MANUAL PR?CTICO DE OPERACIONES FINANCIERAS

11.- Aplicaciones prácticas de las propiedades de las rentas

Las propiedades asociativa y disociativa de las rentas, son muy útiles para la resolución de problemas en los que no se cumple la homogeneidad de los elementos que integran la operación, como puede ser el vencimiento irregular de los capitales, periodos de tiempo en que no existen vencimientos de capital, etc. vamos a estudiar a través de ejemplos la aplicación de estas propiedades en la resolución de problemas.

Calcular el valor actual de una renta de 50.000 €. semestrales, de 5 años de duración y valorada a un tanto efectivo anual del 6,09 %.

• La solución lógica. Como la unidad de vencimiento del capital y la del tanto no son iguales, pasaremos todos los elementos a la unidad semestral, que es la del vencimiento de los capitales.

 El número de capitales a sumar: 2 • 5 = 10 capitales semestrales.

 Y el interés semestral: i2 = (1 + 0,0609)1/2 - 1 = 0,03, es decir el 3 % semestral

Por lo tanto el valor actual sería: Va = 50.000 • = 426.510,14 €.

• Aplicando la solución asociativa: Consistirá en asociar capitales, es decir, sumar dos capitales semestrales y obtener su equivalente anual, para que de este modo hacerlo coincidir con el periodo de capitalización anual.

Vamos a obtener la suma anual de dos capitales de 50.000 € semestrales, por lo tanto:

C´ = 50.000 + 50.000 (1 + 0,0609) ½ = 50.000 + 51.500 = 101.500 €. anuales.

De este modo tenemos capitales anuales, vencimientos anuales y tanto anual, así:

Va = 101.500 • = 426.510,14 €.

• Aplicando la solución disociativa: Ahora vamos a dividir la renta original en dos partes, de forma que obtendremos que los vencimientos de los capitales serán anuales como podemos comprobar en el gráfico de la operación resultante:

La primera renta es una renta anual de cuantía 50.000 €, que se inicia en ½ , para que así de vencimiento a vencimiento trascurra un año completo, con cinco años de duración y vencimiento en cada ½ , como hacemos que el inicio de la operación coincida con el primer vencimiento de capital la renta resultante será anticipada y diferida medio año, al tener que valorarla en 0 e iniciarse en ½. La segunda renta es una renta anual de 50.000 €. de cinco años de duración y vencida, al vencer el capital al final del año. Por lo tanto el valor actual de la operación será la suma del valor actual de las dos rentas:

Va = 50.000 • • (1 + 0,0609) • (1 + 0,0609)- ½ + 50.000 •

Va = 216.406,62 + 210.103,52 = 426.510,14 €.

Con lo que comprobamos la equivalencia entre todas las propuestas de solución realizadas, aunque podemos comprobar fácilmente que la propuesta b es la más sencilla de aplicar.

Calcular el valor actual de los pagos a efectuar a un proveedor con el que se ha firmado un contrato de suministro de productos por diez años, acordando el abono de éstos mediante tres pagos los días 1 de marzo, 1 de julio y 1 de octubre por sendos importes de 3.500 €., 5.000 €. y 6.000 €. financiando la operación a un interés del 10 % anual.

• Aplicando la solución asociativa: En este caso comprobamos que los capitales que se devengan cada año, ni son iguales ni vencen de forma periódica, por lo tanto no podemos aplicar la expresión matemática de la renta constante. La solución al problema consistirá el obtener el capital anual equivalente a los tres pagos que se efectúan cada año (solución asociativa).

C´ = 6.000 (1 + 0,10) 3/12 + 5.000 (1 + 0,10) 6/12 + 3.500 (1 + 0,10) 10/12 = 15.178,05 €.

Ahora tenemos capitales anuales de 15.178,05 €, con lo que hemos obtenido una renta constante y anual, cuyo valor actual será:

Va = 15.178,05 • = 93.262,56 €.

• Aplicando la solución disociativa: Tendríamos tres rentas, con inicios diferentes (1 de marzo, 1 de julio y 1 de octubre) y además ninguno de ellos está en el inicio de la operación que es el 1 de enero, por lo tanto diferidas dos meses en el primer caso (enero y febrero), seis meses en el segundo (enero al 1 de julio) y nueve meses en el tercero (enero al 1 de octubre), como podemos comprobar en el gráfico. Además como el inicio de cada renta se hace con el devengo del capital, la renta será anticipada.

El valor actual de la operación será la suma de las tres rentas disociadas.

Va = 3.5.000 • a 10 0,10 • (1 + 0,10) • (1 + 0,10) - 2/12 + 5.000.000 • a 10 0,10 • (1 + 0,10) •

(1 + 0,10) - 6/12 + 6.000.000 • a 10 0,10 • (1 + 0,10) • (1 + 0,10) - 9/12

Va = 23.283,76 + 32.222,38 + 37.756,42 = 93.262,56 €.