BIBLIOTECA VIRTUAL de Derecho, Economía y Ciencias Sociales

SEIS SIGMA. MÉTODOS ESTADÍSTICOS Y SUS APLICACIONES

Roberto José Herrera Acosta y Tomás José Fontalvo Herrera




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CAPÍTULO 6. ETAPA DE CONTROL

Introducción

Esta etapa permite verificar la efectividad y la eficacia de los diversos cambios que sufre el proceso no a través de las diversas etapas de mejora. Es indispensable entonces definir unos indicadores que nos muestre el nivel de desempeño de la organización. Las ciencias estadísticas permiten utilizar un sinnúmero de aplicaciones para conocer el estado de un proceso bajo los eventos que ofrece la información recolectada en la organización.

Entre los métodos o procedimientos aplicados para realizar el control a un proceso se encuentran herramientas tales como los Gráficos de Control Univariada por variables y Capacidad del proceso; las anteriores herramientas son aplicadas cuando las variables son cuantitativas, Gráficas Univariadas por atributos cuando las variables son cualitativas, las Gráficas de Control Multivariadas y el Diseño de Experimentos.

6.1 Gráficos de Control Univariados.

Es un diagrama que presenta el comportamiento y a su vez se realiza el seguimiento de una característica de calidad en el tiempo. Detectando la existencia o no de inestabilidad en el proceso, si ello ocurre se conoce como causa asignable (En estadística involucra la variabilidad ajena a la información del proceso). La característica de calidad es evaluada mediante el estadístico de las muestras o subgrupos que se toman del proceso.

Entre los estadísticos más utilizado tenemos el promedio , el rango , la varianza , la proporción , El numero de no conformidades en el subgrupo . Los tres primeros son aplicados en las Gráficas de Control por Variable y las dos últimas por las gráficas de control por atributos. El supuesto de normalidad e independencia se deben cumplir para la elaboración de estas gráficas de control.

6.1.1 Fundamentos Teóricos de los Gráficos de Control Univariados por Variables. Esta gráfica es propuesta por Walter Shewhart, es una de las herramientas más utilizadas en el SPC, permite monitorear y controlar el promedio de un proceso es conocido como gráfico , es una carta que se aplica para controlar y mejorar la calidad media a través del valor promedio , calculado en cada subgrupo o muestra, es presentada simultáneamente con el gráfico que permite controlar y mejorar la dispersión o variabilidad.

Pero como la variación es inherente en cada subgrupo los promedios y los rangos varían en cada subgrupo permitiendo así dos tipos de errores:

Error tipo I: ocurre cuando al tomar una muestra conduzca a tomar una acción, cuando en realidad no ha habido cambio alguno en el proceso.

Error tipo II: sucede cuando al tomar una muestra la gráfica muestre un proceso bajo control cuando en la realidad haya ocurrido un cambio en el proceso.

Para que un proceso de producción sea estable, ambas estadísticas, tanto el promedio como la dispersión deben estar en estado de control. Por tal motivo, para efectos prácticos, las cartas y se dibujan en la misma hoja de papel. Esta etapa del proceso se conoce como FASE I.

La siguiente es la secuencia de actividades generales que se sigue en la elaboración de cartas de control y :

1. Establecimiento de objetivos.

2. Selección de las variables a controlar: la variable o variables a controlar deben ser magnitudes susceptibles de medirse.

3. Elección del criterio de formación de subgrupos.

4. Elección de tamaño y frecuencia de los subgrupos.

5. Determinación del método de medición.

6. Obtención de las mediciones y registro de ellos.

7. Cálculo de la media, de cada subgrupo.

8. Cálculo de la amplitud , de cada subgrupo: la amplitud de cada subgrupo se calcula restando el valor de la medición más baja de la más alta.

9. Cálculo del rango promedio .

10. Determinación de límites de control. Los límites de control de la carta R se calcula de la siguiente manera y donde y son factores que dependen del tamaño de la muestra. Para la carta , los límites de control se expresan de la siguiente manera y donde A2 es un factor que depende del tamaño no del subgrupo, está definida como .

La metodología en la elaboración de cartas de control y es similar que la establecida en las gráficas y . Calculando el valor de la desviación estándar de cada uno de los subgrupos y las formulaciones utilizadas para determinar los límites de control iniciales o FASE I, estos son: para los límites de control de , se calcula y donde y son factores que dependen del tamaño de la muestra.

Para la carta , los límites de control utilizados son evaluados mediante y donde es un factor que depende del tamaño de la muestra. Estos límites son obtenidos al estimar el valor de mediante la desviación estándar muestral evaluada en cada uno de los subgrupos. Sea , donde , entonces la estimación de la desviación es , donde es la desviación estándar muestral para cada los subgrupos.

Algunas veces existen dificultades en la agrupación de la información debido a las condiciones naturales del proceso, por lo que se hace necesario aplicar cartas de control de una sola réplica , donde los límites de control se obtienen de la siguiente forma,

, , , donde es conocido como el rango móvil. El valor de depende del tamaño del agrupamiento que se realice en la información suministrada por el proceso. Los límites de control para el rango móvil son los siguientes, , , . Es importante recalcar que la prueba de normalidad es fundamental en este tipo de cartas de control, ya que en este caso no se tiene el efecto del Teorema del Límite Central, diferencia que se tiene cuando se calcula la media muestral a partir de un subgrupo.

Cuando el supuesto de normalidad no es cumplido se hace necesario transformar la información, de tal manera que cumpla los criterios de normalidad que exigen pruebas conocidas como Kolmogorov Smirnov o la prueba de Anderson Darling.

Cuando el tamaño del subgrupo es variable es conveniente utilizar las cartas y , en donde es el número de observaciones encontrado en el i-ésimo subgrupo, entonces los estadísticos o líneas centrales se calculan de la siguiente manera,

y , las constantes , y dependen del tamaño del subgrupo seleccionado.

Recalcular los límites de control. Una vez obtenidos los límites de control inicial o históricos, (se recomienda obtener la información durante los seis primeros meses) para posteriormente identificar los límites naturales o estándar del proceso, estos valores naturales se obtienen una vez identificado los puntos por fuera de los limites de control o si existen tendencias en el proceso.

Por supuesto si la información histórica no presenta estas dos condiciones de fuera de control los límites iniciales o históricos serán considerados como límites naturales o estándar para el proceso.

Cuando se está evaluando si un proceso se encuentra fuera de control la primera gráfica que se debe analizar con mucho cuidado es la grafica de la medida de variabilidad en este caso la gráfica , que permite observar si existe homogeneidad en la variabilidad del proceso. Cuando en el proceso llegara a suceder lo contrario (alta variabilidad en la información) no se puede realizar un buen análisis en la grafica de rangos y por su puesto en la gráfica de localización, gráfica , si no se estabiliza la variabilidad (observe que los límites de control de la gráfica de localización depende de la variabilidad en el proceso que en el ejemplo lo representa el rango o recorrido) el análisis que se realice del mismo está totalmente alejado de la realidad.

Cuando existen puntos fuera de control se debe recalcular la media y el rango utilizando la siguiente fórmula, para recalcular el promedio ; y para recalcular el rango

Donde los promedios, los rangos y la cantidad de subgrupos descartados son en su respectivo orden y .

Estimación de la Desviación Estándar de la Población. La teoría estadística proporciona una relación entre el promedio y la desviación estándar muestral (este promedio es el resultado de la sumatoria de las desviaciones estándar para cada subgrupo entre el número de subgrupos recogidos en cada muestra) y la desviación estándar poblacional . Relación que está dada por la constante . Por ejemplo, el valor de c4 para una muestra de cinco es de 0.94. Posteriormente se obtiene el promedio de la desviación estándar de los grupos en estudios. La estimación de la desviación poblacional mediante . También suministra el valor esperado de la relación existente entre el recorrido (calculado sumando los rangos obtenidos en todos los subgrupos entre el numero de ellos) y la desviación estándar poblacional mediante el parámetro . La estimación de la desviación es

La FASE II o Determinación de los Límites de Control Estándar. Una vez establecido, mediante las cartas, que el proceso se encuentra bajo control estadístico (es el fundamento de los límites de control inicial, FASE I), el siguiente paso es calcular los límites de control estándar del proceso. Para la medida de localización o promedio la formulación es la siguiente, el límite de control superior es donde y , son los parámetros del proceso, promedio y desviación estándar; el límite central y el límite de control inferior . Para la medida de variabilidad tenemos para el límite superior estándar de control , el límite central estándar y el límite inferior estándar de control .

Los límites de control estándar para las graficas y son para las medidas de localización , , donde y , son los parámetros del proceso, promedio y desviación estándar; el límite central y el límite de control inferior . De otra parte la medida de variabilidad es calculada mediante la siguiente formulación , y

En el siguiente ejemplo se observa cómo se elaboran los límites de control iniciales o FASE I para la media, el rango y la desviación estándar del peso de las píldoras Estile.

Determinación de límites de control. Los límites de control de la carta R se calculan de la siguiente forma, y donde y son factores que dependen del tamaño de la muestra. Para la carta , los límites de control se formulan de la siguiente manera y donde es un factor que depende del tamaño de la muestra.

Longitud Promedio de Corrida ARL. La longitud de Corrida RL (Run Length) está definida como el número de subgrupos graficado en la carta hasta que aparezca una señal fuera de control. Este valor de RL se comporta como una variable aleatoria, ya que al realizar el experimento en las mismas condiciones no se puede garantizar que el valor RL es el mismo. Este motivo justifica calcular un valor esperado de la longitud de Corrida, conocido como ARL o Longitud de Corrida Promedio.

El valor ARL es utilizado para determinar de manera aproximada la eficiencia de las cartas de control, por ejemplo cuando se toma una carta de control con observaciones en cada subgrupo y los valores de se distribuyen normal e independientes, el cálculo de que un subgrupo se encuentre fuera control es,

Sea el número de subgrupos graficado en la carta hasta obtener un estado fuera de control, se verifica que esta variable sigue una distribución geométrica con parámetro , de tal manera que

El valor esperado de una distribución geométrica está definida como y su varianza . Por lo tanto la Longitud Promedio de Corrida ARL está definida como .

Estados Fuera de Control. Existen diversos comportamientos que nos indican un estado fuera de control. Entre estos comportamientos se encuentra, el Tipo Mezcla en donde se sospecha de que en el proceso existen dos o más poblaciones de un mismo factor, cuyo comportamiento es totalmente diferente uno de otro. Entre las causas que generan este tipo de comportamiento tenemos Materia prima, Operario y Equipo.

La Tendencia es otro tipo de comportamiento que se presenta por una secuencia continua en forma ascendente o descendente del comportamiento de los subgrupos del proceso y es debido a Desajuste de Equipo, Desgaste de una pieza y Descuido del operario.

El comportamiento Tipo Cambio de Nivel es la repentina modificación de las condiciones del proceso y es causada por la Materia prima, Operarios con diferentes procedimientos o el Ajuste en el centramiento del proceso.

El Ciclo es el comportamiento que se debe a la rotación de factores del proceso tales como Equipo, Operario o Materia prima.

Existe otro tipo de metodología para detectar estados fuera de control como lo es, calculando la probabilidad de los límites de advertencia, para una desviación en donde la probabilidad que se encuentre dentro de control es , para límites de advertencia a dos desviaciones la probabilidad dentro de control se mide como y finalmente a tres desviaciones de la media la probabilidad de que un subgrupo cualesquiera este dentro de control es que implica que de cada 10000 subgrupos, solo 27 se encontrarán de manera natural fuera del los límites de control, y el proceso se considerará estadísticamente bajo control.

Es indispensable determinar los límites de control estándar del proceso una vez detectada las causas de un comportamiento no aleatorio en el proceso. En el caso de las píldoras Estile los límites de control una vez detectados los subgrupos fuera de control, debido a causas asignables se presenta en la figura 8.

Figura 8. Límites de control una vez detectado los subgrupos con causas asignables en su comportamiento. Proceso bajo control estadístico.

Después de someter a control estadístico el peso de las píldoras, el paso a seguir es evaluar los parámetros del proceso. El promedio y la desviación estándar ; que permite obtener los Límites Estándar de Control y la Capacidad del Proceso. Los cálculos establecidos indican que el promedio del proceso es y la desviación resulta de . Estos últimos cálculos, tanto de la media como de la desviación estándar es el fundamento de la FASE I.

Con los parámetros del proceso evaluado el siguiente paso es obtener los límites estándar de control que se determinan de la siguiente forma:

Para el promedio:

, y

El rango se evaluaría con las siguientes formulaciones:

, y ;

En el caso de la desviación se toma las siguientes formulaciones:

, y

Una vez obtenido los límites estándar de control, el siguiente paso es realizar el control del proceso que es conocido como FASE II, que muchos pasan por alto cuando utilizan estas técnicas estadísticas, consiste en tomar nueva información o subgrupos en el proceso; calcular sus estadísticos tales como el promedio, rango y la desviación estándar y llevarlos a las gráficas de control con los límites estándar calculados anteriormente. En el problema que se tomo como ejemplo se muestra la aplicación de este procedimiento.

La carta muestra un proceso fuera de control en cuanto a su promedio indicando que el proceso se está comportando de manera distinta a la información que permitió calcular los límites estándar, esto ocurre también en menor grado en la gráfica de rangos y desviación estándar.

En este tipo de comportamiento no es difícil concluir que el proceso se encuentra fuera de control y se deben tomar las acciones correctivas, que induzcan a encontrar causas de dicha variación.

Capacidad del proceso. Cuando un proceso cumple con las especificaciones establecidas en el diseño, se dice que este es un proceso capaz.

Se pueden presentar tres contextos cuando un proceso encamina sus esfuerzos a cumplir con las especificaciones de diseño. La primera situación es que la capacidad del proceso sea mayor que las especificaciones . Es la situación más indeseable dentro de un proceso. Aunque el proceso se encuentre dentro de control, este pueda que no cumpla con las especificaciones exigidas por el cliente. En este caso el ingeniero de control de calidad debe aumentar las especificaciones del producto, siempre y cuando sea informado a los clientes de este cambio. Otra posible solución sería desplazar el promedio del proceso ya sea de izquierda o derecha, logrando producir todo el rechazo por defecto o por exceso y por último disminuyendo la variabilidad del proceso, de tal manera que la distribución sea en forma de punta (significa que la mayor parte de la información se encuentra en la parte central de los datos) esto logra con cambios sustanciales en el proceso.

El segundo contexto se manifiesta cuando la capacidad del proceso es igual a las especificaciones , a pesar que en esta situación el proceso está cumpliendo con las especificaciones, es indeseable tenerla porque en cualquier momento algunas informaciones del proceso pueden no ajustarse a las especificaciones.

El último contexto ocurre cuando la capacidad del proceso es menor que las especificaciones , es el caso ideal. Esto significa que la especificación al ser mayor que la capacidad del proceso, este puede encontrarse fuera de control, pero no ocurre producto de rechazo. La capacidad de un proceso debe ser menor que las diferencias de las especificaciones para determinar si un proceso es capaz de cumplir con las especificaciones.

Medida de la Capacidad del Proceso. Para medir esta capacidad es utilizado el índice de capacidad definido como,

Este valor adimensional indica, que tanto las condiciones actuales del proceso permiten el cumplimiento de las especificaciones establecidas en el proceso.

Otra de las medidas útiles para especificar el cumplimiento de las especificaciones es el Índice de Capacidad Promedio , que determina hacia donde está el desplazamiento del proceso con respecto a las especificaciones. La formulación aplicada es:

En esta fórmula se escoge el valor mínimo entre y . Es vital contar con los siguientes criterios cuando se calcula la capacidad promedio del proceso:

1. El índice de capacidad promedio es menor o igual al índice de capacidad

2. El promedio del proceso coincide con una de las especificaciones.

3. Casi todo el proceso esta desplazado por fuera de las especificaciones.

Otro de los índices aplicados en la capacidad de un proceso es el índice de desvío que involucra dentro de la variabilidad del proceso el desvío de la media con respecto al valor objetivo , cuya formulación es,

Modificando la ecuación 2, multiplicando y dividiendo por tenemos,

Cuando el valor de , entonces . Otra de las modificaciones que se puede realizar es con respecto al índice de capacidad promedio, en donde se reemplaza el valor en la ecuación 2. Obteniendo el siguiente índice,

, si el valor de , entonces

El índice de capacidad es una variable aleatoria sujeta al valor de la desviación estándar , que es estimada mediante la desviación estándar muestral , de esta manera el índice de capacidad real esta definido como,

Por lo que es posible realizar una estimación de mediante un intervalo de confianza, usando el hecho de que

Multiplicando por en el intervalo de confianza tenemos,

Así que el intervalo de confianza para es,

En el caso de las píldoras en donde el índice de capacidad para el peso es,

Valor que manifiesta que el proceso es eficaz para el cumplimiento de las especificaciones técnicas exigidas en el proceso.

El intervalo de confianza para este Índice de Capacidad es estimado según la formulación anterior como,

Los valores de la distribución ji-cuadrado son y (ver anexo 6)

6.1.2 Fundamentos de los Gráficos de Control por Atributos. Algunas veces no es deseable en un proceso centrarse en las especificaciones de una característica de calidad, sino clasificar las unidades fabricadas en “unidades conformes” y “no conformes o determinar el número de no conformidades que posee cada unidad o subgrupo. El seguimiento gráfico de este tipo de característica de calidad se conoce como gráficas de control por Atributos.

Gráficos de Control para el Número de Unidades No conformes (Diagrama ). Un gráfico muestra la variación que existe en la fracción de no conformes en un proceso, en donde se conoce como la fracción defectuosa. El comportamiento de esta fracción de no conformes es una distribución Binomial en donde se asume que la probabilidad de que una unidad no esté conforme es y que las unidades fabricadas son independientes. Al seleccionar en forma aleatoria una muestra con unidades, y si es una variable aleatoria que está representando el número de unidades no conformes en la muestra. Entonces se afirma que tiene una distribución Binomial con parámetros y . La fracción de unidades no conformes esta especificada como , como entonces,

Si el valor de es conocido en el proceso, los límites de control se definen como,

Estos límites permiten realizar el control o monitoreo de las fracciones de no conformes calculada en la muestra .

La experiencia indica que el valor de la fracción de no conformes es por lo general desconocido, obligando a estimarlo mediante un conjunto de subgrupos de tamaño , en donde se define como el número de unidades en la i-ésima muestra, entonces la estimación de la fracción de no conforme es , el promedio de esta fracción de no conforme es, , de esta forma el valor de es utilizado como un estimador de . Los límites de control en este caso son de la forma,

Si el tamaño del subgrupo es constante, es fácil suponer que los límites de control se presentan de la siguiente manera,

En donde el valor de es estimado mediante donde .

Gráficas de Control de Unidades no Conformes. Los siguientes son los pasos necesarios para construir un gráfico de control de las unidades no conformes:

1. Trazamos un diagrama preliminar para determinar si el proceso se encuentra en control, calculando inicialmente el promedio de defectuoso durante el periodo en que se tomo la información histórica.

2. Para ello, tomamos el número total de partes defectuosas sobre el número total de inspecciones realizadas.

3. Evaluar los límites de control superior, central e inferior de control

4. Determinar la existencia de subgrupos fuera de control y si existen causas asignables en el comportamiento del proceso.

5. Se analizan nuevamente los datos para obtener la base, en cuanto a los límites de control (límites de control estándar), que se utilice para producciones futuras.

Utilizando los datos de la producción de píldoras se elabora una gráfica de control , en donde las causas atribuibles han sido encontradas en el caso de todos los puntos situados fuera de los límites de control, con un tamaño de muestra de 200 unidades por subgrupo.

Los límites de control resultante son,

Estos límites de control iniciales son tomados como límites de control estándar después de detectar que el proceso se encuentra estadísticamente en control, lo que es conocido como FASE I dentro de la estructura metodológica de las gráficas o diagramas de control. Esto permite realizar un control al proceso con la información que se muestra en el cuadro 27.

Siendo conocido tomado de la FASE I, cuando el proceso se encuentra bajo control estadístico, los límites de control estándar son calculados mediante,

Monitoreando la información suministrada en el cuadro 27 (FASE II), la grafica muestra que el último subgrupo presenta un comportamiento atípico dentro del proceso, lo que implica un estado fuera de control estadístico.

Gráfica de Control Para la Cantidad de Unidades No Conformes. El gráfico de control muestra la variación existente en la fracción defectuosa en un proceso, en donde se conoce como la fracción defectuosa y el tamaño del subgrupo es constante.

El cálculo de los límites de control se determinan mediante para el límite superior de control, el límite central y el límite inferior de control; donde y permite calcular los estadísticos de cada uno de los subgrupos.

Gráfica de control para el número de no conformidades. La aplicación de la gráfica del número de no conformidades es útil para controlar el número de defectos presentes en una unidad o subgrupo predeterminado. En este gráfico, el tamaño de la muestra debe ser fijo. El uso de es especialmente conveniente cuando no existe una unidad natural de producto y se requiere controlar la cantidad de no conformidades o fallas sobre una superficie o a lo largo de una longitud constante. Sea el número de no conformidades presente en el subgrupo, cuyo comportamiento es una distribución Poisson con parámetro , el número de no conformidades está definida como , se tiene entonces,

Cuando el parámetro es conocido, los límites de control son evaluados mediante,

En la práctica el valor del parámetro es desconocido, por lo que es estimado en razón de tomar un conjunto de subgrupos de tamaño , donde el número de no conformidades en la muestra, entonces y el promedio de no conformidades se define como . De esta forma el valor de es un estimador del parámetro y la construcción de los límites de control para este tipo de gráficas son,

Gráfico de Control Para el Número de no Conformidades por Unidad. El gráfico de control para , no conformidades por unidad de producto, se utiliza cuando la inspección del producto cubre más de una característica.

Bajo esta circunstancia varios no conformidades pueden presentarse en una unidad de producto en forma independiente y una mejor medida del nivel de calidad se obtiene, mediante el conteo de todas las no conformidades observadas divididas por el número de unidades inspeccionado para obtener un valor de defectos por unidad. Este cociente de se representa por el símbolo .

Aunque el valor de no sigue una distribución Poisson tal como ocurre con , podemos deducir los límites de control de de la siguiente forma,

Los límites de control para la carta están definidos como,

El límite central es calculado mediante


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