corresponderá con el valor actual de una renta variable en progresión aritmética de razón d:

C0 =  a1 + + d . n  • a n i -

 Reserva matemática o capital vivo: Calculada por el método prospectivo sería:

Cs =  as+1 + + d . (n-s)  • a n-s i -

 Cuotas de interés: Es el interés pagado en cada periodo:

Is = Cs-1 • i

 Cuotas de amortización: Las cuotas serán crecientes con el tiempo y pueden obtenerse por diferencia entre el valor del pago y la correspondiente cuota de interés.