Gradientes

En matemáticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente:

Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en UM 250 mensuales sin importar su monto).

Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geométrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual)

La aplicación de gradientes en los negocios supone el empleo de dos conceptos dependiendo del tipo de negocios:

Negocios con amortización (crédito), tipo en el que partimos de un valor actual, con cuotas crecientes pagaderas al vencimiento y con saldo cero al pago de la última cuota.

Negocios de capitalización (ahorro), tipo en el que partimos de un valor actual cero con cuotas crecientes acumulables hasta alcanzar al final del plazo un valor futuro deseado.

Gradientes diferidos. Son aquellos valorados con posterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen del gradiente y el momento de valoración es el período de diferimiento o de gracia.

Gradientes anticipados o prepagables. Aquellos valorados anticipadamente a su final. El tiempo que transcurre entre el final del gradiente y el momento de valoración es el período de anticipación. Pago o cobro por adelantado. Los valores actuales y futuros de los gradientes anticipados (adelantados) o prepagables son calculadas a partir de las vencidas o pospagables multiplicado por (1 + i).

5.1. Gradiente uniforme

La progresión aritmética, quiere decir, cada término es el anterior aumentado (o disminuido) en un mismo monto.

El gradiente uniforme es una sucesión de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma constante. El flujo de efectivo, bien sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada período de interés. El gradiente (G) es la cantidad del aumento o de la disminución. El gradiente (G) puede ser positivo o negativo. Las ecuaciones generalmente utilizadas para gradientes uniformes, pospagables son:

Permiten calcular el valor actual de un gradiente aritmético creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente y el plazo. Sólo tienen aplicación en el siguiente flujo de caja:

Para el cálculo de los gradientes prepagables, basta con multiplicar por (1 + i) el valor actual o futuro (según el caso) del gradiente pospagable.

5.2. Anualidades perpetuas o costo capitalizado

Son anualidades que tienen infinito número de pagos, en la realidad, las anualidades infinitas no existen, todo tiene un final; sin embargo, cuando el número de pagos es muy grande asumimos que es infinito.

Este tipo de anualidades son típicas cuando colocamos un capital y solo retiramos intereses.

Para el cálculo de la anualidad en progresión geométrica perpetua operamos, a través del límite cuando el número de términos de la renta (n) tiende a infinito. Siendo esto lo que caracteriza a una perpetuidad, de forma que el valor de los últimos flujos al descontarlos es insignificante, a saber:

Ingresando la variable C dentro del paréntesis, nos queda:

El término cuando n es muy grande hace tender su valor a cero por lo tanto el valor de la anualidad de muchos términos, llamada perpetuidad, la calculamos con la fórmula de la serie infinita:

Fórmula o ecuación de la serie infinita, sirve para calcular el valor actual de una perpetuidad, conociendo la tasa de interés periódica y la cuota.

Las perpetuidades permiten calcular rápidamente el valor de instrumentos de renta fija (VAP) por muchos periodos, «C» es el rendimiento periódico e «i» la tasa de interés para cada periodo. Ejemplos de perpetuidades, son las inversiones inmobiliarias en que existe un pago de alquiler por arrendamiento, las pensiones o rentas vitalicias, los proyectos de obras públicas, carreteras, presas, valuación de acciones, etc.

Para el mantenimiento a perpetuidad, el capital debe permanecer intacto después de efectuar el pago anual.

5.3. Gradiente geométrico

Esta serie corresponde al flujo de caja que cambia en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago. En la progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por un mismo número denominado razón de la progresión, representado por E.

5.3.1. Valor actual de un gradiente en escalera

Devuelve el valor actual de un gradiente en “escalera”, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales.

Un gradiente en escalera es aquel en el cual se presenta una serie de pagos iguales (por ejemplo cuatro cuotas mensuales) y al terminar ocurre un incremento y vuelve a presentarse la serie mencionada.

5.4. Valor futuro de gradientes

A partir del VA actual obtenido con las fórmulas respectivas, calculamos el valor futuro de una serie con gradiente, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente y el plazo.

El valor futuro de gradientes, tiene que ver con negocios de capitalización, para los cálculos partimos de cero hasta alcanzar un valor ahorrado después de un plazo determinado.

5.4.1. Valor futuro de un gradiente en escalera

Es una serie de pagos iguales que al terminar tienen una variación y vuelve a presentarse la serie de pagos iguales.

El cálculo del VF de un gradiente en “escalera”, creciente o decreciente, es posible cuando conocemos la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. Estos gradientes también son de capitalización.

5.4.2. Pago de un gradiente

Es el primer pago de una serie con gradiente aritmético o geométrico, creciente o decreciente, que se obtiene conociendo la tasa de interés periódica, el plazo, el valor presente o el valor futuro. Presente en problemas de amortización y capitalización.

En los problemas de amortización, es posible utilizar el valor presente y valor futuro, ambos se pueden presentar simultáneamente, como es el caso del leasing en el cual debemos amortizar un valor inicial (VA) y al final del plazo pagar un valor de compra (VF) para liquidar la operación.

Al confeccionar las tablas de amortización, en los problemas de capitalización, como partimos de un valor ahorrado igual a cero, para conseguir un valor futuro no utilizamos el valor inicial.

5.4.3. Pago en escalada conociendo el VF

Utilizado solo para casos de amortización. Reiteramos que un gradiente en escalera presenta una serie de pagos iguales (por ejemplo 18 cuotas mensuales) y al terminar ocurre un incremento y vuelve a presentarse la serie mencionada.

Pago en escalada conociendo el VF, es calcular el valor de la primera cuota de un gradiente en “escalera”, creciente o decreciente, conociendo el valor actual amortizable, la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales.

5.4.4. Pago en escalada conociendo el VF

Utilizado solo para casos de capitalización. Permite conocer el valor de la primera cuota de un gradiente en “escalera”, creciente o decreciente, conociendo el valor futuro a capitalizar, la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales.

5.4.5. Tasa periódica de un gradiente

Conociendo el gradiente, el plazo, el valor de la primera cuota y el valor presente y/o futuro podemos obtener la tasa de interés por período de un gradiente. Aplicable para gradientes aritméticos o geométricos, crecientes o decrecientes y casos de amortización o de capitalización.