RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Rafael Eugenio Pérez Grave De Peralta
René Santos Pavón
Marjoris González López

CAPÍTULO IV: RESULTADOS DE UNA EXPERIENCIA

4.1 ¿QUÉ SIGNIFICA DOMINAR LA MATEMÁTICA?

Dominar la Matemática significa, en primera instancia  poder resolver problemas, no solo problemas tipos, sino también problemas que exigen pensamiento independiente, sentido común, originalidad, inventiva.

La primera y más importante obligación del curso de Matemática en la escuela, consiste en subrayar el aspecto metodológico del proceso de solución de problemas.
En ocasiones los estudiantes poseen los conocimientos teóricos necesarios para resolver determinados ejercicios y no pueden realizarlos, motivado porque no son capaces de aplicar lo conocido a una situación dada, es decir poseen el saber pero no el poder matemático.

En investigación realizada en una secundaria básica del municipio Jesús Menéndez en Las Tunas, se alcanzaron los resultados siguientes.

Se aplican 4 instrumentos con el objetivo de comprobar los conocimientos de los estudiantes sobre un mismo contenido a diferentes niveles (reproductivo y productivo).

Instrumento no 1

 

Columna izquierda

Columna derecha

A)Área del cuadrado de lado a

1) A =¶.r2

B)Área del círculo;

2) A =

C) Área del semicírculo.

3) A = a.b

D) Área total de la esfera.

4 ) A = =

E)Área de un triangulo rectángulo de catetos a y b.

5) A =

F)Área del sector circular, conocidos A y α

6) A = 6. a2

G) Área del rectángulo.

7) A =

 

8) A =

Instrumento no 2

Una esfera maciza de volumen igual a 113,04 cm3  y radio r=3 cm., se desea dividir en dos semiesferas y pintar una completamente ¿Qué cantidad de superficie debe ser pintada?

 Instrumento no 3

En la figura los puntos A, B, C, son puntos de la circunferencia ángulo ABC=900 ,
AB=6,0 dm, BC=8,0 dm. Hallar el área sombreada.

Instrumento no 4

ABCD es un rectángulo de área 32 dm2; DC//AB; DC tangente en T, a la circunferencia.
Calcule el área sombreada.
 
A continuación se muestran los resultados obtenidos en una muestra de 66 estudiantes.

Cada una de las barras representa un instrumento de los aplicados del 1 al 4, según se expone anteriormente.

Como se aprecia, en la primera actividad resultaron aprobados casi la totalidad de los estudiantes, demostrándose que poseían los conocimientos del contenido que luego usarían en el resto de los instrumentos, sin embargo los resultados de las evaluaciones 2, 3, 4, se comportaron alrededor  del 60 %. En el que se equivocaron hasta estudiantes de alto rendimiento en el grupo. 

Para el trabajo con los problemas en el municipio Jesús Menéndez de la provincia de Las Tunas, la comisión municipal de Matemática preparó a los docentes representantes de las diferentes enseñanzas, para enfrentar la resolución de problemas matemáticos desde la óptica de las habilidades, fue muy positivo el uso de ellas pues estas constituyen algoritmos generales que guían la actividad de los estudiantes.

Según Álvarez, C. (1999), las habilidades, que forman parte del contenido de una disciplina, caracterizan en el plano didáctico a las acciones que el estudiante realiza al interactuar con el objeto de estudio con el fin de transformarlo, de humanizarlo.

Para psicólogos como Petrovsky, A. (1980), se define la habilidad como el dominio de un complejo sistema de acciones psíquicas y prácticas necesarias para una regulación racional de la actividad, con ayuda de conocimientos y hábitos que la persona posee.

Luego de haberse generalizado en el territorio, el estudio de los significados de las operaciones, según  Campistrous Pérez, L.  y C. Rizo Cabrera, (2002), llegándose al acuerdo  de utilizar habilidades ya trabajadas y considerar cinco o seis  pasos para la resolución de problemas como guía de orientación, en los cuales se prepararon los representantes de cada director de las escuelas del municipio que eran miembros de la Comisión Municipal de Matemática. Este conocimiento sirvió para instrumentar el la base lo orientado y llegó así, a todos los maestros y profesores del territorio para su aplicación el las aulas.

4.2. PROCESO TOTAL DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Resulta de gran importancia en la resolución de problemas motivar la actividad de forma adecuada, lo que resulta a veces muy difícil para algunos docentes pues en esta fase no podemos adelantar nada que pueda afectar el pensamiento lógico y la creatividad del estudiante.

Este momento depende un tanto de la edad y grado en que está el estudiante y las características que tienen de forma grupal y/o individual, las que puede variar de un grupo a otro.

Se consideran aquí dos etapas para esa motivación las que pudieran ser antes de conocer en texto del problema y luego de conocer este.

Para ilustrar el primer momento pudiera pensarse en ofrecer datos o hacer un poco de historia acerca de las diferentes situaciones que ofrecen los problemas, las que como se conoce son precisamente alguna experiencia social que nos ha antecedido y que si se profundiza en ello por el docente: se elevará la cultura general integral de los alumnos y se familiariza  con el texto, sirviendo de motivación.

Un problema puede referirse a costumbres de habitantes de algunas regiones, razas, tribus u otras colectividades y esto se puede fundamentar o ilustrar de alguna forma, pero pudiera hablarse de procesos, fenómenos, algoritmos, en fin de cualquier rama de la ciencia, la  técnica o la práctica social.

Ejemplo.

Analicemos el siguiente problema, tomado de Álgebra Recreativa, Y. Perelman, 1975 

¡Caminante!, Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡OH, milagro!, Cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vellos cubrióse su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la de su padre. Y con profunda pena descendió a la sepultura,  habiendo sobreviviendo cuatro años al deceso de su hijo. Dime cuántos años había vivido Diofanto cuándo le llegó la muerte.

Antes de proponerles este problema a los estudiantes, el docente pudiera hacer un comentario acerca de ciertas costumbres que ha existido de escribir frases, signos u otros grabados en las lápidas de las tumbas con diferentes significados, haciendo ahora una breve historia de esta práctica, el profesor puede lograr una motivación y cultura adicional.

En el caso que nos ocupa se puede motivar planteando a los estudiantes la siguiente situación: se conoce muy poco acerca de la vida de Diofanto, notable matemático de la antigüedad; todo lo que se conoce acerca de él, ha sido tomado de la inscripción que se encuentra en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático, veamos el siguiente problema mediante el cual podemos conocer algunos datos biográficos de este gran matemático.      

Un segundo momento lo pudiera potenciar el propio análisis e interpretación del texto del problema y en fin cada uno de los pasos que a continuación se van a tratar, apoyados por la actividad del docente que siente emoción por la asignatura Matemática, que la disfruta y la imparte con esos mismos sentimientos.

Al referirse a la motivación inicial de la clase, Pérez Grave de Peralta, R. y R. Peña Santos, (2007) expresaron que esta atmósfera emocional que se crea aporta una expectativa en función del resultado final, y sobre quién o quiénes de los compañeros de aula que han ofrecidos sus criterios en los momentos iniciales del encuentro, estarán más cerca de la solución correcta, esa espera productiva genera motivos por alcanzar su desenlace.
Estas condiciones iniciales se pueden mantener todo el tiempo de la clase pero incorporando otros elementos propios de la actuación del docentes, que no se abordarán en estos momentos.

Este estado es altamente positivo para el aprendizaje, porque contribuye al desarrollo de la imaginación, la reflexión y el análisis, destacándose que la atención no puede ser impuesta, debe ser voluntaria, y esta sólo se produce cuando el organismo lo considera como algo vital.

Existen condiciones propias del problema que favorecen la motivación, tales como la alusión de su entorno más cercano, la utilidad práctica, la posibilidad de que el estudiante pueda resolver problemas propios muy similares al que se resolvió en el aula, pueden existir otras donde se aborden elementos que tengan relación con el deporte u otras actividades que sean del agrado de los estudiantes.

Interpretación del texto del problema

En este paso se identificó  la interpretación del problema, siguiendo las mismas indicaciones que las orientadas por la asignatura Lengua Española o Español Literatura u otros nombres que adoptan las asignaturas propias de la lengua materna, de acuerdo a los programas establecidos por los Ministerios de Educación y de Educación Superior, de esta manera no se enseña a los estudiantes varias formas de interpretación.

Entre otras:

 

El resumen es una técnica de redacción muy utilizada a escala mundial que permite trasmitir gran cantidad de información de forma abreviada, acerca de la extensión y la técnica del resumen López López, M.  (1989), nos expresa que mientras mayor es la necesidad de brevedad, más exigente tiene que ser la búsqueda de ideas fundamentales a que puede reducirse un escrito. La extensión de un resumen depende del objetivo que se persigue. Puede ser desde un simple título hasta varias oraciones o párrafos.

La técnica para resumir comprende dos pasos fundamentales: uno la jerarquización de las ideas contenidas en el escrito y otro la integración de las ideas, es decir, lo que pudiéramos llamar un análisis primero y una síntesis después.

Jerarquización de las ideas

En esta fase preliminar tenemos que leer y analizar el documento o comunicación y encontrar la idea central de cada párrafo, para darle una prioridad de acuerdo con su importancia.

Integración de las ideas

En esta fase integraremos de nuevo las ideas jerarquizadas, seleccionado de ellas solo las indispensables para el objetivo que nos proponemos.

En ocasiones se aprecia que al realizar los resúmenes los estudiante, prácticamente repiten todo el contenido del mensaje, pues no saben como reducir las ideas que se plantean, usando solo las de mayor prioridad.

Resulta fundamental desarrollar en los estudiantes la habilidad de describir para la garantía de esta síntesis que solicitan los docentes. Al respecto plantea la propia autora: describir es representar, dibujar, pintar usando el lenguaje de modo que dé cabal idea del objeto. Se describen objetos, hechos, procesos (reales, sus representaciones), experimentos, vivencias y lo que se percibe o recuerda, se siente, se piensa o imagina.

 Análisis de las vías de solución

Según Pérez, R. y R. Peña, (2007), citando otros autores, expresan: la habilidad analizar no es más que el proceso en el cual lo que se consideraba como un todo indivisible, se considera compuesto por diferentes partes, concentrándose la atención en dichas partes. Descomponer en elementos integrantes del todo.

Silvestre Oramas, M. (1999),  manifestó que cobra un mayor significado el valor de conducir al alumno a la búsqueda de los elementos internos, esenciales al estableciendo de relaciones, nexos entre los elementos que se van poniendo de manifiesto; la visión del todo, de las partes y del todo enriquecido después de la profundización en el conocimiento; la revelación de las causas, de las cualidades que le confieren el valor y su valoración; el conocimiento del origen y desarrollo de los objetos, el establecimiento de relaciones entre lo que es el objeto de estudio y otros fenómenos vinculados; la formulación de suposiciones, la previsión de situaciones, la solución de problemas, la aplicación del conocimiento a la práctica social.

Se pudo comprobar según esta experiencia, lo valioso que resulta en este paso, reconocer primero de cuántas formas o caminos se puede llegar a lo buscado, sin importarles un tanto los datos que le han ofrecido en el problema. Ejemplo si tratara de determinar la edad de una persona: pensar ¿Cómo conocer la edad de una persona, olvidando los datos?, pudiera pensarse entonces, si se conoce la fecha de nacimiento, si se conoce la edad de  otra persona y una relación cualquiera entre esta y la que se busca, si alguien la conoce y nos la dice, si lo preguntamos a la propia persona, en fin el debate colectivo puede conducirnos a un listado grande de posibilidades, muy superior a un análisis más individual.

Este listado como sin querer ha conducido a un conjunto de posibles soluciones de dicho problema, ¿Cómo continuar?, ahora se impone revisar cuáles de esas situaciones pueden constituir soluciones, según los datos ofrecidos en el texto del problema, es decir vale la pena revisar, con qué se cuenta, en este caso serian: ¿Se da en el  texto del problema la fecha de nacimiento de la persona?, ¿Se da la edad de otra persona y una relación con la que se busca? Y así cada una de ellas. En todos los casos en que se tiene esa información en el texto del problema, se tendría una solución del mismo, de no estar implícita o explicita, se debe desechar como solución.

Este procedimiento hace suponer diferentes vías de solución o caminos para llegar a la respuesta,  las que pueden variar según el dominio y capacidad del estudiante y luego se hace un análisis de los datos en busca de lo que se necesita para aplicar una de las soluciones previstas.

¿Está lo que necesito para seguir esta vía?, si no está se debe desechar y si está entonces  se debe pasar al paso siguiente.

No se puede desechar algunas  alternativas conocidas en la resolución de problemas como puede ser buscar analogías con otros ya resueltos, estrategias de trabajo hacia atrás, casos extremos, argumentos de paridad, principio de las gavetas o de Diriclet, el tanteo inteligente, y otras.

La elaboración de gráficos, diagramas, etc. representa un aporte importante a la búsqueda de la vía de solución pues se logra visualizar situaciones a veces muy abstractas o en una posición difícil de observar lo que se describe, con cierto acercamiento a la realidad, en ocasiones resulta conveniente hacer una representación de la parte del objeto desde un ángulo o perspectiva donde sean más evidentes aquellas cualidades que se desean mostrar.

El aporte de la vista al aprendizaje, Según (González C. V. 1990), la efectividad del aprendizaje a través de los órganos de los sentidos es aproximadamente un 83% por la vista, un 11% por lo que se escucha y un 6% por el gusto, el tacto y olfato, de aquí la enorme superioridad de los medios audiovisuales con que se cuentan en las sedes universitarias y otros centros educacionales.

El camino dialéctico del conocimiento, tal y como lo planteó  Ilich Lenin, L. (1975), en su teoría, acerca del tema expresa…” de la contemplación viva al pensamiento abstracto y de aquí a la práctica“…

La generalización juega un papel muy importante en la resolución de problemas, pues estos son, esencialmente, una aplicación de un concepto, ley, procedimiento etc. que se estudió con anterioridad. En ocasiones un estudiante resuelve de forma correcta un problema y luego no es capaz de resolver otro con igual modelación, solo porque no posee una generalización sólidamente formada.

Concepto, según Davýdov, V.V. (1982), es un pensamiento en el que se refleja los rasgos comunes y esenciales de los objetos y fenómenos de la realidad…”Todo concepto se forma en nosotros sólo en unión de la palabra que le corresponde”

Continúa planteando que,  rasgos esenciales se llama a los indicios que necesariamente pertenecen a los objetos de un género determinado y los distinguen respecto a los objetos de los demás géneros.

Muy relacionado con esto aparece la generalización acerca de lo cual expresó Davýdov, la operación de generalizar el concepto es el procedimiento lógico en el que se destacan los rasgos comunes de un grupo de objetos….”generalizar es efectuar el transito mental desde los indicios aislados y singulares de los objetos hasta los indicios pertenecientes a grupos enteros de dichos objetos”

Modelación de la vía de solución

La habilidad modelar expresa la utilización, comprensión y elaboración de representaciones concretas o gráficas de la realidad. Utilización de signos, símbolos, esquemas, planos.

En este tercer momento se deberá escribir en forma de pasos, diagramas, gráficos, tablas y otras formas, la solución del problema según las vías escogidas de acuerdo a las posibilidades planteadas en el texto o que se pueden inferir de él.

Entre las herramientas con que cuenta el estudiante para la modelación, juegan un papel fundamental los contenidos matemáticos ya adquiridos: operaciones de cálculos, ecuaciones, sistemas de ecuaciones, y otras. Sin olvidar la influencia que tiene la interdisciplinaridad, conocimientos de Física, Química, Biología y otras

Si se escogió más de un camino como factible, el problema tiene más de una solución y se modelarán todas, en este paso, con todos los detalles que sean comprensibles para otras personas si necesitamos mostrar el trabajo a los compañeros o al docente.
Resulta bueno fundamentar cada uno de los pasos que se dan para su mejor comprensión y además que no se olvide el por qué realizamos determinada acción.

Valoración de la respuesta

Valorar: juicio con el que se caracteriza un objeto, hecho o fenómeno a partir de patrones ya establecidos en una región o sociedad, tiene un carácter histórico. Es un criterio personal que en esencia parte de las categorías del bien y el mal. Elaborar juicios en correspondencia con los objetivos.

Es muy importante aquí, primero comprobar la respuesta en el texto del problema ¿Cumple las condiciones del problema?, no significa comprobar un calculo o posible ecuación, inecuación u otra forma de modelación de la vía, pues los cálculos pueden estar bien, pero la modelación estar mal y por tanto la respuesta.
 
Por ejemplo  se modela con una ecuación mal concebida según el texto, pero se resuelve correctamente, al comprobar, solamente en la ecuación, se pudiera llegar  a concluir que esa es la solución de forma equívoca. 

El signo del resultado es importante, una edad no pudiera ser negativa, las cantidades muy pequeñas o demasiado grandes para lo que se ha destinado, velocidad de un caballo 1000 Km. por hora, un avión a 20 Km. por hora  durante todo un vuelo lejano, un vehiculo  más rápido que la velocidad de la luz, una parte menor que un todo (en algunos casos donde no procede), en fin, existen muchas condiciones que pudieran analizarse, como respuestas ilógicas, o no factibles según la práctica.

Las respuestas en Matemática, están condicionadas en ocasiones por otros elementos además del encontrado, ejemplo, en trigonometría se encontró un valor de un ángulo en una ecuación y la respuesta depende de la periodicidad de la función y de las condiciones declaradas para el dominio.

Ejemplo.

Sen(x) =   

X = 300 +k.360o   , si se tratara del primer cuadrante, pero como la variable aquí tiene dominio R, tiene como solución además, 150o +k.360o  

Los docentes deberán preparar a los estudiantes en la realización de valoraciones de trabajos de  compañeros de otros grupos, del propio grupo  y como colofón de esta práctica, la realización de valoraciones del propio trabajo, es decir las autovaloraciones como paso final y máxima aspiración, acerca de esto, (Rico, M. 1998) , plantea “enseñar al alumno a realizar el control y la valoración de sus trabajos supone, en primer lugar, la comprensión por este de la importancia de dicha actividad. Se hace necesario en le trabajo con los diferentes ejercicios o actividades de las asignaturas, analizar y explicar a los escolares la importancia que tiene para ellos aprender a controlar y valorar el proceso y los resultados de sus trabajos, cómo esto le permite alcanzar una mayor calidad”.

Continua diciendo, “a partir de esta motivación, se analizan las exigencias que deben tenerse en cuanta para el control y valoración de las tareas”.

Dice la propia autora que “En el proceso de formación de esta habilidad resulta de vital importancia que los alumnos se inicien en el trabajo de control y valoración a partir de los trabajos de sus compañeros. Numerosas investigaciones han demostrado como esto constituye una premisa, un momento que antecede al logro del control y la valoración de su propio trabajo ya que precisamente resulta más fácil para el escolar someter a un análisis crítico el trabajo del compañero que el suyo. Precisamente sobre la base de ello, aprende a realizar un análisis objetivo, utilizando las exigencias del modelo y gradualmente irá llevando a su propio trabajo este análisis y lo que es más importante, ante cada nueva tarea, tendrá en cuenta en cumplimiento de las exigencias aprendidas y es ahí donde se muestra precisamente la acción de estas habilidades, es decir, en la medida en que el alumno aplique correctamente las exigencias en las nuevas tareas que realiza”.

Recrearse con la solución del problema

Este paso se utiliza para hacer una retrospectiva del problema primero y de la habilidad para resolver problemas después. Pueden hacerse valoraciones colectivas como estas ¿Qué resultó más fácil en cada uno de los cuatro pasos? ¿Qué resultó más difícil? ¿Qué estudiantes pensaron en soluciones lógicas? ¿Qué soluciones fueron más racionales? ¿Para qué otras situaciones puede servir este problema? ¿Qué otros problemas similares han resuelto ustedes? ¿Qué aportes incorporaron a sus habilidades personales para resolver problemas? ¿Qué se debe mejorar al resolver otros similares?

El problema y su solución debe ser altamente provechoso para los estudiantes; pensar en su posible generalización prepara a los alumnos para la solución de problemas similares y otros ya resueltos que se modelaron de igual forma, prepara para la vida y la profesión futura, por eso es muy importante su contribución a la consolidación de saberes, es el nexo entre la sociedad y la escuela.

Aquí se debe estimular todo aquel que se esforzó y/o alcanzó un resultado positivo por modesto que sea, destacar los trabajos más completos, inspirar confianza al analizar las diferentes vías que existen y que están al alcance de todos, lo importante de la constancia en el trabajo.

Resulta muy importante promover la comunicación entre estudiantes y entre estos y  el docente como vía para emitir todos los criterios acerca de este proceso de enseñanza aprendizaje.

Al decir de Fernández, A. (2000), el proceso de enseñanza-aprendizaje es esencialmente interactivo y comunicativo, de intercambio de información, compartiendo experiencias, conocimientos y vivencias que logran una influencia mutua en las relaciones.

Se debe destacar que estas preguntas y etapas no constituyen un algoritmo de trabajo en la resolución de problemas, sino que conforman una guía para la acción, una orientación sobre como proceder, no se trata de un conocimiento aislado que los estudiantes deben adquirir, sino una base orientadora de la acción en la resolución de los problemas. No se resta con esto, la creatividad de los estudiantes, los que pueden mover el pensamiento y la acción en función de la búsqueda de las mejores alternativas y las experiencias más cercanas adquiridas en la realización de este tipo de ejercicio tan importante para el desarrollo del pensamiento lógico.

Un buen debate puede aportar ideas y puntos de vistas muy diversos acerca de las experiencias individuales si se sabe manejar correctamente.

Se prevén cuatro etapas para el desarrollo de un debate, según lo expuesto por
(Del Pino, J. L. 2005):

1. Preparación previa del profesor y los estudiantes.
2. Presentación de la temática u objetivo del debate.
3. Desarrollo de la discusión.
4. Conclusiones y propuestas de continuidad de aprendizaje.

El propio autor recomienda algunos aspectos importantes para el éxito del debate en el grupo que se relacionan a continuación.

• Respetar el criterio ajeno.
• Exponer con claridad el nuestro y fundamentarlo.
• Escuchar con paciencia y relacionar unos criterios con otros.
• Interpretar lo que se dice leyendo lo implícito en las opiniones de otros.
• Intervenir disciplinadamente, sin interrumpir ni imponer nuestro criterio.
• Persuadir cuando sea necesario para llevar a las personas a una actuación justa y enriquecedora.

Saber discutir con respeto y cortesía, sin imposición, esto dará más prestigio y conocimientos sólidos.

Al decir de Chávez, J. A. (1992), el ilustre pedagogo cubano José de la Luz  Caballero en su lucha por enseñar a pensar a los cubanos hace más de cien años nos dejaba una enseñanza clara “empecemos dudando de todo, haciéndonos cargo de que nada sabemos”… Estas apreciaciones de Luz son muy importantes para su época, pues como apuntara (Rodríguez, C. R. 1974), cuando a Carlos Marx se le preguntó que cuál era su precepto favorito replicó “dudar de todo”, lo que nos establece un puente entre el racionalismo cartesiano y el materialismo que llega a nuestros días.

La realización de una valoración crítica y autocrítica del trabajo realizado, constituye una posibilidad de revisar estrategias y saber como determinar los errores cometidos y lo más importante aprender a erradicarlos.

Según  Rico Montero, P. (1998),  la valoración está muy relacionada con el control, pues se forma sobre sus bases, permite al alumno conocer el grado de correspondencia de los resultados obtenidos con respecto a las exigencias de las tareas, lo que determina la calidad alcanzada.

Se infiere que en este modelo semipresencial, donde el estudiante es autogestor del conocimiento, el fin y objetivo supremo del docente, es lograr que cada uno de ellos se autocontrole y autoevalúe, pues el profesor toma otro rol en el proceso de enseñanza aprendizaje: como orientador y trasmisor de estrategias válidas para alcanzar una mayor eficiencia en la adquisición del conocimiento y por tanto también se minimiza el tiempo de este para desarrollar estas dos actividades, las que de por vida deben asumir los aprendices.

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