5.2 LA VARIANZA

Otra forma para asegurar que las diferencias entre la media y los puntos de un valor positivo, es elevándola al cuadrado. Al promedio de estas distancias al cuadrado se le conoce como varianza.

Varianza (S2 o 2): Es el resultado de la división de la sumatoria de las distancias existentes entre cada dato y su media aritmética elevadas al cuadrado, y el número total de datos.

Distinguimos dos símbolos para identificar la varianza: S2 para datos muestrales, y σ2 para datos poblacionales. Note que la fórmula para la varianza muestral presenta en su denominador al tamaño de la muestra menos uno, tendencia adoptada por los estadísticos para denotar una varianza más conservadora.

Al igual que ocurre con la desviación media, podemos definir las fórmulas para datos agrupados en tablas tipo A y tipo B. Para las tablas tipo A tenemos:

Una advertencia en el uso de esta medida, es que al elevar las distancias al cuadrado, automáticamente se elevan las unidades. Por ejemplo, si unidad trabajada en los datos es centímetros, la varianza da como resultados centímetros al cuadrado.

5.2.1 Ejemplo: Varianza para datos no agrupados

La siguiente muestra representa las edades de 25 personas sometidas a un análisis de preferencias para un estudio de mercado.

 

25

19

21

35

44

20

27

32

38

33

18

30

19

29

33

26

24

28

39

31

31

18

17

30

27

Determinar la varianza.

SOLUCIÓN

PASO 1: Calcular la media aritmética.

PASO 2: Calcular la varianza

En este punto, la varianza es identificada por S2.

La varianza equivale a 51,8567. Por elevar las unidades al cuadrado, carece de un significado contextual dentro del análisis descriptivo del caso.

5.2.2 Ejemplo: Varianza para datos agrupados

Calcular la varianza a partir de la siguiente tabla de frecuencia (suponga que los datos son poblacionales).

 

Ni

Lm

Ls

f

Mc

1

[15

17)

2

16

2

[17

19)

5

18

3

[19

21)

13

20

4

[21

23)

4

22

5

[23

25]

1

24

Total

25


 

SOLUCIÓN

PASO 1: Calcular la media aritmética.

PASO 2: Calcular la varianza

En este punto, la varianza es identificada por S2.

5.2.3 Cálculo de la varianza en Excel

Excel posee dos funciones propias para el cálculo de la media, diferenciando los datos muestrales de los datos poblacionales.


 

VAR: Calcula la varianza de una muestra.


 

Formato: VAR(número1;número2;…)

Categoría: Estadísticas


 

 


 

VARP: Calcula la varianza de todos los datos de una población.


 

Formato: VARP(número1;número2;…)

Categoría: Estadísticas


 

Mostremos su funcionamiento calculando la varianza en ambos casos a partir de los siguientes datos:

 

138,2

195,8

124,5

101,7

137,1

130,3

110,0

101,4

104,5

128,5

135,5

197,5

159,6

140,7

103,2

134,3

191

180,6

189,9

186,3

116,4

155,3

146,6

199,1

188,4

113,8

121,9

135,7

142,6

125,6

Los datos copiados en Excel desde la celda B2 deberían verse como sigue:

Si los datos provienen de una muestra, emplearemos la función VAR, en cuyo denominador se tendría el valor 29 en vez de 30, equivalente al tamaño de la muestra. Activemos esta función en la celda B8.

El resultado de la varianza muestral es de 1034,138051.

En la celda B9 calculemos la varianza para datos poblacionales.

La función de la varianza VARP, divide la sumatoria de las distancias al cuadrado por los 30 datos, dando como resultado un valor menor que con la función VAR (la varianza para la muestra es un valor más conservador).

Para el cálculo de la varianza en datos agrupados en Excel, tomaremos la tabla de frecuencia dada en el ejemplo 5.2.2.

Calculemos la media en la celda B10.

En una columna adicional colocaremos las diferencias entre la marca de clase y la media elevadas al cuadrado multiplicadas por su frecuencia.

Analicemos la fórmula empleada desde la celda C3.

La celda B10 esta fija indicando la media aritmética. Aparece el operador , la cual eleva al cuadrado lo que esta dentro del paréntesis. Esta distancia se multiplica por el número de veces que se repite (por su frecuencia). Al final calculamos su sumatoria.

En la celda B11 calculamos la varianza.

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