APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN LA ECONOMÍA

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Angie Fernández Lorenzo

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8- PRODUCCIÓN

Función de producción: Es la relación entre la cantidad máxima de producción que puede obtenerse y los factores necesarios para obtenerla.

Producto marginal de un factor: Es el producto adicional que se obtiene mediante una unidad adicional de ese factor, manteniéndose constantes los demás.

PMaL = δq/δl PMaK = δq/δk

Ley de los rendimientos decrecientes: El producto marginal de cada unidad del factor disminuye a medida que aumenta la cantidad de ese factor, manteniéndose todo lo demás constante.

Regla del costo mínimo: Para obtener un nivel dado de producción con el menor costo posible, una empresa debe comprar factores hasta que iguale el producto marginal por peso gastado en cada factor de producción. Eso implica que:

Pma l / Precio de l = Pma k/ Precio de k

Ejemplo 19 (Aplicación de la derivada de funciones de varias variables)

Considerando que en la elaboración de derivados de la harina intervienen los siguientes factores de producción:

l- mano de obra

m- materias primas

k- otros medios

La función de producción está dada por la expresión: Q(l,m,k) = 10k√lm +2k/m +50

a-) Calcular las productividades marginales respecto de cada uno de los factores de producción para el valor (4,4,1). Interpretar los resultados.

b-) Si la cantidad de factor m empleado aumenta en 5 unidades y las cantidades de los otros factores se mantienen. ¿Qué sucederá?

Solución

a-) δq/δl = 10k√m/2√l - Evaluar en (4,4,1)

= 10*1*√4/2*√4 = 5

δq/δk = 10√lm +2/m

= 10*√4*4 + 2/4 = 40.5

δq/δm = 10k√l /2√m – 2l/m2

= 10*1*√4/2*√4 –2*4/42 = 4.5

Rta: La producción aumenta ante el incremento en el consumo de los tres factores de producción.

b-) Evaluar en (4,9,1)

δq/δl = 10*1*√9/2*√4 = 7.5

δq/δk = 10*√(4*9) +2/9 = 60.22

δq/δm = 10*1*√4/2*√9 – 2*4/92 = 3.232

Rta: Al incrementarse la cantidad consumida de m, disminuye el producto marginal de ese factor, mientras que el del resto de los factores aumenta.

Ejemplo 20 (Aplicación de la derivada de funciones de varias variables)

La función de producción de una empresa es Q(l,k) = k2l3. Se conoce además que el precio de los factores es 6 y 8 respectivamente y que la cantidad consumida del factor trabajo es 10.

a-) ¿Qué cantidad de factor capital debe comprar la empresa si decide hallar el equilibrio?

b-) Si la empresa decide contratar el doble de las unidades del factor l. ¿qué sucederá con el factor K?

Solución

a-) Regla del costo mínimo:

Pmal / Pl = Pmak/ Pk Pmal = 3l2k2

3l2k2/6 = 2kl3/8 Pmak = 2kl3

k/2 = l/4

k = 2l/4 Sustituir l = 10

K = 5

Rta: Para encontrarse en el estado deseado la empresa debe comprar 5 unidades del factor capital.

b-) k/2 = l/4

k = 2l/4 Sustituir l = 20

k = 10

Rta: Si la empresa decide contratar el doble de las unidades del factor trabajo, debe comprar también el doble del factor capital, para poder mantener el equilibrio.