4.3 EJEMPLOS DE PROBLEMAS RESUELTOS DONDE SE COMENTAN LOS CINCO PASOS DESCRITOS

Problema

Una columna de un muelle a orillas de un río está enterrada en el fondo del ríode su longitud. Tiene otra parte en el agua cuya longitud expresada en metros es numéricamente igual al cuadrado de la longitud de la columna disminuido en 24 unidades y la parte restante que mide 2 metros, está fuera del agua al aire libre. ¿Cuál es la longitud de la columna?

Interpretación del texto del problema

Se hace necesario en este paso, buscar los significados de algunas palabras que juegan un importante papel el texto, como pueden ser: columna, muelle, disminuida, de acuerdo con las características del grupo donde se trabaje pueden analizarse otras, de interés para la correcta comprensión del enunciado del problema.

La palabra columna debe significar para los estudiantes: viga, estaca, pilote que está clavado en el fondo del río con una posición vertical, la palabra muelle puede significar para los estudiantes una especie de resorte, por estar más cerca de su posible entorno, mas en esta ocasión se refiere a un embarcadero o punto donde atracan los botes o barcos, la palabra disminuido no significaría empequeñecido, es decir no se achica la columna, sino que si se le resta 24 unidades a su longitud total.

Si el docente no está al tanto de estos análisis con sus estudiantes o mejor aun los educa en la búsqueda de estos, se corre el riesgo de no comprender la situación planteada y por tanto no será posible una solución adecuada.

Cuando se llega a la segmentación del texto se concretan tres ideas que revelan la división de la columna o estaca en tres partes: una bajo tierra, otra en el agua y una tercera por encima, al aire libre. Obsérvese que se ha seguido la misma orientación que se ofrece en las asignaturas de la lengua materna para la comprensión de textos, lo que favorece esta actividad pues siempre se realiza de la misma forma, lo que hace que se cree una habilidad en los estudiantes para este importante aspecto de todo el que se autoprepara.

Luego de estas acciones el docente o el estudiante puede formularse la siguiente interrogante ¿Es necesario una figura de análisis?

En estos momentos los estudiantes están en condiciones de realizar una breve síntesis de la situación planteada en el problema, la cual puede realizarse sin la lectura del texto, solo describiendo con palabras propias, los elementos que se dan y lo que se debe buscar.

Una idea pudiera ser: el problema trata de una columna que se encuentra enterrada en el fondo de un río, de forma vertical por estar formando parte de un muelle, la cual está dividida en tres partes, una bajo tierra, una en el agua y otra sobresaliendo del agua, al aire libre, se dan algunas relaciones entre las partes determinadas y se quiere saber la longitud total de la columna.

Sin lugar a dudas, educar a los discípulos en la  realización de esta reformulación sintetizada, antes de emprender cualquier acción en busca de la vía, representa una garantía para la solución de todo problema matemático, no se podrá resolver bien el problema que se ha comprendido mal o que no se ha comprendido y es muy común observar el carácter ejecutivo de los estudiantes al resolver una situación planteada, sin previo análisis, con excesiva rapidez en busca del resultado. En ocasiones cuando se resuelve bien, se casan con una sola solución aun cuando esta sea la más laboriosa o complicada, precisamente por el afán de terminar rápido la tarea.

 Análisis de las vías de solución

Si se obvian  los datos, de primera instancia, se puede formular la siguiente pregunta ¿De cuántas maneras podemos obtener la longitud de la columna?

Luego de un debate con los estudiantes o un análisis particular si se resuelve  individualmente se puede concluir que la longitud de una columna se averigua de las siguientes formas:

• Midiéndola directamente
• Preguntando al constructor del muelle.
• Realizando una estimación.
• Conociendo la longitud de cada una de las partes en que se dividió imaginariamente y luego adicionado las longitudes de las partes.

Después de confeccionar este listado de posibles soluciones, se hace necesaria la búsqueda en el texto del problema, de los elementos que sustentan cada una de las vías propuestas. Así por ejemplo la primera solución no sería factible pues no tenemos contacto con la columna  que debemos medir, la segunda opción tampoco es posible si no conocemos al constructor, si fuese un problema real creado del entorno del los estudiantes,  esta sería otra vías de solución, la tercera puede hacerse si se hace una inspección en el lugar y se observa la columna, tal vez eso no es posible.

Al estudiar la cuarta posibilidad no se podrá desechar de inmediato, sin previo análisis,  como se hizo con las anteriores, pues habría que averiguar si es o no posible hallar la longitud de cada una de las partes reconocidas.

Según el texto una de las partes se conoce,  tiene 2 metros de longitud, ¿Qué se conoce de las otras partes?

La parte enterrada tiene  de su longitud total

La parte que está dentro del agua es numéricamente igual al cuadrado de la longitud total disminuida en 24 unidades.

Como se aprecia: se conoce una de de las partes y las otras dos están dadas por relaciones con la longitud total

Esto puede conducir a otra interrogante.

¿Cómo relacionar la longitud total y las partes integrantes?

La respuesta puede conducir a una posible ecuación de segundo grado.

 Modelación de la vía de solución

Si se declara la longitud total de la columna por la variable L, entonces del enunciado y la figura de análisis  anterior,  se expresaría
          
Según  se sospechaba en el paso anterior la solución puede estar en la resolución de una ecuación de segundo grado.

Si sumamos las tres partes integrantes de la columna resultaría la longitud total de la misma.

2+ L2 -24 +   L = L

Multiplicando por cinco y simplificando se obtiene

5L2 – 3L – 110 = 0

Descomponiendo en factores

(5L + 22) (L – 5) = 0

5L = - 22 no se admite

L = 5 solución.

Al aire libre 2 m

Dentro del agua 52 – 24 = 1m

Bajo tierra  . 5 = 2 m

Longitud total 2m+ 1m +2m = 5m

Valoración de la respuesta

En ocasiones una respuesta cumple, según el estudiante que resolvió el problema, todos los requisitos para ser aceptada como buena y sin embargo no lo es, esto sucede porque a veces se modela mal la solución pero se resulve bien y cundo se valora, cumple ciertas condiciones, es lógica desde el punto de vista de su aceptación de acuerdo a lo que se busca, no se trata entonces de que valorar la respuesta sea un método infalible para garantizar la veracidad de esta en todos los casos, de lo que se trata es de educar a los estudiantes en esta práctica, pues sin dudas con estos análisis pueden descubrirse errores que son evidentes, y mientras más reiteradamente lo realicen, aprenderán mejor a descubrir sus propias fallas, pues lo cierto es que una cantidad no despreciable de estudiantes no tiene este hábito, y si el de la premura, lo que hace que no se valora la respuesta de un  problema ni cuando se trata de un examen que puede  representar un pase de grado o enseñanza . 

Se puede partir del hecho de haber despreciado la solución negativa pues una longitud de esa naturaleza no puede tener ese signo.

El valor 5 fue el que se aceptó pero ¿Cumple con las condiciones del problema?

En el fondo del río  . 5 = 2 m

Lo que permanece dentro del agua  52 – 24 = 1m

Al aire libre 2 m

La suma de los tres pedazos imaginarios nos da 5m, es una respuesta factible, pues es lógica por el signo y por módulo.

Todas estas condiciones hacen sospechar que la respuesta es correcta.

Por tanto la longitud de la columna que está en el muelle con las condiciones descritas es de 5m

 

Recrearse con la solución del problema

En este momento se hace necesario una retrospectiva reflexiva acerca de cómo se actúo de forma individual y/o colectiva en el enfrentamiento al problema, destacando las mejores formas de pensar y actuar, lo que puede variar de un colectivo a otro.

Puede hacerse un análisis acerca de lo que significó para los estudiantes al solucionar el problema, la búsqueda de los significados de las palabras: muelle, columna, disminuida, ¿Qué aporte hizo a la comprensión y luego a la solución?

Otro aspecto importante fue la construcción de la figura de análisis, la cual ofrece una mejor perspectiva de la situación planteada al poder visualizarse.

En este problemas se ofrece un todo que se ha dividido imaginariamente en varias partes y esas partes guardan relaciones con el todo, se puede generalizar una idea: es posible encontrar las partes de un todo y/o el todo si existen relaciones de esas partes con el todo, y se puede sospechar su modelación a través de una ecuación.

El todo en este caso puede representar una finca dividida en cuartones o parcelas, un almacén compuesto por varios estantes, cantidad de dinero de una persona que lo distribuye a varias de ellas.

Problema número dos

Tomado de álgebra recreativa, (Perelman, Y. 1975),  y transformado su texto para acercarlo a nuestros días.

Un burro y un caballo cargan pesados sacos. El caballo se queja de la carga que le ha tocado y el burro le dijo; si yo te doy uno de mis sacos, tendríamos la misma cantidad, pero si yo tomara un saco de los tuyos mi carga sería el doble de la tuya. ¿Cuántos sacos lleva cada uno?

Interpretación del texto del problema

A simple vista el problema no contiene palabras de significados desconocidos, aunque esto es muy relativo, pues estaría en dependencia de las características del grupo de estudiantes a los que se les proponga.

Al efectuar la o las lecturas se destacan dos expresiones muy significativas para la comprensión del texto que son: la misma cantidad y el doble de la tuya, pues establecen relaciones importantes entre las cargas de los animales que dialogan.

Si se realiza una síntesis del enunciado pudiera expresarse entre otras cosas: de la conversación entre el burro y el caballo, se puede inferir que el burro está más cargado que el caballo y se trata entonces de conocer cuántos sacos lleva cada animal

Análisis de las vías de solución

Se comenzará como el ejemplo anterior por preguntar ¿De cuántas maneras podemos averiguar la carga que lleva cada animal?

Se puede concluir:

• Si se realiza un tanteo inteligente, probando parejas de números hasta encontrar la que cumple simultáneamente ambas condiciones.
• Se puede sospechar que mediante una ecuación lineal pueda encontrarse, pues existen relaciones entre las cargas que se buscan.
• Tal vez pueda modelarse mediante un sistema de ecuaciones lineales de dos variables y dos ecuaciones. 

 

Ahora se trata de buscar en el texto del problema todos los elementos que propicien la factibilidad de una o  más vías de las expresadas.

Tanteo inteligente

Se establece una relación directa entre las dos cargas, las que deben cumplir una doble condición al expresar las cantidades respectivas, por lo que se puede pensar en una tabla como la siguiente.

caballo	burro	Valoración de la alternativa
1	3	Si el burro da uno, tiene igual cantidad, pero si el caballo cede uno, el burro no tiene el doble.
2	4	Ya es el doble la del burro, por tanto si se hace lo expresado en el problema, no se cumple ninguna condición.
3	5	Si el burro da uno tienen la misma cantidad, pero si es el caballo es el cede uno, el burro no tendría el doble.
4	8	En este caso se da la misma situación que la fila dos
5	7	Obsérvese en este caso que si el burro le da uno al caballo tiene igual cantidad, pero si el caballo es el que da uno al burro, este  tendrá el doble. Por tanto esta será la posible solución pues cumple simultáneamente con las dos condiciones

  
Ecuación lineal

Se declaran las variables

Se designa la carga del caballo por la variable X

Y la del burro por X + 2

Con esta condición inicial se garantiza que si el burro le da uno de los sacos al caballo, entonces tendrían la misma cantidad.

Ahora se trata de buscar los números que cumplen las dos condiciones y para ello se plantea una ecuación que cumpla con la segunda condición a partir de lo expresado como primera condición.

Si el burro cede un saco entonces tendría X + 2 – 1

Y esto representaría que el caballo lleva X + 1 sacos

Pero cuando esto sucede entonces la carga del burro es el doble de la del caballo.

¿Cómo lograr una igualdad de ambas expresiones?

(X + 2) + 1 = 2 (X--1)

X + 3 = 2 X – 2

X = 5 Sacos que lleva el caballo

Como el burro lleva dos sacos más llevará 7 sacos.

Sistema de dos ecuaciones en dos variables

Declarando variables

Carga que lleva el caballo X

Carga que lleva el burro Y

A partir del enunciado se obtiene el siguiente sistema

Cuyas soluciones son X = 5; Y = 7

Valoración de la respuesta

El resultado parece ser lógico pues se habla de sacos y son dos cantidades positivas y además factibles para una carga de un animal, si la cifra fuera muy grande, digamos 20 sacos, no sería adecuado a la práctica.

Las dos cantidades cumplen con las condiciones del problema, pues si a 7 se le resta uno y se le suma a 5 se obtiene 6 en cada caso. Si a 5 se le resta uno y se le adiciona a 7 se obtiene 4 y 8, cumpliendo con la otra condición de que uno sea el duplo del otro.

Recrearse con la solución del problema

Se puede destacar la existencia de tres vías para arribar a la respuesta, así como la validez de cada una de ellas desde el punto de vista matemático, con esto se asegura un tanto, lo accesible del problema para los diferentes tipos de estudiantes que tiene el grupo y que de haberse analizando una sola, los alumnos con dificultades pueden pensar que dicho problema no está al alcance de ellos.

Otro análisis importante lo constituye una disección a las tres vías: el tanteo inteligente propicia a los estudiantes de menos posibilidades académicas llegar a un resultado correcto, pues se reduce al trabajo con números pequeños y cálculos elementales, probando en cada pareja el cumplimiento de dos condiciones simultáneas.

La ecuación lineal pudiera ser la vía más compleja y difícil y es importante destacar que la declaración de las variables juega un papel decisivo, pues se garantiza en ella la primera condición del problema (caballo X y el burro X + 2), puede observarse que si el burro le cede uno al caballo tendrían la misma cantidad, entonces se trata de que la ecuación que se plantee cumpla con la segunda condición,  es decir hay que suponer que en  las expresiones consideradas se cumple, que  si el caballo le da un saco al burro, este tendrá el doble (X + 2) + 1 = 2 (X – 1), esta igualdad ahora cumple con las dos condiciones planteadas.

En el sistema de ecuaciones lineales basta con declarar la carga del burro por una variable y la del caballo por otra (caballo X y burro Y), a partir de aquí el sistema se forma utilizado las dos ideas básicas o condiciones del problema es decir, el caso en que se igualan y el caso en que se duplica una con respecto a la otra, lo que expresado algebraicamente sería Y – 1 = X + 1  y además   Y + 1 = 2 (X – 1)

Este problema puede aportar a la estrategia general de resolución de este tipo de ejercicio tan completo y al desarrollo de las habilidades correspondiente, en la medida que el docente sea capaz de hacer reflexiones colectivas con los estudiantes para inspirar confianza y perseverancia en estos, mostrando un amplio abanico de posibilidades válidas en la solución de este tipo de actividad tan rechazada por un número importante de alumnos.

4.4 ALGUNAS CONSIDERACIONES FINALES ACERCA DEL DESARROLLO DE HABILIDADES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

• No sería adecuado plantearle a los estudiantes problemas que aborden solamente el contenido que se está impartiendo en ese momento, sino incluir otros de temas ya abordados, de lo contrario se tiende a mecanizar las soluciones al saber que se habrá de modelar según lo que se trabaja.
• Es importante mover lo dado y lo buscado, es decir ofrecer como datos en algún momento lo que fue encontrado en otros problemas, así como cambiar las posiciones de los objetos y cuerpos que se utilizan.
• En la etapa de comprensión del problema es importante desarrollar en los estudiantes, habilidades para realizar una síntesis de lo tratado en el problema usando para ellos palabras propias.
• Resulta importante que los docentes den tratamiento a al vocabulario matemático y en especial a algunos términos que por su uso frecuente deben ser de dominio pleno de los estudiantes: aumentado, disminuido, duplo, triplo, mitad, tercera parte, bisecan, excede en, razón entre, minimizar, maximizar, equipartir, otros.
• Prestar gran interés a los significados de las operaciones aritméticas por su incidencia en la modelación de solución de problemas desde la enseñanza primaria hasta la universitaria.
• Es necesario ofrecer más importancia al desarrollo de la vía de solución que al resultado de esta, como forma para crear en los estudiantes un pensamiento lógico y creativo.
• Los seis pasos para resolver problemas que se proponen en este trabajo constituyen una base orientadora general para la acción y aunque no es necesario que la misma se escriba con todo rigor, si es fundamental su utilización reiterada y obligatoria, fundamentalmente en los primeros grados.
• Pedir a los estudiantes que elaboren problemas cuya solución conduzca a los contenidos ya recibidos.
• Proponer problemas con datos innecesarios, datos que falten, datos que se puedan inferir de la vida, con una, varias o infinitas soluciones, sin solución.
• Ocasionalmente el docente puede plantear problemas resueltos, en algunos casos de forma correcta y en otros incorrectamente, con el objetivo de realizar un análisis acerca de la solución presentada, en el debate se corrigen los errores y se fundamentan los pasos y acciones emprendidas, así como otras vías posibles.
• Es muy importante proponer problemas a los estudiantes como motivación de clases o partes de estas o unidades del programa, los problemas son además una forma de consolidación de mayor exigencia y permiten variar las actividades.
• Incluir dentro de la evaluación frecuente y final, con carácter obligatorio, problemas relacionados con los contenidos tratados.  

Todas estas estrategias de trabajo a seguir con la resolución de problemas matemáticos son perfectamente válidas para su aplicación en las Sedes Universitarias Municipales, pero no cabe dudas que en este modelo semipresencial el tiempo de que dispone el profesor es limitado para crear habilidades sólidas en los estudiantes relacionadas con esta actividad tan importante para la asignatura y la vida. Se precisa entonces la importancia concedida a las enseñanzas precedentes en la creación y desarrollo de formas de actuación lógicas y productivas al analizar y resolver  problemas matemáticos, de forma tal que durante los estudios universitarios, se usen ya para llevarlos a la práctica cotidiana y profesional.

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