2.8 El modelo básico CCR (Charnes, Cooper y Rhodes)

Para permitir las aplicaciones de una extensa variedad de actividades, se utilizará el término DMU (descrito anteriormente) para referirnos a cualquier entidad (puerto/terminal) que sea evaluada en términos de sus habilidades para convertir inputs en outputs. Esas evaluaciones pueden involucrar agencias gubernamentales y organizaciones sin fines de lucro además de firmas de negocios (Cooper, et al. 2004: 8).

Los pesos óptimos podrían (y generalmente) variaran de una DMU a otra. Por eso, los “pesos” en el DEA son derivados de los datos en lugar de ser fijos de antemano. A cada DMU se le asigna el mejor conjunto de pesos con valores que pueden variar de una DMU a otra (Cooper et al. 2000: 22).

Suponemos que existen n DMUs; DMu1, DMu2,…, DMUn. Algunos ítems comunes de inputs y outputs para cada una de las j = 1,…, n DMUs son seleccionados como sigue:

1. Los datos numéricos están disponibles para cada input y output, con los datos que se suponen sean positivos para todas las DMUs.

2. Los ítems (inputs, outputs y la elección de las DMUs) deberían reflejar un interés analítico o de gestión en los componentes que entraran en las evaluaciones de eficiencia relativa de las DMUs.

3. En principio, las cantidades más pequeñas de input y las cantidades más grandes de output son preferibles, así los resultados de eficiencia deberían reflejar esos principios.

4. Las unidades de medición de los diferentes inputs y outputs no necesitan ser congruentes. Algunos pueden involucrar número de personas, o áreas de espacio de piso, dinero gastado, etc.

Suponemos que m inputs y s outputs son seleccionados con las propiedades arriba anotadas 1 y 2. Sean los datos de input y output para la DMUj (x1j, x2j,…,xmj) y (y1j, y2j,…,ysj), respectivamente. La matriz de datos input X y la matriz de datos output Y pueden ser arregladas como sigue:

Donde X es una matriz (m x n) y Y una matriz (s x n) (Cooper et al. 2000: 22-23).

Cada DMU consume varias cantidades de m diferentes inputs para producir s diferentes outputs. Específicamente, la DMUj consume cantidades de input i xij y produce cantidades de output r yrj. Suponemos que xij > 0 y yrj > 0 y además suponemos que cada DMU tiene al menos un valor de input positivo y un valor de output positivo (Cooper, et al. 2004: 8).

Ahora regresamos a la “relación-forma” (ratio-form) del DEA. En esta forma, como se introdujo por Charnes, Cooper y Rhodes, la relación de outputs a inputs es utilizada para medir la eficiencia relativa de la DMUj = DMUo que es evaluada en relación a los ratios de todas las j = 1, 2,…, n DMUj. Podemos interpretar la construcción como la reducción de la situación output-múltiple / input-múltiple (para cada DMU) hacia un único output virtual y un único input virtual. Para una DMU particular la relación único output virtual entre único input virtual provee una medida de eficiencia que es una función de los multiplicadores. En el lenguaje de programación matemática, está relación, la cual será maximizada, forma la función objetivo para una DMU particular a ser evaluada, así que simbólicamente

Donde se nota que las variables son las ur´s y las vi´s, y las yro´s y xio´s son los valores de output e input observados, respectivamente, de DMUo, la DMU a ser evaluada (Cooper, et al. 2004: 8-9).

Un conjunto de restricciones normalizadas (una de cada DMU) refleja la condición de que la relación output virtual entre input virtual de cada DMU, incluyendo DMUj = DMUo, debe ser menor o igual a la unidad. El problema de programación matemática podría ser establecido como

Sujeto a:

Para j = 1,…, n,

ur, vi ≥ 0 para todas las i y r. (10)

Observación: un desarrollo completo más riguroso reemplazaría ur, vi ≥ 0 por

Donde ε es un elemento no Arquímedeano más pequeño que cualquier número real. Esta condición garantiza que las soluciones serán positivas en esos valores. Lo cual guía a la segunda etapa de la optimización de las holguras (slacks) (Cooper, et al. 2004: 9).

La forma de relación arriba mencionada produce un número infinito de soluciones si (u*, v*) es óptima, entonces (αu*, αv*) es también óptima para α > 0. Sin embargo, la transformación desarrollada por Charnes y Cooper (1962) para la programación fraccional lineal selecciona una solución representativa y produce el problema equivalente de programación lineal en el cual el cambio de variables de (u, v) a (µ, v) es un resultado de la transformación Charnes-Cooper, mencionados por Cooper, et al. (2004: 9),

Sujeto a:

Para el cual, el problema dual de PL (Programación Lineal) es

Sujeto a:

i = 1, 2,…, m;

r = 1, 2,…, s;

j = 1, 2,…, n. (13)

Este último modelo (13), es en ocasiones referido como el “modelo de Farrell” porque es el único utilizado por él. En la parte económica de la literatura del DEA se dice que se ajusta a la suposición de “disposición fuerte” porque ignora la presencia de holguras diferentes de cero. En la parte de investigación de operaciones de la literatura del DEA esto es señalado como “eficiencia débil”.

En virtud del teorema dual de programación lineal tenemos que z* = θ*. Podemos resolver (13) para obtener un resultado de eficiencia. Porque podemos colocar θ = 1 y λ*k = 1 (lambda) con λ*k = λ*o y todas las demás λ*j = 0, una solución para (13) siempre existe. Además, está solución implica θ* ≤ 1. La solución óptima, θ*, produce un resultado de eficiencia para una DMU en particular. El proceso es repetido para cada DMUj. Las DMUs para las cuales θ* < 1 son ineficientes, mientras las DMUs para las cuales θ* = 1 son puntos fronterizos (Cooper, et al. 2004: 9-10).

Algunos puntos fronterizos pueden ser “débilmente eficientes” porque tenemos holguras diferentes de cero. Esto puede parecer preocupante porque la alternativa óptima podría tener holguras diferentes de cero en algunas soluciones, pero en otros no. Sin embargo, podemos evitar estar preocupados incluso en tales casos, invocando el siguiente programa lineal en el cual las holguras toman sus valores máximos.

Sujeto a:

i = 1, 2,…, m;

r = 1, 2,…, s;

Donde notamos que las opciones de si- y sr+ no afectan el óptimo θ* que está determinado del modelo (13). Estos adelantos ahora nos llevan a las siguientes definiciones acerca de la eficiencia relativa:

DEA eficiente: el desempeño de la DMUo es totalmente eficiente (100%) sí y solo si θ* = 1 y todas las holguras si- = sr+ = 0.

DEA débilmente eficiente: el desempeño de la DMUo es débilmente eficiente sí y solo si θ* = 1 y si- ≠ 0 y/o sr+ ≠ 0 para algún i y r en alguna alternativa óptima (Cooper, et al. 2004: 10-11).

Cabe señalar que el desarrollo de las cantidades anteriores sirve para resolver el siguiente problema en dos pasos:

Sujeto a:

i = 1, 2,…, m;

r = 1, 2,…, s;

Donde si- y sr+ son variables de holgura utilizadas para convertir las desigualdades en (13) a ecuaciones equivalentes. Aquí ε > 0 es también un elemento no Arquimedeano menor a cualquier número real positivo. Esto es equivalente a resolver (13) en dos etapas primero minimizando θ, luego arreglando θ = θ* como en (10), donde las holguras son maximizadas sin alterar el valor previamente determinado de θ = θ*. Formalmente, esto es equivalente a otorgar la “prioridad preferente” a la determinación de θ* en (12).

Alternativamente, uno podría haber comenzado con el lado output y haber considerado en lugar de la relación de input virtual la relación de output virtual. Esto reorientaría el objetivo de maximizar a minimizar, como en (10), para obtener:

Sujeto a:

Para j = 1,…, n,

ur, vi ≥ ε > 0 para todas las i y r. (16)

De nuevo, la transformación Charnes-Cooper (1962) para la fraccional de programación lineal produce el modelo (17) (modelo multiplicador), con el problema dual asociado (18) (modelo envolvente), como se muestra a continuación:

Sujeto a:

(17)

Sujeto a:

i = 1, 2,…, m;

r = 1, 2,…, s;

j = 1, 2,…, n. (18)

Aquí estamos utilizando el modelo con un objetivo orientado a output en contraste con la orientación input en (15). Sin embargo, como antes, el modelo (18) es calculado en un proceso de dos etapas. Primero, calculamos ignorando las holguras. Luego optimizamos las holguras arreglando en el siguiente problema de programación lineal,

Sujeto a:

i = 1, 2,…, m;

r = 1, 2,…, s;

j = 1, 2,…, n. (19)

Luego, modificamos la definición previa de la eficiencia DEA orientada a input a la siguiente versión de orientado a output (Cooper, et al. 2004: 11-13).

La DMUo es eficiente si y solo si = 1 y si-* = sr+* = 0 para todas las i y r. La DMUo es débilmente eficiente si = 1 y si-* ≠ 0 y/o sr+* ≠ 0 para alguna i y r en alguna alternativa óptima.

Entonces, el modelo envolvente CCR orientado a output (18) es el utilizado para realizar la medición de la eficiencia de las terminales portuarias de contenedores.