CAPÍTULO I: LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS

1.1 DEFINICIÓN

Luego del primer contacto con el contenido de la enseñanza, se hace necesaria una etapa de fijación de este, para ello el profesor dispone de diferentes formas para alcanzar tal propósito. La Matemática como las demás materias, cuenta con diversas situaciones que presentan exigencias muy variadas.

Según Horst Müller, citado por (colectivo de autores cubanos, 1992). Se entiende por ejercicio en la enseñanza de la Matemática una exigencia para actuar que se caracteriza por:

• El objetivo de las acciones,
• El contenido de las acciones,
• Las condiciones para las acciones

El objetivo de todas las acciones en la resolución de un ejercicio es, en cada caso transformar una situación inicial (elementos dados, premisas), en una situación final (elementos que se buscan, tesis).

El contenido de las acciones en la resolución de un ejercicio está caracterizando por:

• El objeto de las acciones, que puede estar dado por los elementos de la materia matemática, (conceptos, proposiciones y procedimientos algorítmicos); la correspondencia entre situaciones extramatemática y elementos de materia matemática, y los procedimientos heurísticos (principios, estrategias reglas, etc.) así como medios heurísticos auxiliares.
• Tipos de acciones: identificar, realizar, comparar, ordenar, clasificar, reconocer, escribir, aplicar,  fundamentar, planificar y controlar.

Como condiciones para las acciones se encuentran en primer lugar las exigencias que el ejercicio plantea al alumno, expresada por el grado de dificultad del ejercicio.

¿Qué es un problema?

Según el breve diccionario de la Lengua Española, tomo III, (2006), se entiende por problema: hecho, acontecimiento o asunto que plantea una dificultad; suceso que hay que averiguar: problemas domésticos, problemas económicos, Tuvo muchos problemas para conseguir la plaza de asesor legal en esa empresa 2 proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado cuando se conocen algunos datos: Un problema de matemáticas, un problema de física, un problema de ajedrez. FAM. Problemática, problemático, problematismo.

Problema, según Mario O González, (1973), es toda proposición (generalmente de carácter práctico), en que se pide la determinación de ciertas cantidades (numéricas; geométricas, físicas, etc), mediante las relaciones que existen entre ellas y otras conocidas.

Estas cantidades conocidas, continúa González, se llaman datos;  aquellas cuya determinación se busca, incógnitas.

El propio autor, reconoce 6 partes en cada uno de los problemas matemáticos que se proponen a los estudiantes por parte de los docentes.

Enunciado: expresa el objeto del problema, consignándose los datos del mismo, sus incógnitas y de un modo más o menos explicito relaciones que los ligan estas con los datos. El enunciado debe ser claro y preciso.

Planteo: En los problemas algebraicos el planteo consiste en traducir en ecuaciones o inecuaciones las relaciones que existen entre los datos y las incógnitas. A veces es preciso comenzar por elegir las incógnitas por no aparecer estas claramente en el enunciado, o bien, porque sea conveniente usar otras distintas, pero de las cuales pueda pasarse fácilmente a las incógnitas.

Resolución: es la determinación del valor o valores de las incógnitas que satisfacen las ecuaciones establecidas, para ello se emplean los métodos que se estudian en álgebra.

Verificación de los resultados obtenidos: tiene por objeto comprobar si los valores obtenidos responden a las condiciones impuestas en el enunciado del problema.

Discusión: consiste en estudiar los casos de posibilidad o imposibilidad  del problema, determinando los valores entre los cuales pueden variar los datos. En la discusión suelen señalarse también los casos límite o notables que pueden presentarse en el problema.

Interpretación de los resultados: Depende de la rama del conocimiento humano en que el problema se hubiere presentado (geometría, mecánica, óptica, etc) y consiste en ver si todas las soluciones o solo algunas de ellas responden a la naturaleza de la cuestión. A veces una solución aparentemente absurda (por ejemplo, una solución negativa en un problema de edades, o de caída de proyectiles) puede recibir adecuada interpretación ampliando o generalizando convenientemente las hipótesis del enunciado

Un problema es, según Ballester Pedroso, S. [et alt], (1992), un ejercicio que refleja, determinadas situaciones a través de elementos y relaciones del dominio de las ciencias o la práctica, en el leguaje común y exige de medios matemáticos para su solución.

Según Silvestre, M.  (1999), la formulación de la tarea plantea determinadas exigencias al alumno, estas repercuten tanto en la adquisición del conocimiento como en el desarrollo de su intelecto.

Acerca de los problemas expresó, que el alumno deberá percibir en el problema contradicción entre lo que conoce y lo que le falta por conocer para encontrar la solución, así como que sienta el interés por resolverlo, pues de lo contrario este pierde el carácter de problema para el estudiante en cuestión.

Continua diciendo además que el educando puede considerar un problema a toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarlo, este concepto de problema es muy importante para la didáctica, pues en la selección de los problemas a proponer a un grupo de alumnos hay que tener en cuanta no solo la naturaleza de la tarea sino también los conocimientos que las personas requieren para su solución,  lo que es problema para una persona no lo es necesariamente para otra.

Si bien es muy importante la solución de problemas, es de gran valor la elaboración de estos por el alumno. El planteamiento de suposiciones y la búsqueda de soluciones constituyen una vía que puede estimular la formulación de problemas.

Para Majmutov, M.I. (1983), las categorías fundamentales de la lógica dialéctica, son los conceptos  reflejo y contradicción. Los conceptos más significativos emanados de los antes mencionados, que caracterizan el proceso de la actividad del hombre son las categorías de la teoría del conocimiento creatividad, problema e hipótesis, las que forman parte de la didáctica tradicional. Estos conceptos son al mismo tiempo psicológicos, reflejan las particularidades de la actividad mental del ser humano.

Los autores cubanos, Campistrous, L.  y C. Rizo, (1996), plantean que problema es una situación nueva que promueve la reflexión; el esfuerzo intelectual; se busca un resultado a partir de ciertos datos.

Según Labarrere, A. (1988), es toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarla

En todo ejercicio matemático podemos distinguir tres componentes:

Una situación inicial y una exigencia que obliga a transformarlo, la vía para pasar de la situación o planteamiento inicial a la nueva situación exigida, tiene que ser desconocida; cuando es conocida deje de ser un problema, así lo abordan Campistrous, L.  y  C. Rizo, (1996).

La palabra problema, de acuerdo con  Davidson, L. J.  y otros, (1987), se usa en el lenguaje común en su más amplia acepción, es decir, aquella en la que se expone una situación de la cual se busca un resultado a partir de ciertos datos. Para el profesor de Matemática esta palabra ha de tener un significado más preciso; un problema representará una verdadera situación nueva.

Sin dudas en un problema se juntan elementos muy valiosos para el desarrollo del pensamiento lógico y la actividad creadora del hombre: la propia estructura del material presentado, el contacto con el entorno y la práctica cotidiana y la aplicación del contenido matemático para la solución constituyen una trilogía, nada despreciable por todo buen educador. Si a estas premisas se le añade un adecuado manejo emocional, favorable al aprendizaje y la actuación voluntaria, augura un resultado muy positivo.

Luego de las definiciones anteriores se considera útil presentar a los estudiantes y docentes que se inician en estas prácticas, un esquema como el siguiente;

Se comparten los criterios dados por los autores mencionados, pero es importante destacar estos tres elementos pues de ellos dependen las definiciones de ejercicio formal y demostraciones, además de la de problema.

El ejercicio formal es aquel donde se aprecia una situación inicial y es evidente la vía de solución, quedando solamente como incógnita el resultado final, en este tipo de actividad,  solo se desconoce uno de los tres elementos que hemos escogido para la clasificación. Como ejemplo podemos citar:

Calcule

120: 7

Como situación inicial se dan dos cantidades y se expresa la operación que habrá que realizar para encontrar el resultado final.

La demostración por su parte será aquella en la que se ofrece la situación inicial y la final y se desconoce la vía de solución.

Ejemplo

Hoy es sábado, demuestre que dentro de 120 días será domingo.

En este caso se conoce la situación inicial que es el dato de que es sábado y se dan los días que deben transcurrir para que sea domingo, al estudiante le queda, buscar una vía para demostrar eso.

Ya se explicó que el problema exige mucho más, por ofrecer solo la situación inicial y el estudiante tiene que encontrar la vía y la situación final.

Un ejemplo pudiera ser.

Si hoy es sábado. ¿Qué día de la semana será dentro de 120 días?

En este caso no se conoce la situación final, que es el día de la semana (domingo), ni la forma para llegar a ese resultado.

Otros ejemplos
Ejercicios formales.

• Calcula la integral

       ∫ (X 3 + e 3X + X -1 – senx) dx

• Hallar las derivadas parciales de segundo orden

           Z = Y 2 e X  + X 2 Y 2 + 1
En ambos ejercicios se tiene la situación inicial y es evidente la vía de solución.

Demostraciones.

• Si  y = e4x + 2 e-x

Demuestre que se cumple la siguiente identidad
Y ´´´-– 13 y ´-–12 y = 0

• Dada la igualdad

Demuestre que para A= 1, la igualdad que se obtiene es una identidad para todos los valores admisibles de la variable.

Obsérvese que en ambos casos se ofrece la situación inicial y final, sólo se desconoce la vía de solución.

Problemas

1- Hallar el máximo volumen de una caja paralelepípeda, sin tapa superior, cuya área total es de 192 m 2   

2- En un cultivo de bacterias que se reproducen por bipartición cada hora, había inicialmente 400 de ellas; si el número total al cabo de X horas está dado por la función f(x) = 400. 2 X

Determine el tiempo que debe transcurrir para que existan 12800 bacterias

1.2 TIPOS DE PROBLEMAS

Según criterios de Hernández, A. G.  y A. M. Rojas, (1975),  los problemas están determinados por el número de operaciones que requieran y por la relación entre ellas.
Desde ese punto de vista se pueden clasificar los problemas en la forma siguiente:

Problemas compuestos (más de una operación)

Ejemplo de problema compuesto dependiente 

A la salida de una escuela, la mitad de los alumnos ha tomado dirección Este, la tercera parte de los que quedaban dirección Oeste; la cuarta parte de los alumnos al Norte, y 25 han quedado en la escuela. ¿Cuál es la matricula de la escuela si se sabe que ese día los ausentes eran los  de la matricula?

Presentes ese día X

Matricula de la escuela      M

Este

Oeste

Norte

Quedan en la escuela 25 alumnos

  Presentes ese día          X = 300 alumnos

Ausentes son  de la matricula, entonces los presentes serán , de la propia matricula

Basta encontrar de qué número es 300, los   .
. M = 300

           M= 340

La matricula de la escuela es de 340 alumnos

Un breve análisis nos conduce a que este problema es compuesto porque en el intervienen varias operaciones y es dependiente porque necesitamos hallar primero los presentes ese día para luego encontrar la matricula de la escuela.

Un problema compuesto independiente pudiera ser:

Un almacén de forma semiesférica que tiene un radio de 10  m. hallar el área del terreno que está ocupando y su volumen.

En este caso el cálculo del área no depende del volumen y viceversa, por lo que son operaciones totalmente independientes

Esta clasificación no es la única, hay autores que los clasifican atendiendo a otros criterios.

Véase la clasificación siguiente:

• Problemas de un paso y de más de un paso.

De este aspecto no se pondrán ejemplos aquí pues son válidos otros ya tratados.

• Problemas con datos innecesarios.

Como ejemplo se verá el problema que sigue a continuación
Todos los estudiantes del décimo grado de mi centro participaron en las BET, durante 15 días, de total de alumnos  trabajaron en una industria. El 80 % del resto en un organopónico y los 19 restantes, integraron la brigada para la reparación de la escuela.
¿Cuál es la matricula de décimo grado en este centro?
Se puede apreciar que el dato de 15 días no se utiliza, es innecesario 

• Problemas sin números

Son aquellos en los que se aprecian las mismas condiciones que el resto de los problemas (hay una situación inicial, no se conocen la vía de solución ni la situación final), pero sin ofrecer datos numéricos.
Se proponen ahora algunos ejemplos.

• Si se sabe el número de filas de un aula y las sillas que tiene cada fila ¿Cómo se puede saber el número de sillas del aula?
• Si se sabe el precio total de varias camisas  del mismo tipo ¿Cómo saber el precio de cada camisa?
• Se conoce que para confeccionar un libro se utilizaron p cifras básicas ¿Cómo pudo saber cuántas páginas tiene el libro?
• si conozco la edad actual de una persona ¿Cómo conocer?

La edad dentro de x años
La edad hace x años.
Este tipo de problema no es muy usado por los docentes en sus clases y tareas, perdiéndose aquí la posibilidad de que los estudiantes se dirijan a los procedimientos de solución de una forma diferente, demostrando haber comprendido el texto y las operaciones que deben intervenir. Precisamente la ausencia de los datos favorece su razonamiento lógico y frenan un poco la tendencia  a la ejecución que padecen los estudiantes.
En un experimento realizado en una escuela primaria se les propuso a un grupo de  alumnos un problema en el que se expresaba:
Si un campesino tiene 125 carneros y 5 perros. ¿Cuál será la edad del campesino?
Los alumnos luego de pensar unos breves minutos, comenzaron a trabajar, sólo una niña del aula no lo hizo.
Al comenzar el análisis del trabajo realizado la doctora interroga a los alumnos acerca de las respuestas y sus razonamientos, fueron sorprendentes los resultados cuando la mayoría del aula realizó una operación en busca de un número, sin previo análisis de lo que se da y lo que se pide, demostrándose la tendencia a la ejecución que se refería anteriormente. Los alumnos redujeron el problema a la realización de operaciones de resta, suma y división, es decir hallaron una cantidad como resultado de realizar un cálculo, en el debate se supo que no hicieron la multiplicación por que el número sería muy grande y una persona no puede vivir tantos años, pero las otras tres le conducía a una cantidad más pequeña y si las aceptaron, obviando todas las otras condiciones.

• Problemas con datos fuera del enunciado

Como se puede inferir en este tipo de problemas no aparece en el enunciado un dato que resulta necesario para su solución y que hay que buscar en otra fuente o tal vez debe conocerse de memoria.
Un ejemplo puede ser
Si una sortija de 1,25 cm3 de volumen pesa 48, 25 dg
¿Será de oro?
Cómo saber si es de oro una sortija de la cual conocemos su volumen y su peso, ¿Qué relación se puede establecer entre en volumen y el peso de un cuerpo?, claro que esto nos conduce al peso específico.
¿Qué es el peso específico?
Es el peso, generalmente en gramos, que posee un cuerpo por cada cm3 de volumen, pueden tomarse otras unidades pero estas están convenidas a nivel internacional.
Ejemplo
El peso específico del mármol es de 2,7 g/cm3; esto equivale a decir que cada cm3 de mármol pesa 2,7 g.
Existen tablas de peso específico, donde se expresa numéricamente el valor de determinados materiales o elementos: así podemos saber el peso específico del oro, la plata, el cobre, bronce etc.
Cómo resolver el problema anterior usando esta tabla
Si se convierten los 48,25 dg en gramos serán 4, 825 g

Al comparar con el peso específico del oro que es de 19,3 g/cm3
Se llega a la conclusión de que la sortija no es de oro
Un segundo ejemplo
Se sabe que un cuerpo de 10 cm3 de volumen pesa 25g ¿De qué material está hecho?
Aquí el procedimiento es similar
Se calcula el peso específico y se busca en la tabla de pesos específicos a que material corresponde
Un tercer ejemplo
En cierto lugar se escucha una descarga eléctrica producida por un rayo, seis segundos después de la caída del mismo. ¿A qué distancia de dicho lugar cayó el rayo?
En este caso será necesario conocer la velocidad del sonido que se puede saber de memoria o consultar otra fuente.
Al hablar de la clasificación de problemas se tienen muy diversos criterios que van desde los contenidos que sirven para la modelación de su solución, la forma de plantearlos en un texto o simplemente donde lo que predomina esencialmente, no es el texto sino un esquema o  situación gráfica, veamos este propuesto por Palacio, J. (2003)

Como se aprecia en este problema el texto es muy poco y no aporta mucho a la solución donde los números indican una ley de formación que se necesita descubrir y aplicar para resolver la situación planteada.

Otro ejemplo de ello es el problema que se plantea ahora.

Esteban, Manolo y Enrique se ponen a contar de tres en tres, diciendo cada uno, un número por su turno: Esteban dice 3, manolo dijo 6 y Enrique dijo 9… Y así sucesivamente. ¿Quién dijo 450? 

Otras situaciones que se presentan en los problemas es el hecho de esconder datos, los cuales pueden hallarse mediante cálculos o deducciones derivadas de otros elementos que  se dan en el problema. A veces hay datos que sobran.

El uso de la terminología de la asignatura o un lenguaje poco conocido por el estudiante, sin dudas complicará más la solución al no poder comprender algunas ideas o situaciones.

Es una característica de los problemas matemáticos que en ocasiones nos parece ser de un contenido y realmente se modela con otros, por ejemplo, problemas  geométricos que se modelan con un contenido algebraico, trigonométrico, geométrico o mixto.

Hernández, J.  (2002), presenta problemas de geometría del espacio en su obra ¿Cómo estás en Matemática?, donde se recoge desde la geometría, otros contenidos de la enseñanza preuniversitaria que representan objetivos a evaluar en los exámenes de ingreso a la Educación Superior.

Algunos ejemplos de esto se aprecian a continuación.

De una pirámide regular de base cuadrada, se conoce que su arista AB de la base es 4,0 cm. mayor que su altura OS y el volumen es 0,2 dm3.

Calcula el perímetro de su base.

Si consideramos que la altura de la pirámide está dada por x, entonces la arita de la base se podrá escribir como X + 4 (trabajando en cm.). En la fórmula del volumen se pueden hacer las sustituciones pertinentes y aparece la ecuación que necesitamos (0,2 dm3 = 200 cm3) , o sea 200.3 = (X + 4)2 . X

Donde 600= (X2 + 8X + 16). X que nos conduce a una ecuación de tercer grado dada por  X3 + 8X 2 + 16 X – 600 = 0 y que admite la descomposición en factores, aplicando la división sintética, (X – 6) (X 2 + 14X + 100) = 0. Llegamos a que únicamente X = 6 pues X2 + 14 X + 100 = 0 no tiene soluciones reales pues su discriminante D = -- 204 < 0. Ya podemos decir que h = 6 cm. y que a= 10 cm.

El perímetro de su base es entonces P = 4.10 = 40 cm. Ejercicios geométricos modelados a partir de la trigonometría

La trigonometría facilita en ocasiones la solución de problemas, pues con una mínima cantidad de datos, nos permite la búsqueda de otros necesarios para la solución; resulta sumamente importante la ley de los cosenos, que constituye una generalización del teorema de Pitágoras, por lo que se abre ahora múltiple posibilidades  por cuanto se puede trabajar con cualquier tipo de triangulo (no sólo el rectángulo como con el teorema de Pitágoras) y buscar diferentes elementos de estos, con seguridad y precisión.

Seguidamente se analiza un ejemplo de problema relacionado con un triangulo cualquiera, donde se busca un ángulo y sólo se dan relaciones entre sus lados por lo que se pudiera modelar haciendo uso de la trigonometría.

En el triángulo ABC se cumple que (a+ b+ c) (a+ b –C) = 3ab

Calcular

Se trata de encontrar un ángulo de un triangulo cualquiera, donde no se cuenta con datos numéricos, sólo relaciones entre sus lados.
Esto nos hace pensar en la aplicación de la ley de los cosenos por relacionar esta los tres lados y un ángulo de un triángulo cualquiera:
En este caso pudiera ser c2 = a2 + b2 – 2abcos β (I)
Trabajando en la relación dada
Se obtiene la igualdad a2 + 2 a b + b2 – c2 = 3 a b
En la igualdad aparecen los lados del triángulo ABC, elevados al cuadrado, lo que pude sugerir, despejar c2 , y se llega a la igualdad a2 + 2 a b + b2 – 3 a b = c2
Y reduciendo términos semejantes resulta a2 – ab + b2 = c2  (II)
Igualando las relaciones I y II se obtiene
a2 + b2 – 2 a b cos β = a2 – ab + b2   
Cancelando
--2 a b  cos β = – ab

¿Cuál es el ángulo cuyo coseno es ?
Según las condiciones del problema será 60º

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