4. Una Reseña Histórica del Currículo de Formación del Profesorado de Matemática en el Período 1964-2001.

En Particular una de sus Disciplinas:

la Geometría y sus Demostraciones

MARÍA DE LOURDES BRAVO ESTÉVEZ

UNIVERSIDAD DE CIENFUEGOS, CUBA.

Al Decano de los Decanos,

al formador de profesores,

al compañero del Departamento de Matemática,

al extrañable amigo.

INTRODUCCIÓN

El vocablo currículo es relativamente moderno en la pedagogía cubana, ya que comienza a usarse con marcado interés a partir de 1990. Con anterioridad se utilizó el término algo restringido de Plan de Estudio, el cual incluía exclusivamente las materias que se impartían en cada curso académico.

El desarrollo curricular en Cuba, unos años atrás, tenía un carácter principalmente centralizado y estático, es decir, un enfoque técnico fundamentado en que el sistema educativo se desarrolló en condiciones históricas concretas de profundas transformaciones en lo político, lo económico y lo social, dando derecho a la educación a todos los miembros de la sociedad por igual.

La política educacional en Cuba ha sufrido una evolución considerable, puesto que los Diseños Curriculares, no sólo son elaborados por un grupo de especialistas del Instituto Central de Ciencias Pedagógicas y/o Comisión Nacional de Carreras de la Educación Superior (expertos de todos los centros universitarios del país), sino que participa también un grupo de profesores seleccionados de cada provincia, que son portadores de las validaciones generales realizadas al currículo vigente por el resto del profesorado.

Los subsistemas que conforman el Sistema Nacional de Educación Cubano se presentan en una integración orgánica. Uno de ellos es el Sistema de Educación Superior y, dentro de éste, el Sistema de Formación de Profesores, donde los centros encargados de esta actividad son denominados Institutos Superiores Pedagógicos (ISP) o Universidades Pedagógicas, aunque este último término es de reciente incorporación.

Cada carrera tiene sus particularidades, de acuerdo con el tipo de profesional que se necesita formar, según las exigencias de la sociedad en un espacio y tiempo determinado. En particular, la formación del profesorado tiene que estar en correspondencia con las exigencias de la enseñanza para la cual se forma, en el caso que ocupa, se trata de la enseñanza media y media superior, objeto de transformaciones en la actualidad en Cuba, buscando asegurar la unidad de sistema y la flexibilidad necesaria para dar respuesta a la diversidad y la formación de valores, en particular.

Interesa, para este trabajo, los aspectos relacionados más directamente con la formación del profesorado de Matemáticas en Cuba, referida a la Carrera Licenciatura en Educación Especialidad Matemática, resaltando la disciplina Geometría en el currículo de esta carrera como una de las disciplinas de mayor contribución al desarrollo de la capacidad de imaginación espacial, pensamiento creativo y al razonamiento lógico.

Teniendo en cuenta los aspectos anteriores expuestos, el objetivo de este trabajo es realizar una breve reseña histórica del currículo de formación del profesorado de Matemática en el período 1964-2001 y en particular una de sus disciplinas: la Geometría y sus demostraciones.

Con esta reseña se resalta de forma general la evolución de la carrera Licenciatura en Educación Especialidad Matemática-Computación en los Institutos Superiores Pedagógicos, en cuyo desarrollo participaron excelentes profesores; quienes emprendieron sus trabajos en la hermosa tarea de “enseñar a enseñar”, a ellos está dedicado este trabajo, en especial al Doctor en Ciencias Pedagógicas Alecsy Calzadilla Solves.

DESARROLLO

En 1964 se fundan los Institutos Pedagógicos con el objetivo de dar respuesta a la necesidad creciente de profesores para el nivel medio de enseñanza, surgida como consecuencia de la extensión y generalización de la educación obligatoria después del triunfo de la Revolución.

Los institutos surgen como escuelas de facultades de las universidades y tenían en su etapa inicial la Sección Básica (dedicaba a la formación de profesores con una doble especialidad para ejercer en las escuelas secundarias básicas), la Sección Superior (formaba profesores en una especialidad para ejercer en los institutos preuniversitarios del país) y la Sección de Pedagogía (ofrecía docencia en esta disciplina y de Psicología en las dos secciones anteriores y se ocupó de la superación del personal en esta materia docente y de las investigaciones de carácter pedagógico).

Los planes de estudio de las Secciones Básicas y Superior garantizaban que el egresado tuviera el nivel de preparación en la materia, indispensable para desarrollar el proceso docente-educativo en la enseñanza media general. Para los cursos diurnos se contemplaron vías para la realización de determinados períodos de la práctica docente que acercaban al estudiante a su futuro trabajo profesional.

El año 1972 marcó un importante momento en el desarrollo de los Institutos Pedagógicos, con la creación del Destacamento Pedagógico surgido para dar solución a la explosión de matrícula ocurrida en las secundarias básicas del país. La característica fundamental del plan denominado "Plan de Formación de Profesores para la Enseñanza General Media" (PFPEGM) fue la combinación del estudio y el trabajo en la escuela; es decir, los estudiantes que culminaban el décimo grado tenían una sesión de estudio y otra de trabajo docente en las escuelas secundarias básicas en el campo.

Los que culminaban este plan tenían posteriormente la posibilidad de alcanzar en un período de dos años el título de Licenciados en Educación por estudios dirigidos. Uno de sus logros principales, desde el punto de vista académico, fue la introducción de la Geometría como disciplina.

Más adelante, en el año 1976, se realiza una transformación educacional creándose el Ministerio de Educación Superior (MES) y los Institutos Pedagógicos se convierten en Centros Independientes de la Educación Superior (CES), es decir, en Institutos Superiores Pedagógicos. Consecuentemente surge un nuevo plan de estudios para dar respuesta a la creación de la Licenciatura en Educación Especialidad Matemática.

En el curso 1977-1978 se comenzó el Plan de Estudio A con una duración de cuatro años y con egresados del duodécimo grado, cuya línea principal de trabajo estaba centrada en tratar de proporcionar una mayor información científica, lo cual resultó excesivo atendiendo el tiempo disponible. Ello como consecuencia de que la formación práctico-docente adoleciera de una orientación pedagógica y metodológica adecuada, pues al mismo tiempo se requería cubrir el déficit de profesores de la enseñanza media con esta fuerza en proceso de calificación. La concepción de las asignaturas del PFPGEM se mantuvo, y se incluyeron otras con el fin de elevar el nivel cultural del egresado, así mismo, se inició el trabajo científico de los estudiantes.

En 1979 se crea en el Ministerio de Educación la Comisión Nacional de Perfeccionamiento, con el objetivo de elaborar el nuevo Plan de Estudio B para la Licenciatura en Educación, perfeccionándose el sistema práctico-docente y haciendo énfasis en la carga de información científica. No se dedicó entonces la atención necesaria al desarrollo de habilidades profesionales de los estudiantes, lo cual se detectó mediante el trabajo de validación iniciado en 1982; y motivó que se realizaran adecuaciones a los programas del Plan B; por ejemplo, se aligeraron los programas, lo que posibilitó un incremento del tiempo disponible para la disciplina de Computación, que hasta ese momento había tenido un carácter teórico, pasando entonces a uno más práctico, profundo y amplio con la introducción de microcomputadoras en la enseñanza y, en particular, en los Institutos Superiores Pedagógicos.

En el curso 1987-1988 inicia el trabajo de las Comisiones de Carrera encargadas de la elaboración del nuevo Plan C, sobre la base de garantizar la integración armónica de lo académico, lo laboral y lo científico, con un perfil amplio que permitiera satisfacer cabalmente las exigencias planteadas por nuestra sociedad en lo que a formación del profesorado de Matemática y Computación se refiere, surgiendo así la carrera Licenciatura en Educación Especialidad Matemática-Computación con un doble perfil.

De acuerdo con la validación realizada en el primer curso, al ponerse en práctica el Plan C, se hizo necesario perfeccionar la preparación de los futuros educadores, acorde a los contenidos que deben dominar para su ejercicio profesional en las escuelas, quedando conformado el plan de estudio vigente denominado Plan C Adecuado; donde la Geometría se mantiene como una disciplina del plan de estudio.

En 1972, como se dijo anteriormente, aparece por primera vez la Geometría como disciplina de la carrera en los Institutos Superiores Pedagógicos, integrada al Plan de Formación de Profesores de Matemática para la Enseñanza General Media, siendo éste uno de sus logros, como habíamos apuntado.

Álvarez (1999:125) describe como disciplina aquel proceso docente-educativo que, como sistema, garantiza la formación de uno o varios objetivos del egresado, y cuando es muy amplio el número de objetivos a superar, la disciplina se subdivide en asignaturas. Clasifica las disciplinas en dos tipos: derivadoras e integradoras o medulares. En el caso de la disciplina Geometría, ésta es del primer tipo porque permite al estudiante profundizar en el objeto de cada una de las ramas de la cultura en que se inserta.

La disciplina de Geometría va dirigida al estudio de la Geometría Euclidiana del Plano y del Espacio por dos vías diferentes. La primera vía, sintética, contempla significativamente las cuestiones relacionadas con la enseñanza media, y pone por primera vez a los estudiantes en contacto con un sistema de axiomas de la Geometría Euclidiana del Espacio. La segunda vía, analítica, se desarrolla de forma vectorial, partiendo de los conocimientos que han obtenido en la enseñanza media.

El sistema de habilidades de la disciplina mencionada está conformado por las cuatro principales que citamos a continuación: definir, fundamentar y/o demostrar, calcular y graficar. Una de las habilidades fundamentales de la Geometría es la de “demostrar”; a través de ella se contribuye a la formación del pensamiento lógico-deductivo, a la formación lingüística, al desarrollo de operaciones mentales generales como el análisis, la síntesis, la generalización y la abstracción, al desarrollo del pensamiento heurístico y creativo, así como de habilidades generales y específicas estrechamente relacionadas con esta habilidad.

También presenta esta disciplina numerosos puntos de contacto con el resto de las disciplinas, en especial con el Álgebra, y es una herramienta imprescindible para el Análisis Matemático.

Por el gran peso que tiene la Geometría desde la enseñanza primaria hasta el grado doce, la disciplina juega un importante papel en el plan de estudio, pues es, por excelencia, una de las ramas de las Matemáticas que más puede contribuir al desarrollo del lenguaje y del pensamiento matemático.

En los programas de secundaria básica y preuniversitarios la enseñanza de la Geometría en Cuba ha transcurrido por diferentes etapas o períodos, cuya descripción histórica la estructuramos por décadas, comenzando por la última de la primera mitad del siglo XX que fue a partir de la cual obtuvimos referencia, y que nos parece suficiente para nuestros intereses.

Década de 1940-1950

La presencia de la Geometría fue establecida en los programas de secundaria básica y preuniversitaria. En el de secundaria básica la enseñanza fue informal, basada en un razonamiento inductivo; las referencias sobre las demostraciones no son explícitas y mucho menos las técnicas y procedimientos. Por su parte, en el preuniversitario (también llamado Bachillerato) la enseñanza de la Geometría fue fundamentalmente deductiva, y no hay referencias directas sobre el tratamiento gradual de las demostraciones geométricas y sus procedimientos.

Década de 1950-1960

Se mantiene lo descrito en la década anterior.

Década de 1960-1970 (Después del triunfo de la Revolución Cubana)

En sexto grado se comenzaban a recibir nociones intuitivas de punto, recta, segmento y ángulo, y también se trataban las figuras geométricas de forma fundamentalmente intuitiva.

La secundaria básica (7mo-10mo) con un nuevo enfoque, el de la "Matemática Moderna", que basada en la Teoría de Conjuntos y la Lógica Matemática desterró de las aulas la Matemática Clásica. En los libros de texto con el enfoque de la Matemática Moderna, los ejercicios de demostración se presentaban con una estructura formalista. A medida que aumentaba el nivel las demostraciones se iban haciendo más rigurosas, y tanto en noveno como en décimo grado se planteaban no sólo ejercicios de demostración, sino también la realización de demostraciones de corolarios, partes de teoremas y de teoremas completos. La formalidad y el carácter puramente deductivo de las demostraciones, hizo que fueran aprendidas de memoria, haciendo caso omiso de sus funciones.

Coincidimos con González Concepción (1996) en que la introducción de las ideas francesas del grupo de Bourbaki sobre la enseñanza de las Matemáticas no constituyó didácticamente un avance en el sistema pedagógico cubano por las siguientes razones:

• El profesorado no estaba preparado para ese enfoque; para la mayoría el cambio fue muy rápido y brusco, lo que no les permitió una interiorización adecuada del mismo como para pasar inmediatamente a enseñar Matemáticas con tal enfoque.

• El estudiante necesitaba de los niveles precedentes una correspondencia con este enfoque, para familiarizarse con él y no enfrentarse a un cambio brusco, como sucedió.

• El estudio de la Geometría a partir de los “movimientos”, no resulta menos sencillo que desde la “congruencia”, como tradicionalmente se había realizado.

• No se buscaron métodos, vías y estrategias que permitieran operativizar los nuevos cambios, sino que se produjo un cambio radical.

Década 1970-1980

Introducción paulatina de los nuevos programas correspondientes a los planes de la República Democrática de Alemania (RDA). La Geometría mantiene su presencia, pero en todos los niveles se le pretende dar un carácter más deductivo a su enseñanza, el trabajo con las demostraciones comenzaba desde la enseñanza primaria. Rica en definiciones y teoremas, la ejercitación tiende a ser más formal, planificada en términos de mucha aplicación práctica en los programas y orientaciones metodológicas, quedándose, en realidad, en ejercicios que poco ayudaban a la formación geométrica y general del alumnado.

Programas hasta 2001

A finales de la década del 80 se producen nuevos cambios, hay un reordenamiento de la Geometría, y los objetivos en la enseñanza de las Matemáticas se agrupan en tres campos (Ballester, 1992), que detallamos a continuación, vinculándolos además con el tema de nuestro interés:

Campo del Saber: el componente relacionado con la adquisición de sólidos conocimientos sobre proposiciones matemáticas (teoremas) y procedimientos de trabajo matemático.

Campo del Poder: el componente que se refiere a la formación y desarrollo de capacidades para aplicar conocimientos, hábitos y habilidades matemáticas en la solución de ejercicios y problemas, tales como el de fundamentar la validez de proposiciones matemáticas, entender y realizar demostraciones sencillas de manera independiente.

Campo Intelectual: el componente relacionado con la contribución que debe hacer las Matemáticas al desarrollo del pensamiento general y específico, donde destaca el pensamiento lógico-deductivo.

Por otra parte, la materia de enseñanza se ordena atendiendo a tres aspectos principales: la transmisión de conocimientos, el desarrollo de habilidades y capacidades generales y específicas, y el relacionado con la educación de los estudiantes, siguiendo para ello las líneas directrices. Éstas son lineamientos que penetran todo el curso escolar con respecto a los objetivos parciales, a los contenidos que deben ser objeto de apropiación y a los métodos a elegir. En nuestros programas, para la enseñanza de las Matemáticas se reconoce la Geometría como una línea directriz, así como la de demostrar proposiciones matemáticas, entre otras; comportándose el tratamiento de los contenidos geométricos, hasta el 2001, como describimos a continuación, entrelazándolos con la presencia de la habilidad “demostrar”.

En el primer ciclo de la escuela primaria (1ro-4to grado, 6-9 años) se inicia el estudio de la Geometría con carácter propedeútico y se profundiza en sexto grado, último grado de la escuela primaria (11-12 años), con la sistematización de los conocimientos sobre los movimientos del plano y la iniciación del trabajo con los teoremas y sus demostraciones. Es donde aparecen por primera vez las definiciones de conceptos, teoremas y sus demostraciones. Se les inicia en el arte de demostrar proposiciones verdaderas, pero no se exige en sexto grado que realicen demostraciones en forma independiente. Aunque en el libro de texto aparecen ejercicios de demostración, no es una exigencia del grado, pero sí pueden proponérseles al alumnado como elementos de interés por la asignatura.

La unidad de Geometría Plana en sexto grado se caracteriza por ser el enlace entre la Geometría intuitiva iniciada en el primer grado y la Geometría deductiva que con gran peso se trabaja a partir de séptimo grado, en la que hay elementos de ambas Geometrías. Las adecuaciones hechas a los programas alrededor del año 2001 afectan a la enseñanza de la Geometría en sexto grado, debido a que se le da más importancia al cálculo numérico y se deja un poco de lado la Geometría.

Sin embargo, debemos señalar que ya sea sin o con la adecuación, no se introducen seriamente los rudimentos fundamentales para la realización de las demostraciones (no hay un tema dedicado a éstos), quedando al criterio del profesorado, de forma opcional, y se imparte de manera muy rápida sin prestarle la debida atención, por lo que los estudiantes comprenden muy poco y la mayoría queda al margen de los procesos demostrativos. Tampoco hay un espacio para dedicarse a ellos en los programas de secundaria pues se considera ya dado en la enseñanza anterior, lo que trae como consecuencia que sobre la marcha del curso se informen los conceptos y métodos de demostración de forma rápida en dependencia del profesorado.

En séptimo grado (12-13 años) continúa el estudio de la Geometría con la unidad de Geometría Plana, cuyos contenidos constituyen una base esencial sobre la cual se desarrollan la Geometría Plana y la Geometría del Espacio en los niveles de Secundaria Básica y Preuniversitario, de ahí la importancia de lograr en este grado los objetivos que plantea el programa con relación a esta unidad. Los teoremas de igualdad de triángulos, conjuntamente con los movimientos y sus propiedades, se aplicarán con mucha frecuencia en la resolución de ejercicios y problemas de demostración y de cálculo, además de en el estudio de las propiedades fundamentales de otras figuras geométricas como los cuadriláteros. También se trabajan las demostraciones en la unidad “Cálculo de cuerpos”, donde aparece el teorema de Pitágoras y su fundamentación.

En el octavo grado (13-14 años) hay una componente explícita de la línea directriz fundamental: “demostrar” y es aquí donde por primera vez se estudian las demostraciones por diferenciación de casos. Las orientaciones metodológicas brindan ideas precisas para el tratamiento de las demostraciones en el grado.

El noveno grado (14-15 años) se presta para desarrollar en los estudiantes la habilidad “demostrar”, pues es en esta unidad en la que se introduce el método indirecto para realizar demostraciones, con orientaciones adecuadas para su tratamiento, aunque sigue primando por excelencia en el trabajo tanto por parte del profesorado como del alumnado (por consecuencia) el método directo.

Independientemente de la sistemática presencia de la línea directriz “demostrar” en toda la secundaria básica, no hay un determinado tema dedicado a los conceptos de demostración, teoremas, métodos, etc., es decir, van apareciendo según se va desarrollando el programa de forma intuitiva. Lo mismo sucede en el bachillerato, aunque tanto en un caso como en el otro las orientaciones metodológicas le proponen al profesorado ideas sobre cómo tratarlas, qué no debe dejar de darse, y cuáles son las exigencias mínimas del grado.

En el Bachillerato las demostraciones se hacen más frecuentes. Se exige al alumnado el desarrollo independiente de demostraciones, se utilizan los dos métodos, directo e indirecto, así como algunas técnicas especiales como la diferenciación de casos, la demostración de una equivalencia, la demostración de existencia y la unicidad, entre otros. En los casos especiales, la exigencia de realizar las demostraciones se deja al criterio del profesorado, por lo que en la mayoría de los cursos preuniversitarios son pasados por alto, aunque las orientaciones metodológicas guíen de manera adecuada y valiosa el tratamiento de las mismas. Sigue primando por excelencia el método directo y son escasos los ejercicios que utilizan contraejemplo.

De forma general concluimos sobre algunos aspectos positivos del tratamiento de las demostraciones en el currículo de Matemáticas en Cuba:

1. La presencia estable de la Geometría en los distintos planes de estudio diseñados hasta el momento, trayendo implícitos el tratamiento de las demostraciones desde razonamientos inductivos a deductivos.

2. Existe un enlace (la unidad de Geometría Plana en el último grado de la enseñanza primaria) entre el estudio de la Geometría con carácter intuitivo y el deductivo.

3. De forma general el carácter deductivo del estudio de la Geometría se va formalizando paulatinamente en Secundaria Básica, elevando su nivel en esta dirección al preuniversitario con rasgos intuitivos (excepto en el programa de la década 1940-1950 que en Secundaria Básica se mantuvo en el nivel del razonamiento inductivo).

4. La incorporación escalonada de los métodos de demostración, incluidos los casos especiales.

Aún persisten dificultades, que a nuestro juicio se enmarcan en:

1. No hay un tema dedicado a la definición de los conceptos de axiomas, teoremas, demostración, etc. en ninguna enseñanza, como tampoco se presta especial atención a la introducción de estos términos en sexto grado.

2. En las orientaciones metodológicas no hay referencias explícitas a las funciones de la demostración.

3. La refutación de proposiciones casi no es tratada, incluso ni se incluyen ejercicios relacionados con el uso de contraejemplo.

4. Se sigue dejando exclusivamente en manos de la Geometría el tratamiento de las demostraciones.

CONCLUSIONES

De la reseña arribamos a las siguientes conclusiones:

• El diseño curricular de la Educación Superior en Cuba se mueve entre el enfoque práctico y crítico.

• Los diferentes planes de estudio en la formación de profesores de Matemática ha ido evolucionando desde una perspectiva teórica a una más práctica basada en fundamentos teóricos sólidos e incluyendo de forma ascendente el estudio de la Computación.

• La disciplina Geometría es clasificada como disciplina derivadora en el currículo de la carrera Licenciatura en Educación Especialidad Matemática-Computación.

• La concepción de la disciplina Geometría juega un papel fundamental en la formación del profesional de la carrera Licenciatura en Educación Especialidad Matemática-Computación, por el gran peso de ésta desde la enseñanza primaria hasta el bachillerato.

• La enseñanza de la Geometría transcurre de formas inductivas a formas más deductivas sin caer en un formalismo extremo, pero manteniendo su rigor matemático.

• La disciplina Geometría dentro de la carrera Licenciatura en Educación Especialidad Matemática-Computación tiene como soporte los contenidos que se imparten en las enseñanzas que preceden al nivel superior y una de las aristas de su trabajo se proyecta en fundamentar, profundizar y enriquecer el conocimiento de los estudiantes en la Geometría Escolar.

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Dra. María de Lourdes Bravo Estévez.

Universidad de Cienfuegos, Cuba.

lbravo@ucf.edu.cu