BIBLIOTECA VIRTUAL de Derecho, Economía y Ciencias Sociales

SEIS SIGMA. MÉTODOS ESTADÍSTICOS Y SUS APLICACIONES

Roberto José Herrera Acosta y Tomás José Fontalvo Herrera




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CAPÍTULO 4. ETAPA DE MEJORAMIENTO

Introducción

En esta etapa la organización debe mejorar continuamente en términos de la eficacia de sus procesos, de tal manera que permita llevar a cabo nuevas técnicas o formas más efectivas de optimización. Para lograr este mejoramiento la organización debe comprometerse a determinar las tendencias del producto y a establecer el nivel de satisfacción del cliente, a la vez que debe realizar estudios comparativos de su desempeño y nivel de competitividad con respecto a otras organizaciones. Técnicas de mejoramiento como el AMEF, el DISEÑO EXPERIMENTAL ayudan a la toma de decisiones adecuadas en la organización.

4.1 Análisis del Modo y Efecto de Fallas Potenciales.

Una herramienta útil para llevar a cabo la etapa de mejoramiento continuo es el análisis del modo y efecto de fallas, AMEF (ver cuadro 12), mediante el cual se identifica el problema y sus posibles causas, así como también se proponen posibles soluciones, se estipulan los responsables y las fechas establecidas para la ejecución de las mismas.

La técnica AMEF se basa fundamentalmente en procedimientos de observación y descripción constantes, por lo que es poco objetiva y su utilización se restringe a casos poco complejos de análisis.

4.2 Diseño Experimental Unifactorial.

El diseño experimental es otra de las herramientas más aplicadas en el mejoramiento y optimización de un proceso. Aquí, mediante una técnica denominada análisis de varianza se cuantifica el efecto de diferentes niveles o tratamientos sobre una variable respuesta que se constituye en objeto de interés. Uno de los principales objetivos del análisis de los datos en un diseño experimental es cuantificar y evaluar la importancia de las fuentes de variación atribuida a distintos niveles de uno o varios factores de clasificación o tratamientos.

En términos formales, el análisis de varianza, ideado por R. A. Fisher, es un procedimiento sistemático que transforma la variabilidad total (o suma de cuadrados totales), en variabilidad explicada por los distintos niveles de los factores de clasificación o, simplemente, tratamientos y una variabilidad inexplicable debida a presencia inevitable de discrepancias entre lo que se observa y lo que debiera ser. La tabla de análisis de varianza resume el conocimiento acerca de la variabilidad de las observaciones del experimento. Se ha hecho una partición en dos de la suma total de cuadrados; una representa la variación entre las medias de los tratamientos, la otra del error experimental.

El diseño unifactorial se utiliza cuando las observaciones de una variable respuesta de interés sufren la influencia de cierto factor, el cual se puede presentar en niveles diferentes de forma que para cada uno de ellos se realizan muestras independientes de tamaño , con i mostrando los distintos niveles del factor de interés. Aquí, N representa el total general de observaciones en todos los niveles, representa el total para el i –ésimo nivel del factor y es el gran total.

Es útil describir las observaciones de un experimento en forma de un modelo matemático. Para el diseño unifactorial el modelo tiene la forma

donde es la j-ésima observación del i-ésimo factor,

es un parámetro común a todos los tratamientos al que se llama media global,

es un parámetro único del tratamiento i-ésimo al que se le llama efecto del tratamiento i-ésimo,

es un componente del error aleatorio.

La ecuación anterior se conoce por lo general como el modelo de los efectos. Igualmente a este modelo se le considera, por su facilidad de solución, como un modelo estadístico lineal, es decir la variable de respuesta es una función lineal de los parámetros del modelo. El modelo de efectos en el cual se investiga la influencia de un único factor se denomina modelo de análisis de varianza simple o de una vía. Además, es un requisito indispensable que el experimento se lleve a cabo en orden aleatorio para que el ambiente en el que se apliquen los tratamientos sea lo más uniforme posible. Por lo tanto, el diseño experimental es un diseño completamente aleatorizado. Los objetivos serán probar la hipótesis apropiada acerca de las medias de los tratamientos y estimarlas.

Las formulaciones planteadas en la tabla de análisis de varianza se presentan a continuación.

La suma total de cuadrados es

La suma de cuadrados de los tratamientos es

La suma de cuadrados del error se evalúa mediante la diferencia de la suma total de cuadrados y la suma de cuadrados del tratamiento, así

Si una variación debido a los tratamientos es significativamente mayor que el error experimental aleatorio, entonces se requiere una prueba de hipótesis. Para la prueba de hipótesis se utiliza una región crítica de un lado en la cola de la derecha. La hipótesis nula se rechaza para una probabilidad de un error tipo I de la siguiente forma

donde es el valor crítico de la distribución de Fisher para un nivel de significancia igual a α.

Aquí la hipótesis nula planteada es . Mediante esta prueba se busca determinar que tan significativa es la influencia de los niveles del factor sobre la variable respuesta.

4.3 Ajuste de Superficie de Respuesta.

Para la optimización del proceso se puede modelar la información suministrada mediante un polinomio que se ajuste en forma adecuada a los datos. Esto se realiza mediante un ajuste de superficie de respuesta para el modelo unifactorial que se presenta a continuación.

El modelo polinomial que se ajusta requiere que los niveles o tratamientos sean cuantitativos o numéricos y equidistantes, siendo su formulación

Donde es un polinomio ortogonal de orden , es decir, para un experimento con a niveles del factor X, se tiene que

, para

Las sumas de cuadrados en un diseño unifactorial se determinan de la misma manera como se indicó en el aparte inmediatamente anterior.

El siguiente paso es determinar la idoneidad del modelo mediante el coeficiente de determinación , calculado de la siguiente forma

Algunos autores consideran que un modelo es idóneo o que interpreta en forma adecuada el fenómeno estocástico que pretende modelar cuando

Para ilustrar el procedimiento de ajuste nos remitimos una vez más al ejemplo que hemos venido trabajando. El cuadro 14 muestra la información referente al peso de las píldoras elaboradas en Laboratorios PASTILLA S. A. a tres niveles distintos igualmente espaciados de recubrimiento. Los cálculos respectivos para ajustar un polinomio de segundo orden a los datos consignados en el cuadro se presentan a continuación.

A continuación se calculan las sumas de cuadrados para cada uno de los tratamientos teniendo en cuenta la asignación de coeficientes para contrastes ortogonales que se presenta en el cuadro 15.

El cálculo de las sumas de cuadrados para cada uno de lo tratamientos está definida por

donde el numerador y el denominador de la expresión anterior representan respectivamente el cuadrado de los efectos y la combinación muestral para cada uno de los miembros del polinomio a ajustar. En ambas expresiones ci representa el coeficiente ortogonal asociado al i-ésimo tratamiento.

Los efectos para las partes lineal y cuadrática del polinomio son, respectivamente,

La combinación muestral para las partes lineal y cuadrática del polinomio es respectivamente,

Teniendo en cuenta los cálculos realizados, las sumas de cuadrados para las partes lineal y cuadrática del polinomio son iguales a 1010.025 y 91.875, respectivamente. La tabla completa de análisis de varianza para el caso bajo estudio se presenta seguidamente en el cuadro 16.

Los primeros tres polinomios ortogonales son donde es la distancia entre los niveles de X, es el número de niveles del experimento, son constantes que aseguran que los polinomios toman valores enteros.

Las estimaciones para los parámetros del modelo de polinomios ortogonales se determinan mediante la fórmula

Para el caso del recubrimiento de las píldoras, el cómputo de los estimadores de los coeficientes polinomiales arroja los siguientes resultados

Teniendo en cuenta que para el caso objeto de estudio se tiene que , la distancia entre los niveles y , el ajuste del modelo polinomial toma finalmente la forma

Ecuación que en primera instancia permite estimar el valor del peso de la píldora para porcentajes de recubrimiento especificado. La utilidad de esta predicción se despeja en el momento que se evalúa el coeficiente de determinación

Lo que evidentemente indica que el modelo ajustado no es recomendable para predecir el peso de la pastilla si se toma como variable independiente el recubrimiento de la misma. En esta instancia, dados los resultados del ajuste, el investigador debe explorar otros tipos de modelos y encontrar el que mejor se ajuste al fenómeno que se estudia.


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