APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN LA ECONOMÍA

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN LA ECONOMÍA

Angie Fernández Lorenzo

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2- OFERTA Y DEMANDA

Curva de oferta: es la relación entre el precio de un bien en el mercado y la cantidad que los productores están dispuestos a producir y vender, manteniéndose todo lo demás constante (tecnología, precios de las materias primas e insumos, impuestos y subsidios, etc).

Curva de demanda: es la relación entre el precio y la cantidad comprada de un bien, cuando todo lo demás se mantiene constante (gustos y preferencias, precios de bienes sustitutivos, renta, etc)

Equilibrio de la oferta y la demanda: el mercado se encuentra en equilibrio cuando el precio y la cantidad equilibran las fuerzas de la oferta y la demanda. Este precio y esta cantidad de equilibrio se encuentran en el nivel en que la cantidad ofrecida voluntariamente es igual a la demandada voluntariamente. Este equilibrio se halla gráficamente en la intersección de las curvas de oferta y demanda. Al precio de equilibrio no hay escasez ni excedente.

Valores marginales de la demanda: dada la curva de demanda de un bien X1, considerando que los determinantes de la demanda (precios de bienes relacionados, rentas, entre otros) son constantes:

X1= d (P1)

El valor marginal expresa la variación de la demanda de un determinado bien con respecto a un incremento en una unidad de su precio, lo que se calcula como la derivada ordinaria de la función. Al ser la función de demanda una curva de pendiente negativa, el valor marginal de la demanda siempre será negativo y expresa en cuánto disminuye la demanda por cada incremento de una unidad de los precios.

Elasticidad-precio de la demanda: es la sensibilidad de la cantidad demandada de un bien a las variaciones de su precio, manteniéndose todo lo demás constante. Su definición exacta es la variación porcentual de la cantidad demandada dividida por la variación porcentual del precio.

Cuando Ed > 1 Demanda elástica

Ed = 1 Demanda unitaria

Ed < 1 Demanda inelástica

La elasticidad de la demanda respecto al precio se define como:

E(d,p) = - p/d * d’(p)

Ejemplo 1 (Aplicación de la derivada de funciones de una variable)

El comportamiento de la demanda y oferta del trigo en un mercado local en un año X está dado por la función de demanda Qd = 60-1/2P y por la función de oferta

Qo =40+2P, donde el precio se expresa en $ por quintal y la cantidad en millones de quintales al año.

a-) Represente la curva de demanda.

b-) Represente la curva de oferta.

c-) Obtenga el punto de equilibrio de mercado analítica y gráficamente. ¿Qué representa?

d-) Halle el valor marginal para la función de demanda considerando que esta depende únicamente del precio del trigo. Interprete los resultados.

Solución gráfica:

Solución analítica:

I- El punto de equilibrio se obtiene donde: II- Sustituir P = 8 en Qd:

Qd = Qo Qd = 60-1/2P

60-1/2P =40+2P Qd = 60-1/2*8

60-40 =2P+1/2P Qd = 56u

20 =2.5P

P= $8.00

III- Punto de equilibrio P(56;8)

Rta: A un precio de $8.00 por quintal encuentra el mercado de trigo local su equilibrio con una cantidad ofertada y demandada de 56 millones de quintales.

d-) (Qd)’= (60-1/2P)’=-1/2

Rta: Este valor indica que a medida que aumenta el precio en una unidad las cantidades demandadas disminuyen en ese valor.

Ejemplo 2 (Aplicación de la derivada de funciones de una variable)

La oferta de un producto en el mercado local está dada por la recta x-2y-14= 0, mientras que la demanda del mismo se representa por la parábola 2y2-4x-8= 0.

A-) Obtenga el punto de equilibrio de mercado analítica y gráficamente.

Solución:

I- El punto de equilibrio se obtiene donde:

Qd =Qo Despejar x en Qo:

x-2y-14 = 0

x = 2y+14

Sustituir x = 2y-14 en 2y2-5x-2y-22:

0 = 2y2-5(2y+14)-2y-22

0 = y2-4y+32

0 = (y-8) (y+4)

y = $8.00 y = -4 Se deshecha esta solución, pues no tiene sentido

económico.

II- Sustituir Y=8 en Qd:

x-2y-14 = 0

x = 14+2*8

x = 30 u

Rta: El punto de equilibrio del producto en el mercado se obtiene a un precio de $8.00 con una cantidad de 30 unidades.

Solución gráfica:

Ejemplo 3 (Aplicación de la derivada de funciones de una variable)

Determine la elasticidad-precio de la demanda de trigo para el año siguiente al del ejemplo anterior si la demanda se comportó según la función d(P)= 9/P².

a-) Clasifique la demanda del trigo.

Solución:

E(d;p)= -P/d*d’(P) d’(P)= (9/P²)’=-18/P³

= -P/(9/P²)*(-18/P³)

= 2

Rta: Si el precio del trigo aumenta en un 1%, la cantidad demandada disminuye en un 2 %. Por lo que la demanda del trigo es elástica.

Función de demanda de varias variables: Al añadir a la función de demanda algunas de otras variables de las cuales también depende (además del precio del bien en cuestión), tales como precio de otros bienes relacionados y la renta del consumidor, se obtiene la siguiente expresión:

X1 = d ( P1 , P2 , ... , Pn , Y )

Valores marginales de la demanda: Expresan la variación en esta en relación con cada una de las variables anteriores, y son:

δX1 / δ P1 ¸ δ X1 / δ P2 , ... , δ X1 / δ Pn , δ X1 / δ Y

Elasticidad cruzada de la demanda: Mide la sensibilidad de un bien X con respecto a la variación de un bien Y.

E (d, Py ) = Py /d * δ P / δ Py , ∀ y ≠ x

Clasificación de los bienes atendiendo a la elasticidad cruzada de la demanda:

1- Bienes sustitutivos: si una reducción del precio de un bien causa una disminución de la cantidad demandada del otro. La elasticidad cruzada de la demanda es positiva.

2- Bienes complementarios: si una reducción del precio de un bien causa un aumento de la cantidad demandada del otro. La elasticidad cruzada de la demanda es negativa.

3- Bienes no relacionados: una variación del precio de un bien no modifica la cantidad demandada del otro. La elasticidad cruzada de la demanda es nula.

Elasticidad renta de la demanda: Se utiliza para conocer la sensibilidad de la cantidad demandada a variaciones porcentuales en la renta.

E (d,Y) = Y/d * δ d / δ Y

Clasificación de los bienes de acuerdo a la elasticidad renta de la demanda:

1- Bien normal: aquel que el consumidor compra en mayores cantidades cuando su nivel de ingreso se incrementa. La elasticidad renta de la demanda es positiva.

1.1 Bien de lujo: la elasticidad renta es mayor que la unidad.

1.2 Bien necesario: la elasticidad renta es menor que la unidad

2- Bien inferior: aquel que el consumidor decide comprar en menores cantidades cuando su nivel de ingresos se incrementa. La elasticidad renta de la demanda es negativa.

Ejemplo 4 (Aplicación de la derivada de funciones de varias variables)

Una Cooperativa de Ahorro y Crédito ha estimado la función de demanda de su servicio como: D = 25 M –1/2 S –1/3 q.

Donde d es el consumo de su servicio, M es la renta real agregada, S es el nivel medio de intereses aplicados y q es el nivel medio de intereses de la competencia.

a-) Calcular los valores marginales de la demanda con respecto a M, S y q para cuando toman valor 100; 1,728 y 1,9 respectivamente. Interprete los resultados.

Solución

a-) δ D / δ M = -25(/ 2M√M)*S–1/3q Evaluar para (100; 1,728; 1,9)

= (-25/ 2*100*√100) * 1.728 –1/3 * 1.9

= - 0.1884

δ D / δ S = (-25 M-1/2/ 3S √³S) * q

= (-25 * 100-1/2 / 3*1.728* √³1.728) * 1.9

= - 0.76356

δ D / δ q = 25 M –1/2 S –1/3

= 25 * 100–1/2 * 1.728–1/3

= 2.08

Rta: La demanda de los servicios de la cooperativa disminuyen a medida que aumentan la renta y el nivel de intereses medios aplicados. Por otra parte aumenta con un incremento de los niveles de intereses aplicados por la competencia.

Ejemplo 5 (Aplicación de la derivada de funciones de varias variables)

La demanda de un bien se ha estimado como: D(a,b,e)= 24–2ab + 5e – 3b; donde a es el precio del bien, b el precio de otro bien y e la renta media de los consumidores.

a-) Obtener las expresiones de la elasticidad cruzada y la elasticidad renta de la demanda.

b-) Clasificar el bien en el punto (a,b,e) = (20,25,30).

Solución

a-)E(D,b) = (δ D / δ b)* (b/D) δ D / δ b = -2a-3

= (-2a-3)* (b/24-2ab+5e-3b)

E(D,e) =( δ d / δ e)* (e/d) δ D / δ e = 5

= 5* (e/ 24-2ab+5e-3b)

= 5e / 24-2ab+5e-3b

b-) Evaluar en el punto (20,25,30)

E(D,b) =(-2*20*25-3*25)/ (24-2*20*25+5*30-3*25) = 1.19

E(D,e) = (5*30)/ (24-2*20*25+5*30-3*25) = -0.166

Rta: Los bienes en cuestión son bienes sustitutivos pues la elasticidad cruzada de la demanda es positiva. En el caso del bien principal se puede clasificar como inferior pues la elasticidad renta es negativa.