1. Educación Matemática y Formación Docente

GUSTAVO MAZCORRO TÉLLEZ

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL-UPIICSA, MÉXICO.

Es una opinión personal, que los investigadores, a medida que transcurren los años cultivamos la idea de formar algún tipo de asociación científica; o bien, advertimos la urgencia de influir en la definición de políticas educativas, sobre todo en áreas que trascienden nuestra esfera de conocimientos. El reto de “Educación Matemática y Formación Docente” no elude, por supuesto, satisfacer alguno de estos propósitos; sin embargo, lo enmarca el anhelo de un distinguido grupo de investigadores, de tributar y en algún sentido complementar la obra del Doctor Alecsy Calzadilla Solves.

Educación Matemática y Formación docente reúne a veinticinco investigadores de Cuba, España y México, en un homenaje a la trayectoria académica, profesional y directiva del Dr. Alecsy, cuyo deceso motivó importantes reflexiones y derivó en la necesidad de recuperar, examinar y difundir algunas de sus ideas fundamentales. Como expresan varios autores participantes: las conversaciones cotidianas, las visiones compartidas, las cuestiones prácticas y los estudios llevados a cabo en colaboración o bajo la tutoría del Dr. Alecsy, constituyen un valioso legado de conocimientos, iniciativas y problemas que, además de su trascendencia, plantean importantes retos para la labor creativa y la investigación.

La trayectoria del Dr. Alecsy no se limita a ciertas actividades, temas, estrategias o formas de razonamiento. Por ello es particularmente atractivo realizar una obra basada en la diversidad de sus aportaciones; éstas, generadas básicamente como función de un plan de vida y superación permanente, pero en ocasiones más bien determinadas por las circunstancias. La vida profesional del Dr. Alecsy lo obligó siempre a simultanear (diría él) las exigencias laborales, con los retos de su propia formación y la de sus apreciados colegas y alumnos.

Al tenor de las enseñanzas y perspectivas del Dr. Alecsy, en los catorce capítulos que componen este libro se exploran aspectos de formación docente, planeación e investigación en educación, enseñanza de las Matemáticas, gestión tecnológica, aplicaciones informáticas y desarrollo humano. En la confluencia de estas ideas se pretende ubicar la figura de este prominente académico cubano, a quien dudo que alguien pueda diferir antes que cualquier virtud profesional, hay que reconocer su profunda convicción humanista, su pleno compromiso con los ideales de la sociedad cubana y la ética de servicio; pero, sobre todo, su capacidad para mostrarse siempre con el más elevado concepto de amistad, honestidad y confianza. Es quizá el desafío de un mejor escritor (que quien elabora este capítulo) realizar una obra que refiera las anécdotas, ocurrencias y atributos personales de “Ale”. En lo que corresponde al presente trabajo, la orientación es en cuanto a lo que la disciplina y la moderación científica permiten discutir en torno a una selección de temas, del inmenso campo asociado con la educación, la matemática y la formación docente contemporánea.

La organización de la obra se ha dejado deliberadamente sin integrar partes, o pretendiendo una lógica argumentativa particular; no obstante, los lectores pueden identificar capítulos que configuren áreas temáticas. En este sentido, los lectores cuya orientación sea la formación docente pueden ir a los Capítulos 2, 4, 5, 11 y 12. Aquellos con orientación a la educación en matemáticas pueden dirigirse a los Capítulos 2 y 4; y a quienes tengan interés por herramientas de investigación en educación se recomienda los Capítulos 2, 3, 5, 7, 8 y 13. Aspectos más suaves de educación y formación docente se revisan en apartados de los Capítulos 2 y 5, y en los Capítulos 6, 11 y 14. La gestión y los desarrollos informáticos se presentan en los Capítulos 7, 8, 9, 10 y 12. Se deja para los lectores la posibilidad de una conclusión general de la obra. Los comentarios serán naturalmente bienvenidos por todos los autores.

EN EL CENTRO DE LA DISCUSIÓN

Al tiempo de preparar esta introducción me corresponde impartir un curso de Matemáticas Discretas (bajo el reciente Modelo Educativo Institucional) en la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas (UPIICSA) del Instituto Politécnico Nacional (IPN) en México. Un especial interés, sobre todo en el contexto de la edición de este libro, me lleva a recapacitar que se trata al menos del quincuagésimo curso de pregrado, impartido en las Académicas de Matemáticas de esta Unidad, desde mi incorporación en 1994; estudiante entonces del Programa de Maestría en Administración en la UPIICSA, y graduado de la Licenciatura en Física y Matemáticas del IPN.

Recuerdo claramente que mi primera experiencia como profesor, atendiendo dos cursos de Probabilidad y Estadística II (de la Lic. en Ing. Industrial); no obstante mi entrega a esa tarea en términos de corresponder con la distinción de formar parte del cuerpo docente de la UPIICSA, me hizo pronto reconocer limitaciones en cuanto a la posibilidad de conducir a mis alumnos a un aprendizaje más allá de un conjunto de estándares prevalecientes, para esa asignatura, en las academias mencionadas. Esto es, elaborar histogramas, construir intervalos de confianza y realizar pruebas de hipótesis de acuerdo con los ejercicios de algún libro introductorio de Estadística para Ingeniería. Mi pretensión inicial de fundamentar el curso bajo el concepto de Espacio de Probabilidad, y estudiar posteriormente la Estadística como una consecuencia de la incorporación de variables aleatorias múltiples y la aplicación del Teorema del Límite Central, fue poco menos que un rotundo fracaso. Los alumnos mostraron un fútil avance con respecto a los estándares mencionados.

La conclusión entonces fue considerar que la formación de los alumnos era precaria, que el tiempo “fuera de aula” dedicado por ellos a superar las deficiencias e intentar asimilar y ejercitar los nuevos conocimientos había sido escaso y, naturalmente, reconocer que algunas de mis explicaciones tal vez no fueron suficientemente claras o atinadas como para conseguir un aprendizaje acorde con los objetivos propuestos. Todo ello bajo la convicción de que si tales objetivos no eran satisfactoriamente logrados, simplemente sería inútil enfrentar a esos alumnos con problemas reales, y jamás a la búsqueda de nuevos conocimientos, soluciones complejas o aplicaciones novedosas.

Puedo decir, con cierto orgullo, que la última observación me parece aún acertada. Luego de evaluar a muchos egresados de las licenciaturas de la UPIICSA en exámenes de admisión al posgrado, talleres propedéuticos, cursos, y aun en tesis de maestría; así como de constatar el desempeño de diferentes egresados al exigírseles la aplicación de técnicas estadísticas, he confirmado que, efectivamente, la mayoría son incapaces de hacerlo sin un programa riguroso de entrenamiento en el trabajo, enfocado sobre todo a la incorporación de métodos estandarizados en tecnologías como los ERPs (Enterprise Resource Planning Systems) y enfoques como el Seis Sigma. Deficiencias similares he observado en el terreno académico.

Mi experiencia como profesor de Matemáticas a nivel licenciatura en la UPIICSA no ha sido ciertamente continua. Me he alejado por espacios semestrales, y regresado a impartir diferentes cursos. Sin embargo, este interactuar cíclico me ha permitido reconocer situaciones que “en la acción” permanente considero difíciles de apreciar. Mis observaciones, respecto a la actitud indiferente, la incapacidad para incorporar temas nuevos y resolver ejercicios de mediana dificultad, y sobre todo la insuficiente formación matemática de los estudiantes que me ha tocado instruir, no han variado fundamentalmente, y de hecho vienen agudizándose. Con facilidad encuentro alumnos “aprobados” de cursos de Cálculo que mencionan nunca haber escuchado sobre el Teorema Fundamental (del Cálculo), o no reconocen que la Derivada se define como el límite de una función; y tampoco identifican que el concepto de integral que han estudiado es el de suma de Riemann, o el de Antiderivada. Similarmente encuentro aprobados de cursos de Álgebra Lineal que no pueden explicar el concepto de Espacio Vectorial o el de Transformación Afín.

Un alumno de primer semestre afirmó, por ejemplo, en el contexto de una clase de Cálculo Diferencial, desconocer el símbolo “”; y sólo dos, de cuarenta y dos alumnos presentes, pudieron medianamente graficar una parábola.

Estas limitaciones conceptuales, observadas en proporciones de hasta 50 a 1, no puedo menos que identificarlas como un y tal vez “el”  “problema central” de la formación matemática. A mi parecer, un problema creciente, e igualmente grave en el contexto de las ciencias aplicadas, como en el de cualquier otro propósito de estudio de las Matemáticas.

En el esfuerzo de introducir un libro donde la formación docente y la enseñanza constituyen temas centrales, debería naturalmente hacer observaciones tocantes a la organización de mi institución y particularmente sobre sus protagonistas: los profesores de Matemáticas. Sin embargo, por las implicaciones que puede traer criticar a un grupo de colegas sin haber realizado un estudio exhaustivo y riguroso de su práctica, me es preciso limitar la discusión a lo observado en mi aula, y al examen de mi propia experiencia. No obstante, me atrevo a manifestar que gran parte de los problemas referidos son el resultado de malas doctrinas y deficiencias institucionales, y de políticas públicas indiferentes, omisas o cómplices de la mala formación. Señalo, en primer plano, la displicencia e ignorancia de muchos profesores y autoridades inmediatas a la actividad docente.

Un micro análisis

Regreso entonces a mi discusión inicial sobre el curso de Matemáticas Discretas, como una experiencia importante, reciente y reveladora. Se trata de una asignatura de primer semestre universitario, de formación en una de las áreas de mayor desarrollo en la actualidad: la Tecnología de la Información. El curso lo atienden 45 alumnos, provenientes fundamentalmente de CECyTS del IPN, y el resto de las múltiples alternativas de Bachillerato básicamente de la capital del país. Estos alumnos superaron un proceso de admisión riguroso, con un alto índice de rechazos. De acuerdo con los objetivos del programa de la asignatura, la idea es introducir a los alumnos a un aprendizaje fundamentado de las Matemáticas Discretas a partir del desarrollo de habilidades de razonamiento (Lógica Proposicional), y de conceptos más elaborados en temas de aplicación a la Informática y áreas afines (Algoritmos y elementos de Cálculo Numérico de una Variables).

Desde el inicio del curso como en todos los demás he insistido a los alumnos en la necesidad de que reconozcan sus deficiencias (en cuanto a su formación matemática primaria y secundaria, incluyendo el Bachillerato), que revisen varios libros (y que cada alumno elija el que le parezca más comprensible), que analicen con cuidado todos los temas, incluyendo los aparentemente obvios, que aprendan literalmente las definiciones, teoremas y otras estructuras, y ejerciten su uso allende lo repetitivo e inmediato. Una de mis indicaciones recurrentes ha sido por años, la utilización escrupulosa de símbolos como “”, “0” e “”, así como el reconocimiento de entidades, que pueden eventualmente vincularse, pero que son por naturaleza diferentes. Es decir, identificar los números, sus operaciones y sus propiedades; las proposiciones, sus conectores y reglas; los conjuntos, sus definiciones y operaciones; las funciones, etc.

Sencillamente, luego de explicar, ejemplificar, contrastar, discutir e insistir en estos detalles durante horas de clase, parece remota la posibilidad de encontrar deficiencias conceptuales, o el uso inadecuado de ciertos elementos en cualquier ejercicio. Por desgracia, esto no se cumple. Doy cuenta de ello revisando el examen presentado por un alumno (elegido de entre los 45 exámenes aplicados al grupo), el cual, sin embargo, considero típico y francamente revelador de fallas sistémicas. Por ejemplo, una idea fundamental, y aparentemente sencilla, como el concepto de conjunto (una colección de objetos), muestra contrariedades importantes a pesar de ejercitarse desde la educación primaria. Observo que situaciones como el enunciado: “Sea A un conjunto cualquiera y a un elemento de A”, causan verdaderos trastornos a muchos estudiantes si de inmediato no se escribe algún ejemplo que les permita “materializar” la idea.

Examino ahora el Problema 2 de la primera evaluación bimestral del curso de Matemáticas Discretas (ago-dic 2010, UPIICSA, IPN), a saber,

2) Sea, A = (–, 10], y . Especifique: a) b) c)

La respuesta del alumno a este ejercicio se muestra en las siguientes ilustraciones:

Figura 1. En primera instancia el alumno busca “graficar” los conjuntos. El conjunto A lo interpreta como una recta. El conjunto C lo iguala con la ecuación , aunque la curva de la función es errónea. Aparecen dos curvas no identificadas, que podrían representar el conjunto B, el cual no se muestra o identifica en la figura.

Nótese el uso incorrecto del símbolo igual, la confusión entre entidades y de inicio lo inadecuado que para este problema resulta pretender graficar A, B y C, subconjuntos de , en el plano .

Figura 2. Para resolver el inciso (a) el alumno iguala el intervalo A (un conjunto, aunque omite el corchete derecho) con una ecuación. Realiza luego operaciones inexplicables: modifica la ecuación que especifica los elementos en C, desaparece el símbolo , y finalmente aparece un como elemento de , pero este último resulta igual a cero! Su respuesta no es un “conjunto” (como debe serlo cualquier intersección de conjuntos).

Figura 3. La respuesta al inciso (b) es todavía más intrigante. El alumno escribe primero la secuencia de elementos de B, pero agrega misteriosamente un 6. Parece entonces que realiza la operación complemento de conjuntos entre A y B, pero lo hace como un producto algebraico que elimina el paréntesis.

Resulta una nueva secuencia donde uno de los términos es 6 sumado a “”. Luego suma los cinco primeros términos y el infinito se agrega a éstos, el 6 se torna negativo y desaparece el 10. Al final, el 15 se convierte en 5, sumado todavía al infinito, y aparece un misterioso igual a cero. La solución presentada tampoco es un conjunto y por supuesto es garrafal. Para este alumno es correcto sumar el “infinito” con números, y la suma es cero!

Figura 4. En el último inciso (c), curiosamente, sí intenta construir un conjunto, pero se incluyen operaciones aberrantes. Aparece un conjunto U (supongo el conjunto universal) en producto cartesiano con , pero igualado a una ecuación y nuevamente a cero. El resultado: un conjunto con dos condiciones inconexas y un extraño símbolo .

Este análisis muestra el tipo de deficiencias que observo cotidianamente. Se trata, sencillamente, de un desconocimiento completo de conceptos básicos (y de un sistema que ha permito a este estudiante superar todo tipo de evaluaciones y acreditar cursos). El tema no es por supuesto novedoso, y debo admitir que una breve revisión bibliográfica sobre enseñanza de las matemáticas, al inicio de mi carrera docente, me hubiera ayudado mucho a sortear algunos tropiezos, o al menos a suavizar las sorpresas. En particular, las dificultades en la enseñanza matemática en la transición de educación secundaria a educación terciaria (universitaria) imponen todavía un reto cognitivo, cultural y didáctico (De Guzmán et al., 1996; Wood, 2001). Aspectos como los señalados por De Guzmán et al. (1996) se revelan fácilmente en mi experiencia; concretamente, desde el punto de vista de los profesores: la crítica a los hábitos de estudio de los alumnos, en particular a su dependencia del profesor y la imperiosa necesidad de seguir (sólo) un libro de texto. De parte de los alumnos: la crítica a la abstracción “exagerada”, a la “inutilidad” de las pruebas matemáticas y sobre todo a las “deficiencias pedagógicas” del profesor universitario, a quien comparan con aquel profesor de Bachillerato capaz de explicar todo de manera sencilla.

Aspectos como los discutidos en torno a la Fig. 3 pueden resultar de didácticas matemáticas mal diseñadas, o mal aplicadas, a nivel preuniversitario. Por ejemplo, un portal de Internet•, elaborado para alumnos de Bachillerato, expone lo siguiente con respecto al cálculo de límites de sucesiones:

Figura 5. Aquí los límites de operaciones entre sucesiones se presentan como “propiedades”, definidas en términos de operaciones aritméticas. No se indica que se trata de Teoremas cuya aplicación depende del cumplimiento de ciertas hipótesis. En este caso, las hipótesis especifican que los Teoremas son validos sólo para sucesiones convergentes.

Luego de presentar estas propiedades, la página que sigue en el portal exhibe la información mostrada en la Fig. 6.

Figura 6. Nótese que se habla de la aplicación de los Teoremas precisamente en “casos” en los que no son válidos; se indica, además, operaciones aritméticas y exponenciales con “infinito”, sin mayor explicación o comentarios.

Al hacer estas observaciones al profesor que elabora la página, él contestó que esta forma de exposición es común en la enseñanza de Bachillerato; pues la simplificación se justifica en favor de la didáctica.

Personalmente considero que tal “simplificación” es más difícil de explicar, esto es, precisar que el tema se está estudiando de manera “simplificada” (indicando obviamente lo que se ha simplificado), que buscar alguna forma de exponer los conceptos de modo fundamental, y con ello prevenir errores, tales como asumir que el “cociente” del infinito por cero es igual al infinito!

Atribuyo parte de los errores discutidos en la Fig. 3 a este tipo de misconcepciones. Considero que aprietos usuales, como la difícil comprensión del concepto de límite bajo el criterio épsilon-delta (De Guzmán et al., 1996), no se benefician a través de un estudio previo de límites donde se realicen cálculos aplicando las propiedades arriba indicadas. Harel y Trgalová (1996) hablan de este tipo de errores como el “comportamiento común de aplicar propiedades numéricas a expresiones que involucran límites”.

La interfase crítica de la enseñanza de la matemática entre el nivel secundario y el terciario (Wood, 2001) es obviamente más complicada a medida que se necesita corregir o desaprender nociones cuya adquisición ha implicado esfuerzo por parte de alumnos y profesores, es decir, cuando “los errores precisan reemplazarse por conocimientos” (Even y Tirosh, 2003)

EN LA BÚSQUEDA DE SOLUCIONES

El análisis previo, un tanto motivado por las sugerencias de Even y Tirosh (2002), en el sentido de estudiar errores de aprendizaje de manera focalizada, indagando sus posibles fuentes, causas, evolución y trascendencia, lleva naturalmente a cuestionar aspectos como la formación docente, la práctica y la propia investigación en docencia.

Aunque es ventajoso reconocer que la investigación en la enseñanza de las matemáticas es una “empresa joven”, como señala Kilpatrick (2003), se debe admitir que existe una amplia gama de conocimientos en aspectos como, técnicas de enseñanza, diseño curricular, evaluación, formación del profesorado, desarrollo profesional y políticas educativas, en espera de oportunidades para su aplicación; así como interesantes líneas de estudio derivadas (Goos y Geiger, 2010). A lo largo de este libro se hacen aportaciones en estos temas.

Las dificultades en la enseñanza y las deficiencias de aprendizaje se pueden superar a medida que se parte de evaluaciones realistas y se elaboran estrategias congruentes. Calzadilla (Cap. 2) y Arrieta (Cap. 5) examinan cuidadosamente ese tema. Los problemas no son por supuesto exclusivos de los países con bajo desarrollo como México, pero sí son más difíciles de resolver ahí; mientras que en los países desarrollados son probablemente más difíciles de reconocer, pues priva en ellos la idea de que las cosas funcionan adecuadamente. Por ejemplo, un estudio reportado por Brown et al. (2008), llevado a cabo en el Reino Unido, exhibe un título fascinante: «“I would rather die” reasons given by 16-years-olds for not continuing their study of Mathematics», pero lo verdaderamente destacable son las causas principales de la disatisfación de estos jóvenes en relación con el estudio de las matemáticas: su dificultad; su disgusto por lo “aburrido” y la aparente irrelevancia de estos conocimientos. Así mismo, un análisis, trascendente, realizado por la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Ciencia y las Matemáticas en los Estados Unidos, titulado “Befote It’s Too Late”, señalaba en 2000 el pobre desempeño de los estudiantes estadounidenses en esas áreas, particularmente al ser comparados con los de países asiáticos con economías desarrolladas. Uno de los objetivos propuestos en ese reporte indica la urgencia de incrementar significativamente el número de profesores de ciencias y de matemáticas, e incrementar la calidad de su preparación (USDE, 2000).

Los requisitos de calidad, sin embargo, enfrentan una disyuntiva natural: calidad versus cantidad. No cabe duda que las necesidades de expansión, en términos de cobertura educativa, y esencialmente vinculadas al desarrollo democrático, han sobrepasado la capacidad de crecimiento de los sistemas escolares sin afectar la calidad de la enseñanza. Afirmo esto en pleno acuerdo con Zevenberger (2001) y De Guzmán et al. (1996), pues a nivel universitario están llegando cada vez más alumnos que carecen de la preparación académica y la madurez suficiente para enfrentar estudios superiores de manera competitiva, al menos en cuanto a su formación matemática. Además de estas referencias, las evaluaciones internacionales más recientes coinciden en señalar que así sucede.

No obstante, así como es necesario preparar el ingreso de estudiantes a todos niveles, también es necesario mejorar las competencias de los profesionales que ingresan a la actividad docente y de los profesores activos. Mi experiencia en algunos puestos de la administración escolar también limitada al contexto del IPN, me ha permitido examinar y cuestionar las motivaciones de diversos candidatos en concursos de oposición. He encontrado, desde quienes lo hacen por el convencimiento o la “necesidad” de compartir sus experiencias y éxitos profesionales con jóvenes estudiantes, hasta quienes en el desempleo o subempleo buscan algunas horas de cátedra universitaria que les permita elevar sus ingresos, o tener algún sustento. He cuestionado, por ejemplo: ¿Por qué considera usted que la cátedra es un espacio personal para compartir sus experiencias? Esto bajo la idea de que no se busca que un profesor “conozca”, o que “haya hecho”, sino que sea capaz de seleccionar y transmitir experiencias verdaderamente ilustrativas, y de elevar los conocimientos de los estudiantes de manera congruente con un programa de asignatura y un plan de estudios donde cada elemento es sustancial. Es como si un médico considerara necesario y gustara de compartir la “experiencia” de sus propias enfermedades, con sus pacientes, o con sus alumnos.

En este sentido, es tan importante valorar la competencia del docente en cuanto a sus conocimientos teóricos en el área que enseña (Hill et al., 2007; Sowder, 2007), como examinar y desarrollar su preparación teórico-práctica no disciplinaria (D’Amore y Martini, 2000), esto es, fortalecer el carácter, la personalidad y la experiencia del docente, a quien tradicionalmente se la ha exigido un amplio bagaje cultural (Ivan, 2007, p. 106).

Sin duda, diversas propuestas existen para atender la cantidad de problemas asociados con la enseñanza de las matemáticas. Hace algunas décadas, por ejemplo, se pensó que “los estudiantes podían desarrollar un fuerte sentido de que las Matemáticas son un tema abierto, vívido y creciente, y que la actividad en Matemáticas es un esfuerzo dinámico, redituable y poderoso”. (UNESCO, 1973)

Con esto aún en mente, el esfuerzo de este libro al investigar la enseñanza de la matemática, la formación docente y la generosa diversidad de los temas incluidos, tiene el mérito de fortalecer algunas deficiencias y de sustentar las mejores contribuciones de los autores en un esfuerzo colectivo a favor de la ciencia y el desarrollo tecnológico educativo.

REFERENCIAS

EVEN, R., and D. TIROSH (2002): “Teacher knowledge and understanding of students’ mathematical learning”. In: L. D. ENGLISH (Ed.), Handbook of International Research in Mathematics Education, Lawrence Erlbaum: Mahwah, NJ. 219-240.

BROWN, M., P. BROWN, and T. BIBBY (2008): “I Would Rather Die”: Reasons Given by 16-years-olds for not Continuing their Study of Mathematics. Research in Mathematics Education, 10, 1. 3-18.

D’Amore, B., and B. Martini (2007): “Sobre la Preparación Teórica de los Maestroa de Matemáticas”. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativas, Vol. 3, No. 001. 33-45.

GOOS, M., and V. GEIGER (2010): Theoretical Perspectives on Mathematics Teacher Change. Journal of Mathematics Teacher Education, On-line version, October, 7th, 2010.

de GUZMÁN, M.; B. R. HODGSON, A. ROBERT, and V. VILLANI (1998): “Difficulties in the passage from secondary to tertiary education”. Documenta Mathematica, Extra Volume ICM 1998, III, 747-762.

HAREL, G., and J. TRGALOVÁ (1996): “Higher mathematics education”: In: A. J. BISHOP, K. CLEMENTS, C. KEITEL, J. KILPATRICK, C. LABORDE (Eds.), Internacional Handbook of Mathematics Education, Part Two. Kluwer: Dodrecht, The Netherlands. 675-700.

HILL, H.C., L. SLEEP, J.M. LEWIS, and D.L. BALL (2007): “Assesing teachers’ mathematical knowledge. What knowledge matters and what evidence counts?”. In: F.K. LESTER, Second Handbook of Research on Mathematicas Teaching and Learning, NCTM National Council of Teacher of Mathematicas, USA. 111-155.

IVAN, S.T. (2007): The Training of Mathematics Teachers. Rimbault Press, USA.

KILPATRICK, J. (2003): “Introduction”. In: A.J. BISHOP, M.A. CLEMENTS, C. KEITEL, J. KILPATRICK, and F.K.S. LEUNG (Eds.), Second International Handbook of Mathematics Education, Kluwer, MPG Books: Bodmin, Conrwall.

SOWDER, J.T. d D.L. BALL (2007): “The mathematical education and development of teachers”. In: F.K. LESTER, Second Handbook of Research on Mathematicas Teaching and Learning, NCTM National Council of Teacher of Mathematicas, USA. 157-224.

UNESCO (1973): New Trends in Mathematics Teaching, Vol. III. UNESCO: France

USDE (2000): Before it’s Too Late. A Report to the Nation from The National Commission on Mathematics and Science Teaching for the 21st Century. ED. Pubs., U.S. Department of Education: Jessup, MD.

WOOD, L.(2001): “The secondary-tertiary interface”. In: D. HOLTON (Ed.), The Teaching and Learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study, Kluwer: Dodrecht, The Netherlands. 87-98.

ZEVENBERGER, R. (2001): “Changing concepts in tertiary Mathematics Implications for diversity and equity”. In: In: D. HOLTON (Ed.), The Teaching and Learning of Mathematics at University Level:An ICMI Study, Kluwer: Dodrecht, The Netherlands. 13-26.

Gustavo Mazcorro Téllez

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, UPIICSA, IPN. México.

gmazcorro@ipn.mx