3.3.6. Determinante de una matriz

El determinante de una matriz es un escalar que sólo se puede calcular si se trata de una matriz cuadrada, es decir, aquella en que el número de filas y de columnas coincide. Para denotarlo se precede el nombre de la matriz por “det” o se incluye dicho nombre entre dos barra verticales “| |”.

Una regla general para calcular el determinante de cualquier matriz sea del orden que sea es a través del uso de sus cofactores.

Se denomina cofactor del elemento aij y se denota habitualmente por Aij, al producto del determinante de la matriz que resulta de eliminar la fila y la columna en la que se situa dicho elemento por (-1)i+j.

Sea A una matriz cuadrada de orden MxM, el cofactor del elemento aij no será más que el determinante de la matriz (M-1)x(M-1) que resulta de eliminar la fila i-ésima y la columna j-ésima, cambiado de signo si la suma de los subíndices correspondientes a su fila y columna es impar.

La regla general para obtener el determinante de una matriz consiste en seleccionar una fila o una columna de dicha matriz y multiplicar cada uno de sus elementos por sus cofactores correspondientes y sumar los resultados. Por ejemplo, utilizando como base de los cálculos la fila i-ésima, el determinante se calcularía como:

La “fórmula de los cofactores” permite reducir un determinante de cualquier orden a una combinación de determinantes de orden inferior. Por tanto, si se tuviera que calcular el determinante de forma manual, se tendría que desarrollar la expresión hasta llegar a los determinantes de menor orden posible, es decir, 1x1. Para simplificar el proceso sería conveniente elegir la fila o columna más apropiada, es decir, la que permitiera llegar al resultado final con menos calculos .

Propiedades:

- Si se intercambian dos filas/columnas cualesquiera de una matriz, su determinante cambia de signo.

- Si se multiplican todos los elementos de una fila/columna de una matriz por un escalar, su determinante queda multiplicado por ese escalar.

- El valor del determinante queda inalterado si se suma a cualquier fila/columna, un múltiplo de cualquier otra fila/columna.

- Si una matriz tiene dos filas/columnas iguales, su determinante es nulo.

- El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta:

- El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes:

Cuando el determinante de una matriz es nulo, se dice que es una matriz singular y cuando su determinante es distinto de cero, se dice que es una matriz no singular.

La función disponible en Shazam para calcular el determinante de una matriz es DET(matrix).

3.3.7. Rango de una matriz

Una matriz puede ser interpretada como un conjunto de vectores columna (variables del modelo econométrico) y, por tanto, su rango puede ser interpretado como el mayor número de columnas (variables) linealmente independientes. Se denomina rango de una matriz al orden del mayor determinante no nulo que se pueda calcular con sus elementos.

Propiedades:

- El rango de una matriz es igual al rango de su traspuesta:

- Si el rango de una matriz cuadrada es pleno, es decir, coincide con el número de sus columnas, se dice que dicha matriz es no singular: . Como se verá en el próximo epígrafe para que una matriz se pueda invertir debe ser cuadrada y tener rango pleno.

- El rango de una matriz siempre será un número menor o igual al minimo entre el número de columnas y número de filas de la matriz:

- El rango de un producto de matrices será menor o igual al mínimo de los rangos de las matrices que se multiplican:

La función disponible en Shazam para calcular el rango es RANK(matrix).

3.3.8. Matriz inversa

La inversa de una matriz A, es una matriz denotada A-1 tal que, si se premultiplica o postmultiplica por A, da como resultado la matriz identidad:

Dos son las condiciones necesarias para que una matriz tenga inversa:

- Que sea una matriz cuadrada, es decir, que el número de filas coincida con el número de columnas.

- Que sea una matriz no singular, es decir, que su determinante sea no nulo.

La inversa de una matriz cuadrada A se obtiene a partir de su determinante y de su matriz adjunta :

Propiedades:

- La inversa del producto de matrices es igual al producto de las inversas de dichas matrices en orden inverso a su escritura, es decir, de derecha a izquierda:

- La traspuesta de la inversa de una matriz es igual a la inversa de su traspuesta:

- La inversa de una matriz simétrica, también es simétrica.

La función disponible en Shazam para calcular el rango es INV(matrix).

3.3.9. Traza de un matriz

Se denomina traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal principal:

Propiedades:

- La traza de una matriz identidad coincide con su dimensión:

- La traza de una matriz coincide con la traza de se traspuesta:

- La traza de la suma de matrices es igual a la suma de las trazas:

- La traza del producto de un escalar por una matriz es igual al producto del escalar por la traza de la matriz:

- La traza del producto de matrices es igual al producto de las trazas:

- Si

La función disponible en Shazam para calcular la traza es TRACE(matrix).