ESTRATEGIA DIDÁCTICA PARA LA SISTEMATIZACIÓN DEL CONCEPTO FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL EN EL PRIMER AÑO DE LA CARRERA INGENIERÍA ELÉCTRICA

Adolfo Álvarez Martínez

2.2.1 Ejemplos de hojas de trabajos

Hoja de trabajo -1-.

Temática: El concepto de función y sus representaciones. Modelos funcionales.

Objetivos:

1- Identificar funciones y sus elementos en correspondencias dadas, así como transferir de una representación del concepto a otra.

2- Modelar a través de funciones de R en R, situaciones intra, y extramatemáticas.

Acciones:

• Describir las funciones como un caso especial de correspondencia

• Relacionar el concepto función con sus diferentes representaciones.

• Transferir de una representación del concepto a otra.

• Argumentar.

• Diseñar el modelo.

• Exponer la lógica del modelo diseñado.

Actividades:

1- Realice un estudio cuidadoso de:

a) El capítulo 1. Epígrafe 1.1 y 1.2 del libro de texto. Cálculo con Trascendentes Tempranas. Parte I.

b) Los ficheros: aplicación “Power Point. Funciones de R en R”, la Hoja T1. El concepto de función, y el fichero “Acerca de las funciones reales de una variable real”, que se encuentran en la dirección: (ftp.em.reduc.cu), carpeta de la disciplina de Matemática / Matemática I / Sistematización de funciones de R en R.

2- Realice los siguientes ejercicios:

2.1- A continuación se presentan gráficos de curvas que corresponden a relaciones establecidas entre variables en diferentes correspondencias.

a) Identifique los gráficos que corresponden a funciones. Argumente.

b) En los casos que representen funciones determine su dominio e imagen.

G-1 y

G-2

G-3 y

G-4 y

G-5

G-6 y

2.2- Relacione las representaciones que a continuación presentamos con los gráficos anteriores:

a) La expresión:

Describe el gráfico: _____.

a.1- Determine H (1,25).

a.2- Determine el valor de x cuando H(x)= 7

b) Los pares ordenados (x; y) que se forman con los valores presentados en la siguiente tabla, se corresponden con puntos que se encuentran en el gráfico: ____.

b.1- Complete la tabla.

x y

-1 - √3

-1 ¿

0 2

¿ -2

1 - √3

¿ √3

2 0

¿ 0

b.2- Investigue si el punto de coordenadas (1/4; 9/5) se encuentra en dicho gráfico.

c) La siguiente tabla se corresponde con el gráfico: ____. Complétela.

x y

¿ -2

-2≤x<-1 -1

-1≤x<1 ¿

1≤x<3 2

c.1- Encuentre una fórmula que la defina.

d) Lea cuidadosamente el texto siguiente:

A una profundidad de 4 m por debajo del nivel del mar en una zona geográfica determinada, se toman temperaturas que oscilan desde los 20 centígrados bajo cero hasta los 50 por encima de cero. Mientras que a medida que se va ascendiendo en altura, respecto al nivel del mar, hasta llegar a los 25 m la temperatura decrece linealmente de 50 hasta 20 bajo cero.

d.1) Dicho texto describe la situación representada en el gráfico: ____

d.2) Estime la temperatura en la superficie del agua.

e) Los pares ordenados: (-4;?), (¿;2), (-2;?), (¿;-2), (0;0), (1;?), (2;4), (4;?), (5;0), corresponden a puntos que pertenecen al gráfico de la correspondencia:____. Complétalos.

e.1- Encuentre una fórmula que defina el intervalo 2<x<5.

f) La ecuación: , se corresponde con el gráfico: ____ . Cuatro puntos de coordenadas (x; y) que se encuentran en dicho gráfico son:___ , ____ ,___ ,____ .

2.3- Encuentre un modelo funcional (ecuación), para las situaciones descritas en cada caso. Fundamente.

a) Un rectángulo tiene un perímetro de 20 m. Exprese su área como función de la longitud de uno de sus lados.

b) Un rectángulo tiene un área de 16 m2. Exprese su perímetro como función de la longitud de uno de sus lados.

c) Exprese el área de de un triángulo equilátero como función de la longitud de uno de sus lados.

d) Exprese el área superficial de un cubo como función de su volumen.

e) Una caja rectangular abierta, con volumen de 2 m3, tiene una base cuadrada. Exprese el área superficial de la caja como función de la longitud de uno de los lados de la base.

f) Un cono tiene altura h y generatriz de 25 m. Exprese su volumen como función de la longitud del radio de su base.

g) Dos embarcaciones se encuentran a una distancia de 45 millas, una se dirige con rumbo norte y la otra con rumbo sur, al cabo de 2 horas una había recorrido tres veces la distancia de la otra. Exprese la distancia a la que se encuentran una de la otra a las 2 horas exactas, en función de la distancia recorrida por cualquiera de ellas.

a) Exprese la velocidad a la que se movía cada una de ellas en función de la distancia que recorrieron en esas 2 horas.

3- Envíe por correo electrónico las respuestas de los ejercicios realizados, al estudiante que lo apadrina, y a su profesor.

Hoja de trabajo -2-.

Temática: Clasificación general de las funciones de R en R. Ejemplos de diferentes tipos de funciones a partir de la clasificación presentada. Sus definiciones, propiedades y gráfico.

Objetivos:

1- Clasificar las funciones de R en R a partir del criterio utilizado en la bibliografía básica.

2- Ejemplificar el concepto de función de R en R.

3- Resumir los aspectos fundamentales (propiedades y gráfico) de las funciones algebraicas y trascendentes.

Acciones:

• .Precisar el criterio de clasificación de las funciones de R en R.

• Comparar entre si los distintos tipos de funciones de R en R conocidas.

• Agrupar en clases los tipos de funciones de R en R.

• Definir los distintos tipos de funciones de R en R.

• Relacionar los aspectos esenciales del concepto función en cada una de las funciones definidas.

• Ejemplificar a través de casos particulares.

• Ordenar los aspectos esenciales (propiedades y gráficos) de los distintos tipos de funciones algebraicas y trascendentes.

Actividades:

1- Realice un estudio cuidadoso de:

a) El capítulo 1. Epígrafe 1.1 y 1.2 del libro de texto. Cálculo con Trascendentes Tempranas. Parte I.

b) Los ficheros: “Clasificación de las funciones elementales”.doc. “Acerca de las funciones reales de variable real”.doc y aplicación “Power Point. Funciones de R en R”, las Hojas T2-1, T2-2, T2-3, T2-4, T2-5, T2-6, T2-7, T2-8, T2-9 que se encuentran en la dirección: (ftp.em.reduc.cu), carpeta de la disciplina de Matemática / Matemática I / Sistematización de funciones de R en R.

2- Realice los siguientes ejercicios:

2.1- A partir del criterio de clasificación de funciones elementales de R en R presentada en el archivo “Clasificación de las funciones elementales”.

a) Clasifique, cada uno de los tipos de funciones estudiadas por usted en la enseñanza media. Fundamente.

2.2- Elabore un resumen en el que aparezcan para cada una de las funciones anteriormente clasificadas:

a) La definición.

b) Sus propiedades, y gráficos en los que aparezcan reflejadas sus propiedades.

c) Ponga ejemplos de cada una de ellas.

2.3- Realice los ejercicios indicados en los Power orientados.

2.4- En los ejercicios que a continuación presentamos.

a) Clasifique cada una de las funciones que intervienen y los valores de la variable independiente para los cuales están definidas dichas funciones.

b) Determine lo que se le pide en cada caso.

2.4.1- Halla la función f(x) = ax²+bx+c definida en el intervalo [-3; 3], si se sabe que en los extremos del intervalo toma valor 5 y f (0) = - 4 es su valor mínimo.

2.4.2- Si:

a- Determina para que valores de x se cumple que: 5 f(x)  5 fg(x)

2.4.3- Halla los interceptos del gráfico de la función:

f(x) = 1 - 4x-3 - 2x-2 con los ejes de coordenadas.

2.4.4- Si:

a- Diga para que valores de x no positivos f(x) es positiva.

2.4.5- Si f(x) = 4x-x². Determina para que valores de t se cumple que

log2 f(3t) -2  0.

2.4.6- Determina para que valores está definida la siguiente función:

2.4.7- Halla todos los valores de x para los cuales las funciones f y g alcanzan el mismo valor, si:

f (x) = cos2x-3cosx y g(x) = -(2+sen²x)

2.4.8- Determina para que valores de t se cumple que:

f (2t)+g(2t)= - 2 , si: f(x) = cos2x-3cosx y g(x) = sen²x .

2.4.9- ¿Para qué valores de la variable se anula la siguiente función:

f(x) = log3 (x²-5x-5) ?.

3- Presente por escrito un informe del resumen realizado en la actividad 2.2.

3.1- Los ejercicios correspondientes a las actividades 2.3 y 2.4 se evaluaran en clases prácticas a través de una pregunta escrita.

Hoja de trabajo -3-

Temática: Nuevas funciones a partir de las funciones elementales mediante transformaciones, operaciones y composiciones.

Objetivos:

1- Obtener nuevas funciones a partir de las funciones elementales.

2- Fundamentar los procedimientos para obtener nuevas funciones a partir de las funciones elementales.

3- Comprobar los resultados obtenidos mediante el asistente matemático Derive 6.0.

Acciones:

1- Obtener nuevas funciones a partir de las funciones elementales. Mediante:

a) Transformaciones sobre la base de:

a.1) Desplazamientos horizontales y verticales.

a.2) Estiramientos y contracciones respecto a los ejes de coordenadas.

a.3) Reflexiones verticales y horizontales.

b) Combinaciones a partir de operar algebraicamente.

c) Componer funciones.

2- Justificar conceptualmente los procedimientos utilizados.

3- Comprobar mediante el uso del asistente matemático Derive 6.0 los resultados alcanzados.

Actividades:

1- Realice un estudio cuidadoso de:

a) El capítulo 1. Epígrafe 1.3 del libro de texto. Cálculo con Trascendentes Tempranas. Parte I.

b) Los ficheros: “Acerca de las funciones reales de variable real”. doc y “Power Point. Funciones de R en R”, las Hojas T2-2, T2-3, T2-4, T2-5, T2-9, T3-1 y T3-2, que se encuentran en la dirección: (ftp.em.reduc.cu), carpeta de la disciplina de Matemática / Matemática I / Sistematización de funciones de R en R.

2- Realice los siguientes ejercicios:

2.1- Explique cómo se obtienen las gráficas siguientes a partir de la gráfica de y=f(x).

a) y= 5f(x), b) y=f(x-5), c) y=-f(x), d) y=-5f(x), e) y=f(5x), f) y=5f(x)-3, g) y=1/5f(x)+3

2.2- Obtenga manualmente los esbozos gráficos anteriores para los casos en que f(x) representa las siguientes funciones:

a) f(x)=x3, b) f(x)= √x, c) f(x)= ln x, d) f(x)= x2, e) f(x)=3x+1, f) f(x)=ex, g) f(x)=cosx h) f(x)= sen x

2.3- Compruebe mediante el graficado del asistente matemático Derive 6.0 la efectividad del trabajo realizado en el inciso anterior.

2.4- Determine los intervalos de valores de x donde son realizables operaciones algebraicas, con los pares de funciones, (a y b), (c y d), (e y f), (g y h). Fundamente. Auxíliese del asistente matemático Derive 6.0.

2.5- De las siguientes funciones:

1) y=-1/x, 2)y= 2-cosx, 3)y=tan 2x 4)y= 3√x+2, 5)y= x2 + 2x+3 6)y=|cosx| 7) y= 1/(x+3).

a) Grafique cada función, no por la colocación de puntos, sino a partir de la gráfica de las funciones elementales de la cual se han obtenido.

b) Compruebe mediante el asistente matemático Derive 6.0, el trabajo realizado en el inciso anterior.

2.6) Con los gráficos de f y g y los métodos gráficos de combinación algebraica. a) Grafique f+g, f-g, f.g. Cuando: f(x)=x y g(x)=1/x, y cuando f(x)= x3 y g(x)=-x2. Compruebe el trabajo mediante el graficado del asistente Derive.

2.7) Encuentre las funciones fog y gof, si es posible, en los casos que:

1- f(x)=√x-1 , g(x)= x2

2- f(x)=1/x , g(x)= x3+ 2x

3- f(x)= 1/(x-1) , g(x)=(x-1)/(x+1)

4- f(x)= sen x , g(x)= 1- √x

a) Fundamente.

b) Determine el dominio de cada una de las composiciones realizadas.

2.8) Exprese en la forma fog las siguientes funciones:

1- F(x)=(x-9)5 ; 2- F(x)= sen(√x ) ; 3- G(x)= x2/(x2+4)

2.9) Encuentre una función:

1- f tal que fog=h. Si g(x)= 2x+1 y h(x)=4x2+ 4x+7.

2- g tal que fog=h. Si f(x)= 3x+5 y h(x)= 3x2+3x+2.

3- g tal que gof=h. Si f(x)= x+4 y h(x)= 4x-1.

3- Envíe por correo electrónico las respuestas de los ejercicios realizados, al estudiante que lo apadrina, y a su profesor.

Hoja de trabajo -4-

Temática: Inversa de una función. La función logarítmica.

Objetivos:

1- Fundamentar la relación entre funciones dadas en forma analítica y gráfica con sus inversas.

2- Fundamentar la relación entre la función exponencial y logaritmo desde el puno de vista de la relación función, función inversa.

3- Comprobar resultados a través del asistente matemático Derive 6.0.

Acciones:

• Determinar la inversa de funciones.

• Justificar las relaciones entre funciones y sus inversas desde el punto de vista analítico y gráfico.

• Comprobar mediante el uso del asistente matemático Derive 6.0 los ejercicios realizados.

Actividades:

1- Realice un estudio cuidadoso de:

a) El capítulo 1. Epígrafe 1.6 del texto Cálculo con Trascendentes Tempranas. Parte I. (Stewart James).

b) Los ficheros: “Power Point. Funciones de R en R”, las Hojas T4-1, T4-2, T4-3, T4-4, T4-5, y T4-6, que se encuentran en la dirección: (ftp.em.reduc.cu), carpeta de la disciplina de Matemática / Matemática I / Sistematización de funciones de R en R.

2- Resuelve los ejercicios que se indican:

A) En las Hojas T4-1, T4-2, T4-3, T4-4, T4-5 y T4-6, aplicación “Power Point. Funciones de R en R”.

B) Los que presentamos en el siguiente bloque:

b1) A continuación le presentamos funciones dadas a través de diferentes representaciones. Seleccione aquellas que admiten inversa en todo su dominio. Fundamenta.

b1.1)

x 1 1 3 4 5 6

f(x) 1.5 2.0 3.6 5.3 2.8 2.0

b1.2)

x 1 1 3 4 5 6

g(x) 1 2 4 8 16 32

b1.3) b1.4)

f(v) f(k)

v k

g(x) h(x)

b1.5) x b1.6) x

b1.7) k(x)= x2-2x+5 b1.8) u(x)= x1/2 b1.9) k(x)= e4x-3

b1.10) f(t) es la función definida por la altura a la que se encuentra una pelota lanzada hacia arriba t segundos después del lanzamiento.

b1.11) h(t) es su peso a lo largo de un tiempo.

b.2) Si f es una función inyectiva (uno a uno) tal que f (2)= 9. Determine f-1(9).

b.3) Si p(x)= 3+ x+ ex , encuentre p-1(4). Fundamente.

b.4) Halle una fórmula para la inversa de las siguientes funciones. Compruebe su trabajo con la aplicación algebraica del asistente derive 6.0. Verifique gráficamente.

b.5) Encuentre una fórmula explícita para f-1 en las funciones que a continuación se presentan; úsela para trazar la gráfica de f-1, de f con el asistente Derive 6.0; también en la misma pantalla trace el gráfico de la recta y=x, y analice si los gráficos de f y f-1 son reflexiones respecto a ella.

C) Los ejercicios del texto “Calculo con Trascendentes Tempranas”, Parte I, epígrafe 1.6, página 74, (del 47 al 57). Compruebe su trabajo en el asistente Derive 6.0.

D) Los que conforman el bloque siguiente.

d1)- Dada la función: f(x) = log2 (x+2) + log2 (x+1) - log2 (x²-1) :

Determina para que valores de x, f(x) = 3.

d2)- Halla todas las abscisas no negativas que hacen que los puntos de la curva f(x) se encuentren por encima del gráfico de g(x).

d3)- ¿Para qué valores de la variable se anula la siguiente función:

f(x) = log3 (x²-5x-5) ?.

3- Elabore un informe, en el que aparezcan las respuestas de los bloques de ejercicios B y C con el objetivo de ser discutido en el seminario 1. Entréguelo como trabajo extractase en esa actividad.

Hoja de trabajo -5-

Temática: Funciones de R en R. Propiedades y gráficos.

Objetivos:

1- Caracterizar funciones, a partir de sus ecuaciones y gráficos.

2- Comprobar resultados a través del asistente matemático Derive 6.0.

Acciones:

• Describir funciones, sobre la base de determinar sus propiedades y gráfico.

• Comprobar el trabajo realizado a través del asistente matemático Derive 6.0.

• Exponer ordenadamente los razonamientos.

Actividades:

1- Realice un estudio cuidadoso de:

a) El capítulo 1. Epígrafes del 1.1 al 1.6, del texto. Cálculo con Trascendentes Tempranas. Parte I.

b) Los ficheros: “Power Point. Funciones de R en R”, las Hojas T5-1, T5-2, T5-3, T5-4, T5-5 y T5-6, que se encuentran en la dirección: (ftp.em.reduc.cu), carpeta de la disciplina de Matemática / Matemática I / Sistematización de funciones de R en R.

2- Resuelve los ejercicios indicados en las Hojas T5-1, T5-2, T5-3, T5-4, T5-5 y T5-6, aplicación “Power Point. Funciones de R en R”.

2.1- A continuación presentamos una selección de ejercicios variados, acerca de funciones de R en R, extraídos de diferentes convocatorias de examen de ingreso a la educación superior.

a) Resuélvelos.

b) Comprueba los resultados con la ayuda del asistente Derive 6.0. Utiliza tanto la aplicación analítica como gráfica que te brinda dicho asistente.

Curso 1996-1997.

1- Sea la función definida por f(x) = 1/2.x + 5. Halle los valo¬res de x para los cuales se cumple que:

f(x)=  2f(x)-1

Curso 1997 – 1998 (Segunda Convocatoria).

1- Resuelve la ecuación:

2- Sea A un número real dado. Considera la ecuación:

cos x + cos 2x +A = 0

a) Resuelve la ecuación para A = – 2.

b) ¿Para qué valores de A una de las soluciones de la ecuación es ?

Curso 1998 – 1999.

(Primera Convocatoria)

1- Dadas las expresiones: . Determina para qué valores de x están definidas simultáneamente ambas expresiones.

(Segunda Convocatoria)

1- Dada la igualdad

a) Demuestre que para A = 1 la igualdad que se obtiene es una identidad para todos los valores admisibles de la variable x.

b) En la igualdad toda considera A = ½ y resuelve la ecuación obtenida.

Curso 1999 – 2000.

(Primera Convocatoria)

1- Determina los valores reales de x que satisfacen la ecuación:

2- Sean las funciones f y g : g(x)=x

a) Halla el dominio de la función f.

b) Encuentra los valores reales de x para los cuales se cumple la ecuación: f(x)= g(x).

Curso 2000– 2001.

(Primera Convocatoria)

1- Dadas las funciones f y g definidas por y

a) Halla el dominio de la función f.

b) Determina los valores reales de x tales que f(x) – g(x) = 0

(Segunda convocatoria)

1- Dadas las funciones f y g definidas por:

f(x) = g(x) =

a) Halla el dominio de la función g.

b) Determina los valores de x, tales que: f(x)• g(x) > 0.

Curso 2001 – 2002.

(Primera Convocatoria)

1- Sean f y g dos funciones reales dadas por las ecuaciones y

a) Halla el dominio de la función f.

b) Determina para qué valores de t se cumple que f(t) = g(t)

(Segunda Convocatoria)

1- Dada la función real definida para todos los valores reales de t por la ecuación: .

a) Verifica que se cumple:

b) Determina para qué valores de t se cumple:

Curso 2002 – 2003.

(Primera Convocatoria)

1- Dadas la funciones y

a) Calcula .

b) Halla los valores de x para los cuales las imágenes de la función f son menores o iguales que las imágenes de la función g.

(Segunda Convocatoria)

1- Se dan las funciones

y .

a) Prueba que f(x) = g(x) para todos los valores admisibles de la variable.

b) Resuelve la ecuación

Curso 2004 – 2005.

(Primera Convocatoria)

1- Sean las funciones reales f y g dadas por las ecuaciones: y

a) Determina el dominio de f.

b) Halla los valores de x para los cuales se cumple que g(x) = 1.

Curso 2005 – 2006.

(Primera Convocatoria)

1. Sean las funciones reales f, g y h, definidas por las ecuaciones:

, y

a) Determina el dominio y la imagen de la función f.

b) Calcula los valores reales para los cuales se cumple que .

c) Halla las coordenadas del punto en que el gráfico de la función h corta al eje "y".

3- Envíe por correo electrónico las respuestas de los ejercicios orientados en la actividad 2, al estudiante que lo apadrina, y a su profesor.

3.1- Entregue un trabajo extra clase el día que se aplique el primer Trabajo de Control Parcial de la asignatura Matemática I; en el cual aparezca detalladamente la solución a los ejercicios de los exámenes de ingresos relativos a funciones en el período 2000-2006.

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