CAPÍTULO 1. El proceso de enseñanza - aprendizaje de las funciones reales de una variable real en la carrera de Ingeniería Eléctrica

1.1 Fundamentos teóricos del proceso de enseñanza-aprendizaje del concepto función real de una variable real

La enseñanza - aprendizaje de la Matemática tiene como principal objetivo el empleo, por parte de los estudiantes, de los conocimientos adquiridos, en la resolución de problemas y estos conocimientos adquieren su justo valor en la medida en que se necesiten y empleen en la resolución de un problema y no por el mero hecho de acumular en el cerebro un cúmulo de información.

Para la Matemática, que en sus investigaciones busca relaciones y dependencias, las funciones ocupan un lugar de importancia suprema, partiendo del hecho de que el hombre en su accionar en la naturaleza logra solucionar diversos problemas con la ayuda de las mismas. Estas, sin duda alguna, posibilitan demostrar la relación “Matemática-realidad objetiva” y contribuyen a entender a esta ciencia como un medio eficaz para transformar dicha realidad.

Dentro del currículo de la Matemática, en los diferentes niveles de enseñanza, los temas relacionados con funciones son de gran importancia, en ellos se tratan conceptos fundamentales, que sustentan gran parte de la teoría Matemática, subordinados todos al concepto de función, por lo cual este resulta de los más importantes al que se enfrentan los estudiantes, desde los primeros años de su vida escolar, al respecto se cita “El concepto más importante de todas las Matemáticas es, sin dudarlo, el de función: en casi toda la matemática moderna, la investigación se centra en el estudio de las funciones (…)”; (Spivak, 1970, p. 47).

El concepto función ha sido de los más tratados en la Matemática, y su uso no es exclusivo de esta disciplina, este trasciende a múltiples ramas del conocimiento humano, pero en los términos de este trabajo nos interesa fundamentalmente el tratamiento que recibe en la disciplina Matemática, como herramienta poderosa para modelar procesos, fenómenos que ocurren en la realidad objetiva.

Desde sus inicios en la historia, este ha estado asociado a otros conceptos tales como, el de conjunto, relaciones, correspondencia, regla, dependencia, ecuación, aplicación etc.; y fueron muchos los que desde el estudio de las Matemáticas ayudaron a su desarrollo y formalización.

El concepto de función no ha estado ajeno al desarrollo social y científico de la humanidad a lo largo de la historia, por lo que, ha evolucionado a la par de esta, de ahí que su definición adoptara diferentes formas. En el trabajo se relacionan solo algunas consideradas esenciales para la comprensión del concepto.

Se tiene conocimiento que desde la antigüedad el concepto de función era utilizado en forma intuitiva en practicas tales como la de confeccionar tablas en las que se registraba el comportamiento de una magnitud sujeta a cambios de otra bajo una determinada relación.

Es el matemático francés René Descartes (1596-1650), en el año 1637, el primero en utilizar en su Geometría Analítica el término función como correspondencia, aquí presenta la idea intuitiva de variable y de función, al designar una potencia xn de variable x; mientras que el genio alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) retoma el término función, desde otro punto de vista, y lo utiliza por primera vez en el 1694 para expresar su idea general de dependencia funcional al tratar varios aspectos alrededor de las curvas, pendientes, normales, segmentos tangentes, etc.

En el año 1718 el matemático suizo Johann Bernoulli (1667-1748), destacó el componente analítico de una función y siguiendo esa posición el también suizo Leonhard Euler (1707-1783) citado por (Ribnikov, 1987, p. 218) definió que “Una función de una cantidad variable es una expresión analítica, compuesta de alguna manera por esta cantidad variable y números o cantidades constantes.”

Al matemático alemán Peter Dirichlet (1805-1859), se le atribuye la definición formal moderna del concepto función, al plantear en el 1837 “(…) g(x) es una función real de una variable real x, si a cada número real x le corresponde un número real g(x)” (Ribnikov; 1987, p.220).

El desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX por los matemáticos alemanes Georg Cantor y Richar Dedekind provocó cambios significativos en la interpretación del concepto de función utilizada hasta entonces, y permitió redefinir el concepto de función a partir de los nuevos resultados que en el mundo de las matemáticas presentaba dicha teoría, la siguiente definición es de las más utilizadas en nuestros días, y es consecuencia de esta teoría;

“Sean X e Y dos conjuntos con elementos cualesquiera; la variable x representa un elemento del conjunto X, y la variable y representa un elemento del conjunto Y. Los elementos de ambos conjuntos pueden ser o no números, y los elementos de X no tienen que ser necesariamente del mismo tipo que los de Y. Sea P el conjunto de todos los posibles pares ordenados (x, y) y sea F un subconjunto de P con la propiedad de que si (x1, y1) y (x2, y2) son dos elementos de F, entonces si y1 ≠ y2 implica que x1 ≠ x2 esto es, F contiene no más de un par ordenado con una x dada como primer elemento. (Si x1 ≠ x2, sin embargo, puede ocurrir que y1 = y2).

Una función queda ahora definida como el conjunto F de pares ordenados, con la condición señalada, y se escribe F: X→Y. "Función (matemáticas)." Microsoft® Student 2008.

En este mismo documento se argumenta que, “(…) El conjunto X de las x que aparecen como primer elemento de los pares ordenados de F se le denomina dominio de la función F; el conjunto Y de las y que aparecen como segundo elemento de los pares ordenados se denomina imagen o rango de la función F”.

Una manera bastante sintetizada de expresar la definición anterior se presenta en el libro de texto del programa actual del decimo grado de la enseñanza pre-universitaria cubana, “Una función f: X→Y es un conjunto de pares ordenados (x; y) tal que cada x X aparece como la primera coordenada de solo un par ordenado” (Campistrous, Miyar y Naredo, 1989, p. 124).

Por su parte con esta misma idea de la teoría conjuntista se tiene la definición que aparece en el texto básico de la carrera Ingeniería Eléctrica, utilizada a lo largo de todo el curso de Matemática Superior.

“Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento llamado f(x), de un conjunto B”. (Stewart, 2006, p.12). En esta definición aparece el término regla, el cual ha sido utilizado en numerosos textos, por ejemplo “Una función es una regla que asigna a cada uno de ciertos números reales un número real”. (Spivak, 1970, p.47). Esta definición se circunscribe a las funciones reales de una variable real.

El concepto de función a partir de las correspondencias, como un tipo de relación entre conjuntos es expresado indistintamente en la bibliografía matemática, por ejemplo el texto de Matemática de la educación general básica de España en octavo grado lo define como: “Una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que no hay ningún número que tenga más de una imagen” (Ramos, 1984, p.92).

La definición siguiente resume las ideas anteriores, y se sugiere que se le presente a los estudiantes al analizar el concepto de función y en especial, cuando se traten las funciones de R en R: Sean A y B dos conjuntos no vacios de naturaleza arbitraria. Una función de A en B es una correspondencia entre los elementos de A y los elementos de B de tal modo que a cada x A se le hace corresponder un y sólo un elemento y B.

Notación f: A → B

x → y = f(x)

Luego en el caso en que A R se dice que la función es de variable real.

Si además B = R, entonces diremos que la función es real de variable real, siendo estas funciones, las que resultan de interés en este trabajo.

Teniendo cada elemento de la notación anterior el significado siguiente: A se llama dominio de la función; B = R, se llama codominio de la función; y = f(x) se llama imagen de x por f o variable dependiente y x se llama variable de la función o variable independiente.

El concepto de función ha sido abordado por la escuela cubana en diferentes etapas, en el libro Algebra Elemental del matemático cubano Aurelio Baldor se plantea “siempre que una cantidad variable depende de otra se dice que es función de esta última”. (Baldor, 1947, p.344), clasificando las mismas en Funciones Analíticas, (las que se pueden representar a través de una fórmula o ecuación) y las Funciones Concretas, (aquellas en que no es posible determinar una relación analítica).

En este y otros textos de la época revisados se observan limitaciones en el tratamiento del concepto función: el rigor conceptual, el tratamiento a las diferentes formas de representar el concepto, y en la variedad de ejemplo utilizados para ilustrarlo.

Posteriormente en la década del cincuenta del siglo pasado, el matemático y profesor Mario O. González en su libro Matemática Quinto Curso, presenta un tratamiento al concepto de función, para introducir los temas límite, continuidad y Cálculo Diferencial; con mayor rigor y actualidad que los anteriormente utilizados en la enseñanza de la Matemática en Cuba.

Sin embargo, la relación entre las ecuaciones, las inecuaciones, el dominio de las funciones elementales, y sus propiedades desde el punto de vista analítico y gráfico con el concepto de función en sus distintas representaciones no alcanza aún la profundidad necesaria para garantizar la fijación de las bases de contenidos del concepto, aspectos estos que perduraron hasta finales de la década del sesenta, pues en todo ese periodo se continuó trabajando la Matemática por los textos elaborados en los años cincuenta.

El salto ocurre a partir del curso escolar 1978-1979, al producirse un cambio radical en la concepción del aprendizaje de la Matemática, con la introducción de los Programas similares a los utilizados por la antigua República Democrática Alemana, encabezada por Werner Jungk, que ha decir de (Feria Velázquez, 1996, p. 8), “(…)respondían a los enfoques desarrolladores de esta ciencia en el mundo, con concepciones psico-pedagógicas sustentadas en la escuela Histórico-Cultural Vigotskiana, y en los trabajos de Galperin sobre la teoría de la formación por etapas de las acciones mentales”, provocándose, un cambio radical en el tratamiento al concepto función.

Desde ese momento la escuela cubana aborda el concepto función real de una variable real como el núcleo fundamental de la Línea Directriz, “Correspondencia, transformaciones y funciones”, formalizada a partir de la década del setenta del siglo XX, por la necesidad de precisar los principios más importantes que determinan el curso escolar de matemáticas y no se pierda en la numerosidad de conceptos, procedimientos y complejos de contenidos que se establecen en los programas.

Al respecto (Ballester, Quintana, Fernández y otros, 2002, p. 1) plantean que “(…) esta razón dio origen al agrupamiento de la materia de enseñanza aprendizaje por aspectos principales referidos a la transmisión de conocimientos, el desarrollo de capacidades y la formación de convicciones a partir de los objetivos de la formación general”

Es importante destacar que los programas de Matemáticas en sus sistemáticos perfeccionamientos en la década del 80, la del 90 y en la del 2000 sufrieron variaciones en cuanto al reconocimiento de las Líneas Directrices, pero la relativa a “Las correspondencias y funciones” no sufrió cambios significativos, por su alcance dentro de los programas de la Matemática y su extraordinaria importancia para las ciencias matemáticas. Lo cual queda resumido a partir del criterio de (Steinhofel, 1982), citado por (Ballester, Quintana, Fernández y otros, 2002, p. 24) al decir “que generalmente toda investigación matemática trata de relaciones, correspondencias y funciones”.

Esta Línea Directriz comienza su tratamiento desde edades tempranas en los escolares, entrelazándose con las demás Líneas Directrices en lo que se pudiera identificar como una primera fase implícita o propedéutica y una segunda fase (explícita), que ocurre en el noveno grado de los programas vigentes de la Secundaria Básica, que comienza cuando se define el concepto de función y se empiezan a estudiar algunos tipos de funciones elementales, con todo el aparato conceptual y sistemas de habilidades que las mismas incluyen.

El objetivo esencial de esta línea directriz es el desarrollo del pensamiento funcional matemático de los estudiantes, y su tratamiento ocurre a lo largo de todos los programas de Matemática desde la enseñanza primaria hasta los de Matemática Superior, por lo que se consideran las funciones el núcleo de la misma.

Por el hecho de ser el concepto función de los llamados esenciales dentro de la enseñanza aprendizaje de la matemática, requiere de un proceso total de elaboración y apropiación, el cual ocurre a largo plazo y atraviesa por dos momentos: en el primero, lo que se quiere es introducir el concepto lo cual comprende de forma esencial, que el estudiante conozca todas las características que definen el concepto, pero no la definición exacta, mientras que en un segundo momento lo importante es que se llegue a elaborar una definición exacta del concepto función real de una variable real.

Este proceso total de elaboración tiene tres fases.

La primera fase está caracterizada por consideraciones y ejercicios preparatorios, los cuales comienzan mucho antes de la introducción del concepto. Mediante ellos los estudiantes se familiarizan con fenómenos y formas de trabajo correspondientes para más tarde relacionar con el concepto, las ideas adquiridas sobre el contenido; aquí se llega a conocer parcialmente el concepto, mucho antes de su presentación formal en clases.

En sus primeros años en la escuela, el niño se familiariza con elementos de la teoría de conjuntos cuando comienza a agrupar objetos, establecer relaciones sencillas entre ellos y a formar conjuntos con elementos que cumplen o tienen características comunes, más tarde, en primaria, se le introduce el concepto de correspondencia cuando relacionan los movimientos como correspondencia biunívoca del plano sobre sí mismo, además aprenden las operaciones básicas de cálculo y trabajan con ecuaciones; los conocimientos y habilidades adquiridas en estos niveles de enseñanza aprendizaje se consolidan y sistematizan luego en secundaria.

Por lo que se considera esta fase como implícita o propedéutica, y sucede en toda la enseñanza primaria y parte de la secundaria; en este momento lo que se aspira es a que los estudiantes se relacionen y lleguen a conocer las características que más tarde permitirán definirlo.

En el (Anexo 4) se ofrece un resumen de los contenidos más importantes que sirven de preparación para el tratamiento del concepto función de R en R, presentados por (Ballester, 1994, p. 56), es decir aquellos que se imparten antes de pasar a la segunda fase.

La segunda fase consiste en la formación del concepto; es la parte del proceso que conduce desde la creación del nivel de partida, la motivación y la orientación hacia el objetivo, y que pasa por la separación de las características comunes y no comunes, hasta llegar a la definición.

La tercera fase consiste en la asimilación del concepto y posterior fijación, dentro de ellas se encuentran las ejercitaciones, sistematizaciones, aplicaciones y repasos del concepto.

Se consideran la segunda y la tercera fase en la formación del concepto como explícitas, ya que se aborda desde la definición, hasta el estudio de las diferentes clases de funciones y sus propiedades, este proceso transita desde el noveno grado, a través de toda la enseñanza preuniversitaria y continúa en muchas carreras de la educación superior.

El proceso completo de elaboración y apropiación del concepto función transcurre a largo plazo en la escuela cubana y la estructura metodológica que se sigue para su formación desde el punto de vista de la teoría del conocimiento responde a la vía inductiva, la cual como puntos esenciales plantea: Partir de ejemplos, luego el concepto se desarrolla por medio de descripciones, explicaciones, hasta llegar a la definición, la cual se elabora paso a paso, y el conocimiento se conduce, por lo tanto, de lo particular a lo general.

Diversos autores han tratado en sus investigaciones la elaboración de conceptos por la vía inductiva; sin embargo por la sencillez y claridad que presenta la propuesta de (Ballester Pedrozo y otros, 1994, p. 292), se considera importante repasarla en este trabajo.

Esta consta de la secuencia de pasos siguientes:

1- Asegurar el nivel de partida.

2- Motivar y orientar hacia el objetivo.

3- Poner a disposición objetos de análisis (representantes y no representantes del concepto en cuestión)

4- Analizar los objetos respecto a características comunes y no comunes.

5- Establecer un sistema de características necesarias y suficientes.

6- Formular la definición o explicación.

La cual se manifiesta en la elaboración del concepto función de la siguiente forma:

El nivel de partida se asegura mediante el repaso de conocimientos de la teoría de conjuntos. Se recomienda formar conjuntos de diferentes naturalezas, se analizan los requisitos que deben tener sus elementos para garantizar la pertenencia al conjunto, se trabaja con los términos y símbolos correspondientes.

La motivación y orientación hacia el objetivo ocurre a través de presentar muchas y variadas situaciones prácticas, en las que juegan un papel esencial las correspondencias de dos conjuntos, y utilizar muchos ejemplos en los que aparecen dichas relaciones. Aquí se destaca el hecho de que al examinarlos aparecen dos tipos de correspondencias: las cuales son definidas como unívocas y plurívocas. Así como que, un elemento de un conjunto esté relacionado exactamente con un elemento de otro conjunto, o con varios a la vez. Característica esencial para reconocer e identificar el tipo de correspondencia, mientras que el tipo de elemento no tiene importancia, por lo que es una característica no esencial, no importa si son letras, números, objetos etc.

En este momento se hace énfasis, en las características que se requieren para la elaboración del concepto de función estas son:

En primer lugar, tratarse las correspondencias de dos conjuntos que determinan un conjunto de pares numéricos ordenados. En segundo lugar deben tratarse las correspondencias unívocas, de las que se comenta y explica cómo desempeñan un papel esencial, por lo que reciben una denominación especial (funciones).

Por último se define función como un conjunto de pares ordenados utilizando las características significativas analizadas anteriormente.

El estudio de las funciones reales en la escuela cubana, continúa en la Educación Superior, en el caso de las carreras de Ciencias Técnicas, a través de todo el programa de la Matemática I. También aparece con fuerza en temas de asignaturas como la Física y el Álgebra, lo cual permite continuar desarrollando el pensamiento funcional matemático en los estudiantes.

En esta enseñanza (la superior), se le concede un papel predominante al estudio de los procesos infinitos y sus situaciones límites, que comienzan su tratamiento en la asignatura Matemática I, en el tema Límite y Continuidad, pasando a través de todo el Cálculo Diferencial, hasta llegar al Integral. En todos estos temas las funciones de R en R constituyen un núcleo básico, sobre el cual se estructura toda la teoría del Cálculo Superior.

También en la enseñanza superior se profundiza en el uso de las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones, fundamentalmente los asistentes matemáticos, pues se incluyen los Laboratorios de Matemática, como un tipo más de forma organizativa de la clase, aquí los estudiantes utilizan asistentes, tales como el Derive, el Matlab, etc., los que permiten integrar, y sistematizar, la teoría estudiada cuando son utilizados eficientemente.

Estos laboratorios de Matemática brindan un marco propicio para tratar las funciones en una dimensión superior, pues es posible realizar un análisis más general de las mismas, se puede explotar mucho más el componente gráfico del concepto función, los tipos de funciones elementales, así como las transformaciones, composiciones y operaciones realizables con las mismas, y analizar con más profundidad, cómo los nuevos conceptos que se adquieren en los diferentes temas de la asignatura, operan sobre cada una de ellas.

Por lo tanto el trabajo con las funciones reales en una variable real se completa con el tratamiento de los temas que abarca la Matemática I, por lo cual se hace imprescindible la sistematización de todo el contenido relativo a las funciones de R en R en las primeras etapas del primer año de las carreras de Ciencias Técnicas, que son las que más necesitan del conocimiento matemático en los estudiantes.

Dentro de los contenidos más importantes que sirven para el tratamiento de la sistematización de las funciones de R en R, en la Matemática I se tienen:

 El limite de funciones en un punto y en el infinito.

 La continuidad de funciones en un punto y en todo su dominio.

 La derivada de funciones en un punto y la derivada como función, así como sus interpretaciones.

 Las aplicaciones del Cálculo Diferencial.

 La primitiva de una función.

 La Integral indefinida e Integral definida, con sus respectivas aplicaciones.