Contribuciones a la Economía


"Contribuciones a la Economía" es una revista académica con el
Número Internacional Normalizado de Publicaciones Seriadas
ISSN 1696-8360

 

TASA MÁXIMA DE GANANCIA Y RAZÓN-PATRÓN A PARTIR DE SRAFFA (teorema) 


Antonio Mora Plaza
antonioamora@hotmail.com

 

MAXIMUM RATE OF PROFIT AND RATE-STANDARD FROM SRAFFA

In this article I will talk about the limits and conditions in the sraffian system model of rate-standard and the maximum rate of profit. Sraffa say the rate-standard is equal to the maximum rate of profit on the single-production and the sraffian joint-production, but never it can be demonstrated. The firstly demonstration is done here.

En este artículo se trata de poner los límites y las condiciones para el cumplimiento de la afirmación de Sraffa de que la tasa máxima de ganancia es igual a la razón-patrón en la producción simple y en la producción conjunta esrafiana. Sraffa nunca demostró formalmente esas afirmaciones, pero aquí se da una demostración.


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Mora Plaza, A.: "Tasa máxima de ganancia y razón-patrón a partir de Sraffa (teorema)” en Contribuciones a la Economía, septiembre 2010, en http://www.eumed.net/ce/2010b/ 


El genial invento -¿o es descubrimiento?- de la mercancía-patrón y de la razón-patrón parecería, visto el libro de Sraffa, sólo es aplicable a la producción simple, es decir, al esquema de producción en el que cada sector produce un solo producto. Una situación así tiene la ventaja de que el esquema puede ser formalizado mediante la ecuación de definición del sistema PY=(1+R)PX, la cual es susceptible de aplicarse el teorema de Perron-Froebenius y obtener con ello un vector de precios no negativos y un autovalor que asegure una tasa de ganancia R positiva y única para todos los sectores. P es el vector de precios 1xn, Y la matriz diagonal de productos finales y X la matriz cuadrada de medios de producción, ambas de dimensiones nxn. Es necesaria la ayuda de la ecuación LQI=1 para obtener los multiplicadores a partir de la ecuación matricial uYQ=XQ, que está íntimamente relacionada con la de definición del sistema. L es el vector trabajo, Q el vector nx1 de multiplicadores y u un multiplicador escalar que es a la vez un autovalor. Además, con ello relacionamos el autovalor u con R mediante la ecuación u=1/(1+R) que surge de la aplicación del teorema. Con ello calculamos R. De esta manera, R será simultáneamente la tasa máxima de ganancia y la razón-patrón que buscaba Sraffa. Todo ello es posible, no obstante, porque Y es una matriz diagonal, es decir, que tiene todos los productos finales de las mercancías colocados en la diagonal principal: el resto de los elementos de la matriz son cero. Si estamos en la producción conjunta, es decir, en la producción donde en cada sector -y en cada empresa- produce más de un producto, la matriz de productos finales Y ya no es diagonal y la consecuencia funesta para el esquema esrafiano es que ahora no se puede aplicar Perron-Froebenius, con lo cual no podemos asegurar ni un vector de precios no negativos P, ni unos multiplicadores no negativos qj, ni que la tasa de ganancia máxima gm coincida con la razón-patrón R, suponiendo que la podamos calcular. Sin embargo, casi todo tiene solución. Sraffa la encuentra en el capítulo VIII de su libro eliminando “completamente mediante transformaciones lineales las mercancías no básicas del sistema, tanto del lado de los medios de producción como del lado de los productos” . En términos matemáticos eso equivale a realizar operaciones lineales de combinaciones de filas y columnas en la matriz de requerimientos A (A=XY-1) de dimensiones nxn, de tal forma que quede una matriz de cuadrada de rango igual al número de filas (=columnas). Con ello se puede calcular el determinante de uI-A y resolver el polinomio de grado n (número de filas o columnas). El teorema de Perron-Froebenius nos asegura una solución real, simple y positiva, como hemos visto. El problema es que para llegar a ello en la producción conjunta han de ocurrir dos cosas: 1) que la matriz A sea ya irreducible o reducible, aunque ninguna de las dos cosas la podemos asegurar de antemano; 2) que se parta del supuesto, como hace Sraffa, de que el número de bienes de productos finales sea el mismo que el de medios de producción, aunque esté repartido en n sectores de productos finales. Este es un supuesto muy restrictivo, pero Sraffa nunca salió de él porque se aferraba a las ventas de sus queridas mercancía-patrón y razón-patrón. Y no es para menos.

Hemos visto que el caso de la producción conjunta esrafiana puede resolverse diagonalizando la matriz de productos finales mediante la ecuación Ys=YcD, obtenida D=Ys-1Yc, que es equivalente a sumar todos los productos finales por columnas de la matriz de productos finales Yc en la producción conjunta y colocar estas sumas en la diagonal de la matriz Ys como en la producción simple según sectores. Así podemos transformar la producción conjunta esrafiana en un modelo de ecuaciones igual al de la producción simple. A Sraffa no se le ocurrió este sistema, pero su discusión sobre la razón-patrón mínima mediante reducción al absurdo es equivalente a lo anterior. Sraffa lo hizo así para no perder -y que no perdiera el lector- el hilo de su discusión económica y no meramente formal. La cuestión surge si los productos no-básicos aparecen diferenciados de los básicos formalmente en el modelo y si ambos no coinciden en el número de productos diferentes, cosa ya cercana a la realidad. ¿Tenemos entonces razón-patrón y mercancía-patrón o no? ¿Y si tenemos razón-patrón, es ésta igual a la tasa máxima de ganancia? ¿La podemos obtener de otra forma? Sraffa no pudo contestar a estas preguntas de manera formal, es decir, con alguna demostración. Empezaremos con alguna respuesta no satisfactoria. Para empezar. el método del recuento consistente en comparar todos los productos netos relativos (excedentes relativos) y tomar el menor de ellos, falla porque Perron-Froebenius nos da siempre un vector de precios no negativos y un autovalor positivo que da lugar a una razón-patrón que no tiene porqué coincidir con el menor valor del excedente relativo. He llamado excedente relativo de un sector a la ecuación:

(1)

Pues bien, esa solución es compatible con un sector cuyo excedente relativo es cero. Vamos a ver ahora que sí hay solución para modelos no esrafianos, pero desarrollados a partir de la semilla que nos dejó el genial italiano. Vamos hacerlo de la forma que tanto adolece el libro de Sraffa: planteando de entrada el sistema de ecuaciones con el que vamos a trabajar:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Como se verá, estas ecuaciones no están elegidas al azar, sino con mucho cálculo y muchos intentos. Son no obstante, creo, naturales, reflejan bien el espíritu esrafiano y son susceptibles de concretarse y acercarse a la realidad con una generalización de tasas de ganancia y de salarios, como luego veremos. La ecuación (2) es la de definición del sistema, donde PN es el vector de precios 1xm de productos no-básicos, YN es la matriz no cuadrada mxn de productos finales no básicos, P es el vector de precios 1xn de precios de productos básicos, Y la matriz cuadrada nxn de productos finales básicos, r la tasa de ganancia, X la matriz nxn de medios de producción, w la tasa de salarios, L el vector 1xn de inputs de trabajo y I es el vector de unos nx1. La ecuación (3) es el resultado de hacer cero la tasa de salarios w. Con ello obtenemos una ecuación cuya tasa de ganancia gm es la máxima posible manteniendo siempre el mismo excedente, es decir, PY-PX en términos monetarios. Una tasa de ganancia más alta que hiciera que Y<X para alguna mercancía en términos físicos no sería viable porque el sistema no se podría reproducir al ser menor para uno o varios bienes y servicios (mercancías) los productos finales que los medios de producción utilizados. Hay que recordar que estamos en un modelo de reproducción simple, aunque de producción conjunta, porque ni los precios ni los bienes (mercancías) están fechados, además de ser un modelo de equilibrio. Sigamos. La ecuación (4) es crucial en la demostración de lo que viene, porque es la misma que la de la producción simple, con R como presunta razón-patrón del subsistema de ecuaciones que representa esta ecuación matricial. Sobre esta ecuación hay que detenerse, lo mismo que sobre la siguiente, porque R surge independientemente de los precios por aplicación del teorema de Perron-Frobenius. Si R dependiera de los precios y/o de las tasas de ganancia y salarios no habría demostración y nada de lo que sigue tendría ningún valor. La (5) es el numerario esrafiano. Aquí cualquiera hubiera estado tentado de elegir un numerario del tipo PNYNI+PYI-PXI de la ecuación, es decir, del producto neto, incluidos los ingresos de los productos no-básicos PNYNI. Obrando así no hubiéramos llegado a la demostración. Estas consideraciones son decisivas en lo que viene. La (6) es el segundo numerario ya conocido y utilizado por Sraffa. De las ecuaciones (2) y (3) sale la ecuación:

(7)

El lector del libro de Sraffa debiera tener in mente esta ecuación y es lástima que Sraffa nunca la hiciera explícita. La (7) nos dice al menos dos cosas importantes: a) que los precios de los productos básicos P no dependen de los precios de los no-básicos PN; b) que si la tasa de ganancia general del sistema r se acercara (muy cerca) a la tasa máxima de ganancia, los precios crecerían exponencialmente. Secundariamente nos dice que los precios son proporcionales a los salarios y a los inputs de trabajo e inversamente proporcionales a la tasa máxima de ganancia y a los medios de producción. También es notable que para llegar a la tasa máxima de ganancia y a la razón-patrón no necesitemos resolver un sistema de ecuaciones, ni resolver la ecuación (7): tan sólo con despejar los precios en la ecuación (2) que define el sistema y aumentar la tasa de ganancia hasta llevar los precios al rubicón del más infinito al menos infinito, obtenemos la razón-patrón y la tasa máxima de ganancia (que tienen el mismo valor sólo en ese momento).

De (4) y (5) se obtiene:

(8)

Sustituyendo los precios de (7) en (8) y con la (6) ya tenemos una ecuación sin precios, que además define la frontera entre salarios y ganancias:

(9)

donde los puntos de corte son g=gm para w=0 y w=gm/R si hacemos g=0. Seguimos. De las ecuaciones (2), (4), (5) y (6) se obtiene la singular ecuación:

(10)

Obsérvese que la (10) está muy cerca de la ecuación fundamental esrafiana r=(1-w)R/(1+r), es decir, de la ecuación de la razón-patrón para sistemas de pago pre-factum y no pos-factum, como utiliza Sraffa. Las consecuencias son las mismas, sólo que el multiplicador (1+r) está afectando a la tasa de salarios w. Si eliminamos (1+r) en todas las ecuaciones resultantes, tenemos el sistema empleado por Sraffa, aunque él no llegara nunca a demostrar lo que sigue. Ahora estamos preparados para eliminar una variable entre las ecuaciones (9) y (10), dado que no son una combinación lineal o de otro tipo entre ambas. Ello es así porque en la (10) no se ha utilizado la (3) y, en cambio, sí se ha hecho en la (9) a través de la (7). El resultado es:

(11)

Y en la (11), a simple vista, se puede comprobar que para que la tasa de ganancia máxima gm sea igual a la razón-patrón R es suficiente que el lado izquierdo de la ecuación, es decir, la suma de los productos de precios y cantidades de productos finales de los bienes no-básicos PNYNI sea cero. O dicho de otro modo: la ecuación (11) nos asegura la condición suficiente de que la tasa máxima de ganancia sea igual a la única razón-patrón R si la suma de todos los productos finales de la matriz YN vale cero. En cambio, sí tenemos con ello probado lo que queríamos demostrar: que al menos en la producción simple o conjunta esrafiana (pero diagonalizada), la tasa máxima de ganancia y la razón-patrón tienen el mismo valor aún cuando sean conceptos distintos: la razón-patrón es el coeficiente común que permite pasar de la realidad a la mercancía-patrón con la ayuda de los multiplicadores; la tasa máxima de ganancia surge de hacer cero la tasa de salarios en la ecuación (2) que define el sistema. Lo anterior puede resumirse de la siguiente manera:

(12)

También se demuestra lo contrario: que si existen bienes no-básicos diferenciados de los básicos, la tasa de ganancia máxima es mayor que la razón-patrón:

(13)

Pero aquí no acaba la cosa, porque de (7) sabemos cómo calcular la tasa máxima de ganancia, tanto en la producción simple y en la conjunta esrafiana, pero con Y diagonalizada. Simplemente tenemos que obrar por el método de prueba y error sobre la tasa de ganancia r. Traemos a colación la ecuación:

(7)

En (7) vemos que si la tasa de ganancia r se acercara a la tasa máxima de ganancia gm, los precios tenderían -como ya hemos visto- a infinito primero, para pasar bruscamente a menos infinito. En esa situación y en el instante anterior de pasar a menos infinito ocurre que r=gm=R, con lo cual tenemos un método para calcular la razón-patrón sin necesidad de resolver el sistema uI-A=0 para los sistemas antes aludidos: dar valores a r (aumentándola) hasta pasar la frontera de los precios del más infinito al menos infinito. Veamos el resumen:

(14)

En los anexos se puede ver algunos ejemplos. Si en lugar de la ecuación se hubiera partido de la más típica de Sraffa:

(15)

el resultado hubiera sido que:

(16)

Y ahora la ecuación deducida que relacionara r, w y R sería:

(17)

en lugar de la (9), que sustituida en la (16) da igualmente la (11). Cambiaría sólo la (7) que sería ahora:

(18)

Aquí se obtienen las mismas conclusiones anteriores cuando r se acerca a gm, pero con unos valores ligeramente diferentes por el factor (1+r), que ahora no existe. Que el lector elija.

El teorema puede ser generalizado a n tasas de ganancia mediante la matriz diagonal G y a n tasas de ganancia máxima mediante la matriz también diagonal Gm. Las ecuaciones respectivas serían:

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

No vamos a repetir el proceso anterior, pero de este conjunto de ecuaciones sale:

(24)

que desarrollada en términos aritméticos queda:

(24 bis)

donde todos los wij, rij y gmij valen cero si i<>j. En (24bis), si el primer término de la ecuación es igual a cero, es decir, si vale cero la suma del producto del conjunto de precios por sus respectivos productos finales de bienes no-básicos, entonces la parte de la derecha de la suma sólo vale cero si se cumplen las dos condiciones siguientes: a) que todas las tasas de ganancia máxima gmij sean iguales a la única razón-patrón R; b) que estas tasas de ganancia máximas gmij sean mayores o iguales a la tasa de ganancia rij, pero con una al menos que sea mayor estrictamente.

Con este teorema -que yo sepa nunca demostrado antes- acotamos las posibilidades de utilizar la razón-patrón y de construir la mercancías-patrón tan cara a Sraffa. Podemos afirmar que con bienes no-básicos no se ve la forma de construir una mercancía-patrón y una razón-patrón. Al menos desde este modelo o similares. Sin embargo, no por ello la semilla plantada por el italiano deja ni dejará de fructificar, al igual que la incoherente teoría del valor-trabajo de Marx es sostenible más allá de la teoría de la explotación. Ambos sembraron, pero sus críticos constructivos deben seguir su tarea, por encima de los que quieren destruir sus obras o la de los meros apologistas que quieren perpetuarla con sus defectos y limitaciones. Ambos grupos no interesan al conocimiento que se reputa como científico o que, al menos, lo intenta.

Madrid, octubre de 2010

Anexo I

Excedente neto físico y tasa de ganancia máxima (p. simple)

P Y = (1 + g) P X + w L L= 0,188 0,313 0,500 1,00

productos finales sumas medios de producción sumas

450 0 0 450 186 54 30 270

Y= 0 21 0 21 X= 12 6 3 21

0 0 60 60 9 6 15 30

w= 0,7 g = 48,253% 0,413 2,571 0,500 3,48

A=XY-1 = 0,027 0,286 0,050 0,36

0,002 0 0 0,020 0,286 0,250 0,56

Y-1= 0 0,048 0 0,460 3,143 0,800

0 0 0,017

0,460 < autovalor máximo < 3,143

excedente físico relativo u=1 / (1+ g=Gm)

66,7% 0,0% 100% u = 0,6745

Pasinetti, pág. 130 Razón-patrón= 48,25%

P = w LY-1( I-(1+g)A)-1 = 191 1563 409 PYI= 143.270,4

Este anexo y los que siguen se han tomado de ejemplos de los libros de Pasinetti (Lecciones de la teoría de la producción) y de J.M Vegara (Economía política y modelos multisectoriales). En los tres se ha llegado a las razones-patrón mediante el método de prueba y error, haciendo variar la tasa de ganancia g hasta encontrar un valor para PYI tal que pase del más infinito a menos infinito. Por supuesto que aquí se trata de grados de aproximación, y nos hemos detenido en las milésimas del porcentaje. En el anexo I lo hemos hecho cuando la tasa de ganancia valía 48,253%, en el anexo II cuando era de 19,999% y en el anexo III cuando era de 18,537%. En los tres casos un aumento en la tercera cifra decimal pasaría el valor de PYI de más a menos. En los tres casos coinciden la tasa máxima de ganancia así obtenida con las razones-patrón calculadas por los autores de los libros mediante Perron-Froebenius.

Anexo II

Excedente neto físico y tasa de ganancia máxima (p. simple)

P Y = (1 + g) P X + w L L= 0,188 0,313 0,500 1,00

productos finales sumas medios de producción sumas

180 0 0 180 90 50 40 180

Y= 0 450 0 450 X= 120 125 40 285

0 0 480 480 60 150 200 410

w= 0,7 g = 19,999% 0,500 0,111 0,083 0,69

A=XY-1 = 0,667 0,278 0,083 1,03

0,006 0 0 0,333 0,333 0,417 1,08

Y-1= 0 0,002 0 1,500 0,722 0,583

0 0 0,002

0,583 < autovalor máximo < 1,500

excedente físico relativo u=1 / (1+ g=Gm)

0,0% 57,9% 17% u = 0,8333

Vegara, pág. 117 Razón-patrón= 20,00%

P = w LY-1( I-(1+g)A)-1 = 167,4 60,9 45,7 PYI= 79.434,9

Anexo III

Excedente neto físico y tasa de ganancia máxima (p.simple)

P Y = (1 + g) P X + w L L= 0,188 0,313 0,500 1,00

productos finales sumas medios de producción sumas

450 0 0 450 222 78 90 390

Y= 0 21 0 21 X= 12 6 3 21

0 0 60 60 12 8 20 40

w= 0,7 g = 18,537% 0,493 3,714 1,500 5,71

A=XY-1 = 0,027 0,286 0,050 0,36

0,002 0 0 0,027 0,381 0,333 0,74

Y-1= 0 0,048 0 0,547 4,381 1,883

0 0 0,017

0,547 < autovalor máximo < 4,381

excedente físico relativo u=1 / (1+ g=Gm)

15,4% 0,0% 50% u = 0,8436

Pasinetti, pág. 190 Razón-patrón= 18,54%

P = w LY-1( I-(1+g)A)-1 = 218 2021 838 PYI= 190.605,5

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