4.1 LA MEDIA ARITMÉTICA

Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar datos muestrales de datos poblacionales, la media aritmética se representa con un símbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con la población, este indicador será µ; en el caso de que estemos trabajando con una muestra, el símbolo será .


 

Media aritmética (µ o ): Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos.


 

Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos tanto poblacionales como muestrales: sin agruparlos o agrupándolos en tablas de frecuencias. Esta apreciación nos sugiere dos formas de representar la media aritmética.

4.1.1 Media aritmética para datos no agrupados

Podemos diferenciar la fórmula del promedio simple para datos poblaciones y muestrales:

Observe que la variación de ambas fórmulas radica en el tamaño de los datos (N identifica el tamaño de la población, mientras que n el de la muestra).

4.1.2 Ejemplo: la media aritmética para datos no agrupados

El profesor de la materia de estadística desea conocer el promedio de las notas finales de los 10 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son:

3,2

3,1

2,4

4,0

3,5

3,0

3,5

3,8

4,2

4,0

¿Cuál es el promedio de notas de los alumnos de la clase?

SOLUCIÓN

Aplicando la fórmula para datos no agrupados tenemos:

Cabe anotar que en el ejemplo estamos hablando de una población correspondiente a todos los alumnos de la clase (10 alumnos en total). El promedio de las notas es de 3,47.

Modifiquemos la primera nota por 0,0 y calculemos nuevamente la media aritmética.

En este caso la media pasa de 3,47 a 3,15. Esta variación notoria se debió a que la media aritmética es sensible a los valores extremos cuando tratamos con pocos datos. El 0,0 es una nota atípica comparada con las demás, que están ubicadas entre 3,0 y 4,2.

4.1.3 Media aritmética para datos agrupados

En el capitulo 2 explicábamos dos tipos de tablas de frecuencias (A y B). Cuando los datos se agrupan en tablas tipo A, la media aritmética es igual a la división de la sumatoria del producto de las clases por la frecuencia sobre el número de datos.

La sumatoria parte desde el primer intervalo de clase (i = 1) hasta el último (Nc), siendo Xi la clase del intervalo i.

Cuando los datos se agrupan en tablas de frecuencias tipo B, el cálculo de la media varía un poco, ya que existe una pérdida de información en el momento en que se trabaja con intervalos de frecuencia y no con los datos directamente (los datos se agrupan por intervalo, desconociendo el valor exacto de cada uno de ellos).

Las marcas de clases (Mc) cumple la función de representar los intervalos de clase.

4.1.4 Ejemplo: media aritmética para datos agrupados en tablas tipo A

La siguiente tabla de frecuencia muestra el número de preguntas de 81 encuestados sobre un Test que consta de solo seis preguntas.

 

Preguntas Buenas

Personas

1

15

2

13

3

8

4

19

5

21

6

5

SOLUCIÓN

PASO 1: Realizar la sumatoria del producto resultante de las clases por su frecuencia absoluta. Para efectos del cálculo de la media, deberíamos sumar 15 veces el valor 1, 13 veces el valor 2, 8 veces el valor 3, hasta llegar a la última clase:

PASO 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de datos.

En promedio los encuestados contestaron aproximadamente 3 (el valor exacto es 3,41) preguntas buenas.

4.1.5 Ejemplo: media aritmética para datos agrupados en tablas tipo B

Calcular la media para los datos distribuidos en la siguiente tabla de frecuencia:

 

Ni

Lm

Ls

f

Mc

1

40,0

48,1

3

44,1

2

48,1

56,1

8

52,1

3

56,1

64,1

11

60,1

4

64,1

72,1

32

68,1

5

72,1

80,1

21

76,1

6

80,1

88,1

18

84,1

7

88,1

96,1

14

92,1

8

96,1

104,0

1

100,1

SOLUCIÓN

Las marcas de clase representan a los intervalos de clase, por ejemplo, suponemos que la marca de clase para el primer intervalo (44,1) se repite 3 veces, al desconocer los 3 valores exactos que están dentro de dicho intervalo.

PASO 1: Realizar la sumatoria del producto resultante entre las marcas de clase por su frecuencia absoluta.

PASO 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de datos.

4.1.6 Ejemplo: comparativa entre el cálculo de la media aritmética para datos no agrupados y datos agrupados en tablas tipo B

Calcular la media aritmética a los siguientes datos sin agrupar y agrupándolos en una tabla de frecuencia tipo B (suponga que los datos son poblacionales):

47,8

23,1

12,4

35,4

44,0

26,2

18,6

11,0

32,0

12,4

49,4

41,4

18,6

21,0

26,3

11,1

21,4

30,6

12,8

43,1

18,1

38,1

16,8

12,4

33,6

40,9

15,2

33,2

48,2

37,0

SOLUCIÓN

Calculemos la media para los datos sin agrupar:

Luego construyamos la tabla tipo B y calculemos su media aritmética con el fin de comparar ambos resultados:

Ni

Lm

Ls

f

Mc

1

11,00

17,41

8

14,21

2

17,41

23,81

6

20,61

3

23,81

30,21

2

27,01

4

30,21

36,61

5

33,41

5

36,61

43,01

4

39,81

6

43,01

49,40

5

46,21

Total

30


 


PASO 1: Realizar la sumatoria del producto resultante entre las marcas de clase por su frecuencia absoluta.

PASO 2: Dividir la sumatoria sobre el número total de datos.

Podemos ver claramente una diferencia entre ambas medias: 27,74 para los datos no agrupados y 28,29 para los datos agrupados. Esta diferencia radica que en la tabla tipo B existe una perdida de información, al agrupar los datos en los intervalos de clase. El valor de la media exacta es el calculado para los datos no agrupados, pero dada la proximidad de la media para los datos agrupados, se tomar esta última como cierta.

4.1.7 Cálculo de la media aritmética en Excel

Excel presenta la función PROMEDIO para el cálculo de la media aritmética:


 

PROMEDIO: Permite calcular la media aritmética (o promedio simple) de un conjunto de datos.


 

Formato: PROMEDIO(número1;número2;…)

Categoría: Estadísticas


 

En una hoja nueva, copie los siguientes datos a partir de la celda B2:

Ubiquémonos en la celda B9 y activemos la venta de funciones, seleccionando la función PROMEDIO:

En la primera casilla (número 1), seleccionamos el conjunto de datos:

Pulsemos en el botón Aceptar para mostrar el resultado en la celda B9.

El procedimiento varía cuando tenemos tablas de frecuencia. Copie la siguiente tabla en una hoja nueva a partir de la celda B2:

Recordemos que el primer paso es calcular la sumatoria del producto entre clase y frecuencia, empleando la siguiente función:


 

SUMAPRODUCTO: Calcula la suma de los productos entre datos.


 

Formato: SUMAPRODUCTO(matriz1;matriz2;matriz3;…)

Categoría: Matemáticas y trigonométricas


 

Activemos esta función desde la celda B11, considerando al campo matriz 1 como las clases y matriz 2 como las frecuencias.

Al pulsar en Aceptar, tendremos el valor de la sumatoria.

Necesitamos ahora dividir el resultado de la sumatoria sobre los 116 datos incluidos en el ejercicio. Modifiquemos la fórmula actual y agreguemos:

Donde C9 es la celda que muestra el total de los datos. El resultado final es 3,6637931.

4.1.8 Ventajas

4.1.9 Desventajas

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