Modelos econométricos de rezagos distribuidos

Cuando el análisis de regresión de series de tiempo, el modelo incluye no sólo los valores corrientes de las variables explicativas (X’s), sino también sus valores rezagados. Se considera un modelo de rezagos distribuidos1 . Explicado como:

Ecuación No 1

Éste es un modelo con rezago finito de k períodos, donde el coeficiente se conoce como multiplicador de impacto o de corto plazo por representar el cambio en el valor medio de Y como consecuencia de un cambio unitario, en el mismo período, en X. y , ...,son los multiplicadores retrasados o provisionales, pues éstos miden el impacto en el valor medio de Y debido a un cambio unitario en X, en varios períodos anteriores de tiempo. La es un término de perturbación.

Teniendo el modelo de rezago distribuido en una sola variable explicativa:

Ecuación No 2

Donde no se ha definido la longitud del rezago, es decir, hasta dónde se pretende retroceder en el pasado, reciben el nombre de modelos de rezagos infinitos, mientras que los del Modelo N° 1 se llaman modelos finitos por cuanto la longitud o tamaño del rezago k está plenamente especificada.

En el supuesto que la variable explicativa Xt no es estocástica (o al menos que no está correlacionada con el término de perturbación ), de igual manera Xt-1, Xt-2, los cuadrados mínimos ordinarios (CMO) pueden aplicarse en la Ecuación N° 2, como lo han hecho Alt y Tinbergen2 . Estos autores sugieren que para estimar este modelo se puede proceder en forma secuencial, es decir, primero haciendo la regresión de Yt contra Xt; luego al Yt contra Xt y Xt-1; posteriormente Yt contra Xt, Xt-1 y Xt-2, y así sucesivamente. Este procedimiento secuencial se interrumpe cuando los coeficientes de regresión de las variables rezagadas comienzan a volverse no significativos estadísticamente o cuando el coeficiente de una de las variables por lo menos cambie de signo, de positivo a negativo o viceversa. Teniendo como referencia el precepto anterior, se mostrará algunos ejemplos de la siguiente manera:
1)
2)
3)
4)

Basados en estos ejemplos, los autores anteriores que proponen la estimación ad hoc de modelos de rezagos distribuidos seleccionaron la segunda (2) ecuación de regresión como la “mejor” debido a que en los últimas dos el signo de Xt-2 no es estable y a que en la última ecuación el signo de Xt-3 es negativo, lo cual se considera difícil en su interpretación bajo un criterio económico.

Esta estimación ad hoc, aunque parece clara y sencilla, según Gujarati (2003, pág. 257) adolece de algunas complicaciones, tales como:

Koyck (Gujarati. 2003) ha propuesto un enfoque para modelos de rezagos distribuidos utilizando un método ingenioso. Donde parte con el modelo de rezagos infinitos distribuidos (Ecuación N° 2), donde las b's tienen todos los mismos signos, y que decaen geométricamente de la siguiente manera:
Ecuación No. 3

Donde l, es tal que 0 < l < 1 y se conoce como la tasa de declinación o decaimiento del rezago distribuido y donde 1 - l se conoce como la velocidad de ajuste.

Lo que postula es que cada coeficiente sucesivo b es numéricamente menor que el b que le precede (esto se deduce de l < 1) lo cual implica que a medida que se retrocede hacia el pasado, el efecto del rezago sobre Y se torna progresivamente menor, lo que es un supuesto aceptable. Después de todo, se espera que los ingresos corrientes y los que han ocurrido recientemente afecten con mayor fuerza los gastos de consumo, que los ingresos obtenidos hace largo tiempo.

Koyck al dar sólo valores no-negativos a l impide que los b’s cambien de signo, y al suponer que l < 1, le da menor importancia a los b’s distantes que a los corrientes. Además, el esquema de Koyck asegura que la suma de los b's, que da el multiplicador de largo plazo, es una cantidad finita, esto es:
Ecuación No 4

Como resultado (Ecuación N° 3) el modelo de rezago infinito (Ecuación N° 2) puede escribirse:
Ecuación No 5

En estas condiciones, el modelo no puede todavía estimarse, pues queda una gran cantidad (literalmente infinita) de parámetros por estimar y además el parámetro l se presenta en forma no lineal: en términos estrictos, el método de regresión lineal (en los parámetros) no puede aplicarse a dicho modelo. Koyck sin embargo, sugiere una buena salida que consiste en rezagar (Ecuación N° 5) en un período para obtener:
Ecuación No 6

Multiplicando luego (Ecuación N° 6) por l se obtiene:
Ecuación No 7

Restando la Ecuación N° 7 de la Ecuación N° 5, se llega a:
Ecuación No 8

Que reordenando da:
Ecuación No 9

Donde

El procedimiento que se describió se conoce como transformación de Koyck. Comparando la Ecuación N° 9 con la Ecuación N° 2 se realizó una tremenda simplificación que Koyck logró, pues si al estimar a y un número infinito de b's, ahora se tiene tan sólo que estimar tres incógnitas: a, b0 y l, y no se tendrá multicolinealidad. En cierto modo la multicolinealidad se resuelve reemplazando Xt-1, Xt-2..., por un sólo término Yt-1. A continuación se considerará algunas de las transformaciones de Koyck, según el criterio de Gujarati (2003).

Marc Nerlove (Gujarati, 2003) da otra racionalización mediante el llamado modelo de ajuste de las existencias o modelo de ajuste parcial. Para ilustrar lo anterior, se considera el modelo del acelerador flexible de la teoría económica, que supone que existe una cantidad deseada, óptima equilibrada o a largo plazo del acervo de capital necesario para producir un producto en condiciones tecnológicas, de intereses, etc. Abreviando, bajo el supuesto que el nivel deseado del capital sea una función lineal del producto X, como sigue:

Como el nivel deseado del capital no es directamente observable, Nerlove postula la siguiente hipótesis conocida como la hipótesis del ajuste parcial o hipótesis del ajuste de las existencias:
Ecuación No 10

Donde d, es tal que 0 < d £ 1 y se conoce como el coeficiente de ajuste; donde Yt – Yt-1= cambio real y ( Yt* - Yt-1)= cambio deseado.

El modelo anterior postula que el cambio real en las existencias o acervo de capital (inversión) en un momento cualquiera del tiempo t es una fracción d del cambio deseado para ese período. Si d= 1, el acervo de capital actual es igual al acervo de capital deseado, es decir, el acervo actual se ajusta al acervo deseado de manera instantánea (en el mismo período de tiempo). Sin embargo, si d = 0, nada cambia puesto que el acervo de capital actual en el tiempo t es igual al observado en el período anterior de tiempo. Típicamente se espera que d caiga entro estos dos extremos, porque es probable que el ajuste hacia el acervo de capital deseado sea incompleto, precisamente por la rigidez, la inercia y las obligaciones contractuales, entre otros factores. De ahí el nombre de modelo de ajuste parcial. Nótese que el mecanismo de ajuste del modelo anterior puede escribirse alternamente como:
Ecuación No 11

Donde se aprecia que el acervo de capital en el tiempo t es un promedio ponderado del capital deseado en ese momento y del acervo de capital existente en el período de tiempo anterior, siendo d y (1 - d) las ponderaciones. Al reemplazar la Ecuación N° 10 en la Ecuación N° 11 se obtiene:

 

Que es lo que se llama modelo de ajuste Parcial.

El modelo de ajuste parcial se parece tanto al de Koyck como al modelo de expectativa adaptable, por ser autorregresivo, aunque tiene un término de perturbación mucho más simple: el término de perturbación original mt multiplicado por una constante d.

Téngase presente que, aunque semejantes en apariencia, conceptualmente el modelo de expectativas adaptables y el modelo de ajuste parcial, son distintos: el primero se basa en la Incertidumbre (respecto al futuro desarrollo de precios, tasas de interés, etc.), mientras que el último se debe a rigideces técnicas o institucionales, a la inercia, al costo de cambio, etc. No obstante, ambos modelos son teóricamente más profundos que el modelo de Koyck.

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