3.3.4. Suma y resta de matrices

Para que dos o más matrices puedan sumarse o restarse es necesario que tengan la misma dimensión. Los elementos de la matriz suma o resta se obtienen sumando o restando los elementos que ocupan el mismo lugar en las matrices que intervienen en la operación:

Propiedades:

- Conmutativa :

- Asociativa:

- La traspuesta de una suma o una resta es igual a la suma o resta de las traspuestas:

El operador disponible en Shazam para sumar matrices es el signo “+” y para restar es el signo “-”.

3.3.5. Producto de matrices

Como ya se ha comentado en el apartado 3.2, una matriz puede ser considerada como un conjunto de vectores columna o como un conjunto de vectores fila. Por tanto, dada una matriz A de orden TxK (T filas y k columnas), puede considerarse como un conjunto de k vectores columna de T filas cada uno o como un conjunto de k vectores filas de T columnas cada uno:

Sea

donde se denota por al vector columna formado por los elementos de la columna j-ésima de la matriz A:

y se denota por al vector fila formado por los elementos de la fila i-ésima de la matriz A:

Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz. El número de filas de la matriz producto coincidirá con el número de filas de la primera matriz y el número de columnas, con el número de columnas de la segunda matriz:

Si

donde se define como el producto interno de la fila i-ésima de la matriz A (vector ) por la columna j-ésima de la matriz B (vector )

Propiedades:

- El producto de matrices generalmente no es conmutativo. Para que exista el producto AB y BA es necesario que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B y que el número de columnas de B sea igual al número de filas de A . No obstante, esto es una condición necesaria pero no suficiente para que AB y BA sean dos matrices iguales, puesto que su dimensión puede ser distinta y aún cuando tengan la misma dimensión, sus elementos pueden diferir .

- Asociativa:

- Distributiva respecto a la suma:

- La traspuesta de un producto :

El operador disponible en Shazam para multiplicar matrices es el signo “*”.

El producto de un escalar por una matriz se obtiene multiplicando el escalar por cada uno de los elementos de la matriz:

Sea

El producto de matrices permite expresar de forma sintética sistemas de ecuaciones, lo cual facilita los desarrollos econométricos. Así, un sistema de T ecuaciones con (k+1) incógnitas se puede expresar como el producto de una matriz de orden Tx(k+1) y un vector columna de (k+1) filas:

Cualquier matriz premultiplicada o postmultiplicada por una matriz identidad del orden adecuado da la misma matriz:

3.3.5.1. Aplicaciones del producto de matrices

El producto de matrices y/o vectores permite que determinadas sumas de elementos se puedan expresar de forma sintética:

1) Cualquier vector (fila o columna) premultiplicado o postmultiplicado por un vector (columna o fila) del orden adecuado, en el que todos sus elementos son iguales a uno , proporciona la suma de los elementos de dicho vector:

2) Si todos los elementos de un vector son la misma constante, dicho vector se puede expresar como el producto de la constante por un vector de unos del mismo orden que el vector original.

si y, por tanto, la suma de sus elementos será: