La eficiencia en la industria bancaria mexicana

El modelo y su correspondencia con la producción

En este apartado continua desarrollando el análisis de eficiencia de las 16 instituciones bancarias en México, al tiempo que se introducen nuevos conceptos que complementan el modelo CCR. Se define la Frontera de Posibilidades de Producción compuesta por los insumos y productos (X,Y), además, se redefine la CCR-eficiencia, para que se tomen en cuenta los excesos de insumos y los déficit de producto. Cuando el objetivo del modelo es minimizar los insumos, satisfaciendo al menos los niveles de productos dados, se habla de un modelo orientado a insumos (CCR-I), que es el que se ha estado utilizando hasta el momento. Si el modelo tiene como objetivo maximizar niveles de productos sin requerir más de cualquier insumo, se dice que el modelo es orientado a producto (CCR-O).

Supóngase ahora que cada DMU tiene por lo menos un valor positivo tanto para los insumos como para los productos. Llamaremos a un par de tales insumos x ? Rm y productos y ? Rs una actividad, y se expresa por (x,y). Este elemento forma parte del ortante semipositivo en el espacio vectorial lineal Rm+s. Al conjunto de las actividades alcanzables se le llama Frontera de Posibilidades de Producción y se denota por P. La frontera tiene las propiedades siguientes:

* Las actividades observadas pertenecen a P

* Si una actividad (x,y) pertenece a P, entonces la actividad (tx,ty)., también pertenece a P. A esta propiedad se le conoce como la de Rendimientos Constantes a Escala

* Cualquier actividad con insumos no menores a x y con productos no mayores a por y, es una actividad alcanzable.

* Cualquier combinación lineal semipositiva de actividades en P pertenece a P

El problema del modelo CCR fue formulado como un problema de programación lineal LP, con un vector renglón v para los multiplicadores de los insumos y u para los correspondientes a los productos. En notación matricial tiene la forma siguiente:

LP0 max uy0

Sujeto a vx0 = 1

-vX + uY ?0

v ? 0, u ? 0

El problema dual equivalente al anterior se expresa utilizando la variable real ? y un vector no-negativo ? = (?1,...,?n)T de variables, y tiene la forma:

DLP0 min ?

Sujeto a ?x0 - X? ? 0

Y? ? y0

? ? 0

DLP0 tiene una solución factible ? = 1, ?0 = 1, ?j = 0 (j ? 0). Luego, el óptimo ?* no es mayor que uno. Por otra parte, debido al supuesto a cerca de que por lo menos un insumo y un producto son semipositivos, Y? ? y0 fuerza a ? a ser diferente de cero ya que y0 ? 0 y y0 ? 0, que junto con ?x0 - X? ? 0 hacen que ? sea mayor que cero, es decir se tiene entonces que 0 < ? ? 1.

En base a las propiedades mencionadas, se puede afirmar que la actividad (?x0, y0) pertenece a P, en donde el valor mínimo encontrado para ? que reduzca el vector de insumos x0 proporcionalmente a ?x0, manteniéndose en P. En DLP0 se busca una actividad en P que garantice un nivel de producto de y0 para la DMU0 reduciendo al máximo (proporcionalmente) los niveles de utilización de insumos. Se puede decir que (X?,Y?) sobrepasa a la actividad (?x0, y0) cuando ?* < 1. Con esto, se define el exceso de insumos por s- ? Rm y el déficit de producto por s+ ? Rs y les llamamos vectores de holgura, y se calculan por:

s- = ?x0 - X?, s+ = Y? - y0,

con s- ? 0 , s+ ? 0 para cualesquier solución alcanzable (?,?) de P.

Se plantea el problema LP siguiente, utilizando como variables a las siguientes (?, s-, s+).

max w = es- + es+

Sujeto a s- = ?x0 - X?

s+ = Y? - y0

? ? 0, s- ? 0, s+ ? 0

donde e es un vector unitario.

El problema anterior, al introducir una suma ponderada de los excesos de insumos y déficit de productos, regresa una solución óptima (?*, s-*, s+*) llamada solución de máxima holgura, si ésta, satisface s-* = 0 y s+* = 0 entonces se le llama de holgura-cero. Una solución óptima (?*, ?*, s-*, s+*) que satisface ?* = 1 y además es de holgura-cero, indica que la DMU0 es CCR-eficiente, de otra forma, se le denomina CCR-ineficiente. Cuando la eficiencia radial (técnica) ?* < 1 significa que todos los insumos pueden ser simultáneamente reducidos sin alterar las proporciones de utilización. A la ineficiencia a cualquier holgura diferente de cero se le conoce como ineficiencia mixta. Dado que (1 - ?*) es la máxima reducción proporcional permitida para permanecer en P, cualquier reducción asociada con una holgura diferente de cero, necesariamente cambiará la proporción de utilización de los insumos. Una DMU es totalmente eficiente si y sólo si no es posible mejorar cualquier insumo o producto sin empeorar algún otro insumo o producto. La anterior se conoce como la Eficiencia Pareto-Koopmans35.

Se define el conjunto de referencia para una DMU0 ineficiente, basándose en la solución de máxima holgura, por:

E0 = {j ? ?j* > 0} (j ? [1,2,...,n]).

Una solución óptima puede ser expresada como

?*x0 =

y0 =

Lo anterior se puede interpretar como sigue

que significa que x0 ? ineficiencia técnica – ineficiencia mixta que equivale a una combinación positiva de valores observados de insumos.

De la misma forma se tiene que

es decir, y0 ? los productos observados + déficit equivalente a una combinación positiva valores observados de productos.

Esto nos dice que la eficiencia de la actividad (x0,y0) para DMU0 puede ser mejorada si los valores de los insumos son afectados por el radio ?* y se elimina el exceso de insumos registrados en s-*. De manera similar, los niveles de producto pueden ser aumentados por una cantidad correspondiente a los déficit registrados en s+*.

Las mejoras anteriormente mencionadas se calculan mediante:

y por

.

Por lo tanto, tenemos la fórmula para el mejoramiento, a la que se le llama proyección:

,

con la aplicación de estas operaciones, se asegura que la DMU 0 se establezca sobre la frontera eficiente.

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