GUÍA DE INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA UTILIZANDO SHAZAM PROFESSIONAL

Mª Isabel Cal Bouzada
Mª Victoria Verdugo Matés

 

Capítulo 4. ESTIMACIÓN MCO: MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CLÁSICO

4.1. Presentación e hipótesis básicas del Modelo de Regresión Lineal Múltiple

El Modelo de Regresión Lineal Múltiple es el caso más simple de modelización econométrica, por lo que será nuestro modelo de partida. Se denomina lineal porque la relación entre las variables es de tipo lineal y múltiple porque tiene una única ecuación y varias variables explicativas:

Donde:

T: Tamaño muestral (número de observaciones disponibles).

: Variable endógena, variable explicada o regresando.

: Variables predetermi¬nadas o regresores ( son las variables explicativas y es el denominado regresor ficticio).

Las variables explicativas tienen dos subíndices, el primero (i) da nombre a la variable y el segundo (t) se refiere a la observación muestral, representando el tiempo si la serie es temporal y la unidad económica si la serie es atemporal.

: Perturbación Aleatoria, variable no observable que representa el efecto de todos los factores no incluidos de forma explícita en el modelo.

: Parámetros, son los factores desconocidos cuyos valores se suponen constantes a lo largo de toda la muestra.

Aunque no es lo habitual, en algunos modelos puede no aparecer el parámetro que acompaña al regresor ficticio, encontrándonos en este caso ante modelos formulados sin ordenada en el origen.

El Modelo de Regresión Lineal Múltiple se puede escribir matricialmente:

Donde:

: Vector columna de orden Tx1, que incluye las T observaciones del regresando.

: Matriz de orden Tx(K+1), que contiene las observaciones de los regresores (las K variables explicativas y el regresor ficticio). A la matriz X también se le denomina Matriz de Diseño.

: Vector columna de orden (K+1)x1, que contiene los (K+1) parámetros del modelo.

: Vector columna de orden Tx1, que contiene las perturbaciones del modelo.

Las hipótesis básicas de un Modelo de Regresión Lineal Múltiple son las siguientes:

H1. Forma funcional lineal.

El valor esperado del regresando es una combinación lineal de los regresores, sin embargo, la relación que liga al regresando con los regresores es estocástica ya que aparece el término perturbación aleatoria, es decir, se trata de una relación lineal no exacta.

La hipótesis de linealidad se justifica por la facilidad de su tratamiento analítico y como primer paso para la especificación de formas funcionales más complicadas.

H2. No existen errores de observación en las variables.

H3. La perturbación es ruido blanco.

En terminología estadística una variable ruido blanco es una variable aleatoria que se caracteriza por tener esperanza nula ( ), varianza constante ( ) y covarianza nula ( ), por lo que a este modelo también se le denomina Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC).

En álgebra matricial:

H3.1.

Esta hipótesis supone que todos los factores no incluidos de forma explícita en el modelo y, por tanto, incluidos en el término perturbación, no producen efectos sistemáticos, al compensarse en promedio, los efectos positivos con los negativos.

H3.2.

Donde V es una matriz simétrica y escalar de orden TxT, denominada matriz de varianzas-covarianzas de las perturbaciones de manera que sus elementos diagonales son las varianzas de los elementos del vector de perturbaciones y sus elementos no diagonales son las covarianzas entre dichos elementos.

Esta hipótesis recoge las hipótesis de homocedasticidad e incorrelación de las perturbaciones de un Modelo de Regresión Lineal Múltiple:

. (Hipótesis de Homocedasticidad).

La varianza de las perturbaciones es constante e independiente de la observación de que se trate, es decir, los factores causales recogidos de forma implícita en la perturbación, actúan de manera análoga en cada observación.

. (Hipótesis de Incorrelación entre las perturbaciones).

Las covarianzas entre las distintas perturbaciones son nulas, lo que significa que las perturbaciones no están correlacionadas entre sí, por ello, lo que ocurra en cada observación en esos factores integrados en la perturbación no va a estar relacionado con lo que ocurra en la observación anterior o posterior.

Las hipótesis de esperanza nula y matriz de varianzas-covarianzas escalar, suelen expresarse conjuntamente con la denominación de perturbaciones esféricas.

H4. Hipótesis relativas a la matriz X:

H4.1. Rango (X) = K+1 (Condición de rango o hipótesis de rango pleno).

Con esta condición se exige que el rango de la matriz X coincida con el número de columnas de dicha matriz (K+1), por lo que todas las columnas de la matriz X deben ser linealmente independientes (hipótesis de no colinealidad de los regresores). La independencia lineal entre los regresores del modelo hace posible aislar el efecto de cada uno de ellos.

Esta hipótesis afecta a la posibilidad de hacer la estimación del modelo, ya que es una condición necesaria para poder calcular la inversa de la matriz (X'X).

H4.2. T > K+1.

Con esta condición se exige que el número de filas de la matriz X (T) sea mayor que el número de columnas de dicha matriz (K+1). Es una condición necesaria, aunque no suficiente, para poder abordar la estimación, pues garantiza que el número de observaciones de las variables sea mayor que el número de parámetros a estimar, con lo que se asegura el suficiente número de grados de libertad.

Además, es conveniente que el tamaño de la muestra (T) sea grande, ya que ello contribuirá a la obtención de mejores estimadores de los parámetros.

H4.3. X no es estocástica (Hipótesis de Exogeneidad).

Esta hipótesis supone que la matriz de regresores no varía al pasar de una muestra a otra, siendo una hipótesis que simplifica algunas demostraciones, aunque hay que destacar que las buenas propiedades de los estimadores de un modelo clásico se mantienen aunque se sustituya la hipótesis de regresores no estocásticos por la de regresores estocásticos pero independientes de la perturbación.

Las hipótesis que se acaban de indicar son suficientes para obtener estimadores puntuales de los parámetros del modelo.

Como criterio de estimación elegiremos el método consistente en minimizar la Suma de Cuadrados de los Errores, denominado Método Mínimo Cuadrático, ya que bajo las hipótesis del Modelo de Regresión Lineal Múltiple proporciona estimadores con buenas propiedades. Los estimadores obtenidos por este método se denominarán Estimadores Mínimo Cuadráticos Ordinarios (EMCO) de los parámetros del modelo.  

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