APLICACIONES DEL C?LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN LA ECONOM?A

3-UTILIDAD

Función de Utilidad: representa el grado de provecho o satisfacción que reporta a un consumidor una mercancía.

Utilidad marginal: representa la satisfacción adicional obtenida por el consumo de una unidad adicional del bien.

La relación entre la utilidad y la utilidad marginal para un bien estudiado se comporta según se muestra a continuación:

Cantidad consumida de un bien Utilidad total Utilidad marginal

0 0

1 4 4

2 7 3

3 9 2

4 10 1

5 10 0

6 9 -1

Si se tiene la función de utilidad, la utilidad marginal se calcula como la derivada ordinaria de esta función. UM= U’

Si la UM=0 el consumidor obtiene con esa cantidad consumida toda la satisfacción que espera obtener del bien.

Si la UM<0 el bien no satisface todas las necesidades del bien.

Ley de la utilidad marginal decreciente: establece que a medida que aumenta la cantidad consumida de un bien tiende a disminuir su utilidad marginal, y con ella la satisfacción que obtiene del mismo.

Ejemplo 6 (Aplicación de la derivada de funciones de una variable)

Una asociación de consumidores de Roma ha realizado una medición para valorar el nivel de satisfacción por el servicio de restaurantes de comida italiana en la ciudad en un período determinado, lo que arrojó la siguiente función de utilidad:

U = 200x-2x²+150.

a-) Calcule la expresión de la utilidad marginal para la comida italiana.

b-) Si el consumo de dicho servicio aumenta de 25 unidades a 100 unidades en el período analizado, ¿cómo se comportará la satisfacción obtenida de él por parte de los consumidores?

Solución:

a-) UM = U’= (200x-2x²+150)’=200-4x

Rta: La utilidad marginal del servicio restaurantes de comida italiana se comporta según la expresión UM = 200-4x.

b-) Para x =25 Para x =100

UM = 200-4*25 UM = 200-4*100

UM = 100 UM = -200

Rta: La satisfacción que reportan en el período para los consumidores los restaurantes de comida italiana va disminuyendo, incluso cuando el consumo es de 100 ya este bien no reporta todo lo que esperan de él los consumidores.

Función de utilidad de varias variables: Teniendo en cuenta que los consumidores obtienen satisfacción o utilidad de los distintos bienes y servicios que consumen durante un período determinado, puede redefinirse la función de utilidad como:

U = f(x1, x2, …, xn), siendo (x1, x2, …, xn) los bienes y servicios consumidos.

Utilidad marginal: La utilidad marginal del bien X1 se obtiene a través de la derivada parcial UMx1 = δ U/ δ x1 que estima el incremento en la utilidad total por una unidad adicional del bien 1. Y así para cada una de las variables.

Condición de equilibrio en la elección del consumidor: Un consumidor que tenga una renta fija y que se enfrente a unos precios de mercado de los distintos bienes que estén dados logrará la máxima satisfacción o utilidad cuando la utilidad marginal del último peso gastado en cada bien sea exactamente igual que la utilidad marginal del último peso gastado en cualquier otro.

Ejemplo 7 (Aplicación de la derivada de funciones de varias variables)

Estudios realizados por una asociación de consumidores en Roma han permitido conformar una función de utilidad con respecto al consumo de servicios de restaurante, influida por las siguientes variables:

x- valoración sobre restaurantes de comida italiana

y- valoración sobre restaurantes de comida internacional

U(x,y) = x³y4- 2x²y³

a-) Calcular las utilidades marginales respecto a cada uno de los dos bienes para

(X0,Y0) = (2,1).

b-) Interprete los resultados.

Solución

a-) U(x,y) = x³y4- 2x²y³

UMx = δ U/ δ x UMy = δ U/ δ y

= 3x²y4 – 4x y³ = 4 x³y³-6x²y²

Evaluar en el punto (2,1):

UMx = 3x²y4 - 4x y³ Umy = 4 x³y³ - 6x²y²

= 3*2²*14 – 4*2*1³ = 4*2³*1³-2²*1²

= 4 = 8

b-) Un incremento del consumo del servicio de restaurantes de comida internacional produce el doble de aumento del nivel de satisfacción de los consumidores con respecto al incremento del servicio de comida italiana.

Ejemplo 8 (Aplicación de la derivada de funciones de varias variables)

Dada la siguiente función de utilidad para dos bienes industriales x e y:

U(x,y) = x1/2 y1/3

Se conoce que las empresas están consumiendo 16 y 27 unidades de cada bien respectivamente.

a-) Hallar la utilidad marginal para ambos bienes. Interprete los resultados.

b-) Si el mercado tiende a consumir la misma cantidad del bien x y a triplicar la cantidad consumida del otro. ¿Qué explicación podría dar?

Solución

a-) UMx = δ U/ δ x -Evaluar en (16,27)

= √³Y/2 √x

= √³27/2* √16 = 0.375

Umy = δ U/ δ y

= √x/3 √³Y2

= √16/3* √³27 = 0.148

Rta: El consumo de una unidad adicional del bien X produce una satisfacción mayor que en el caso del bien Y.

b-) UMx(16,81) = √³81/2* √16 = 0.541

UM y(16,81) = √16/3* √³812 = 0.071

UMx(16,81) > UMx(16,27)

UMy(16,81) < UMy(16,27)

Rta: Como resultado de la ley de utilidades marginales decrecientes al aumentar el consumo del bien Y disminuye la satisfacción por él obtenida. Mientras, el bien X se convierte en un bien escaso cuya utilidad marginal aumenta.

Ejemplo 9 (Aplicación de la derivada de funciones compuestas)

La función de utilidad para dos productos complementarios a y b es U = a3 b+ 2ab. Además existe una función que relaciona a ambos bienes de la siguiente forma: b = a/2.

a-) Hallar la función de utilidad marginal para el bien principal.

b-) Calcular su valor cuando se consumen 4 unidades de este bien.

Solución

Arbol de dependencia funcional:

U a

b a

dU/da = δU/δa + (δU/δb * db/da) δU/δa = 3a2b+2b

= 3a2b+2b + (a3+2a)*1/2 δU/δb = a3+2a

= 3a2b+2b + a3/2+a db/da = 1/2

Rta: La Utilidad marginal para el bien a está dada por la expresión

dU/da = 3a2b+2b + a3/2+a.

b-) Si a= 4 b= 4/2=2

Evaluar en dU/da:

dU/da = 3*42*2+2*2+43/2+4 = 136

Rta: Si las unidades consumidas del bien a son 4, la utilidad marginal que se obtiene es 136.

Ejemplo 10 (Aplicación de la derivada de funciones de varias variables)

La función de utilidad de un consumidor en estudio está dada por la expresión U = x2y2.

Si se conoce además que el precio de los bienes es 2 y 3 respectivamente y que se consumen 6 unidades del bien x.

a-) ¿Qué cantidad debe consumirse del bien y para que el consumidor se encuentre en equilibrio?

b-) Si el precio de y aumenta a 4. ¿Qué variación se producirá en la cantidad consumida de ese bien? Explique.

Solución

a-) Condición de equilibrio del consumidor:

Umx/Px = Umy/Py Umx = 2xy2

2xy2/2 = 2x2y/3 Umy = 2x2y

y/2 = x/3

y = 2x/3 Sustituir x=6

y = 2*6/3

y = 4

Rta: El consumidor debe consumir 4 unidades del bien y para encontrarse en equilibrio.

b-) y/2 = x/4

y = 2x/4

y = 2*6/4

y = 3

Rta: Al aumentar el precio del bien y su utilidad marginal por peso gastado disminuye, por lo que el consumidor tiene que consumir menos de ese bien hasta que se iguale a la utilidad marginal por peso gastado del otro bien.