2.9 El modelo BCC (Banker, Charnes y Cooper)

Anteriormente discutimos el modelo CCR, que es construido sobre la suposición de rendimientos a escala constantes de actividades como se describe por la frontera de producción en el caso de un único input y un único output mostrado en la figura 4. Generalmente, se asume que el conjunto de producción posible tiene la siguiente propiedad: Sí (x, y) es un punto factible, entonces (tx, ty) para cualquier número positivo t también es factible. Esta suposición puede ser modificada para permitir conjuntos de producción posibles con diferentes postulados. De hecho, desde el principio de los estudios DEA, varias extensiones del modelo CCR han sido propuestas, entre las cuales el modelo BCC (Banker, Charnes y Cooper) es representativo. El modelo BCC tiene sus fronteras de producción en el núcleo convexo de las DMU´s existentes. Las fronteras tienen características cóncavas y lineales, mostradas en la figura 5, que guían a las caracterizaciones de los rendimientos a escala variables con (a) rendimientos a escala crecientes ocurriendo en la primera línea sólida de segmento seguida por (b) rendimientos a escala decrecientes en el segundo segmento y (c) rendimientos a escala constantes ocurriendo en el punto en donde la transición del primero al segundo segmento es realizada.

Los modelos BCC y CCR se diferencian sólo en que el primero incluye la condición de convexidad , λj ≥ 0, en sus restricciones. Por eso, como podría esperarse, comparten propiedades en común y muestran diferencias (Cooper, et al., 2000: 87-91).

Se presenta a continuación el modelo BCC. Supóngase, que se tienen n DMUs donde cada DMUj, j = 1, 2,…, n, produce los mismos outputs en diferentes cantidades, yrj (r = 1, 2, 3,…, s), utilizando los mismos m inputs, xij (i = 1, 2,…, m), también en diferentes cantidades. La eficiencia de una DMUo específica puede ser evaluada con el modelo BCC del DEA en “forma envolvente” y orientada a output como sigue:

Sujeto a:

i = 1, 2,…, m;

r = 1, 2,…, s;

(20)

Donde ε > 0 es un elemento no Arquimedeano definido menor que cualquier número real positivo.

2.10 Orientación del modelo

Siguiendo a Charnes, Cooper y Rhodes (1981), la eficiencia puede ser caracterizada con relación a dos orientaciones (o direcciones) básicas, pudiendo hacer referencias a modelos:

1. Input orientados: buscan, dado el nivel de outputs, la máxima reducción proporcional en el vector de inputs mientras permanece en la frontera de posibilidades de producción.

2. Output orientados: buscan, dado el nivel de inputs, el máximo incremento proporcional de los outputs permaneciendo dentro de la frontera de posibilidades de producción.

Teniendo en cuenta las orientaciones definidas, una DMU será considerada eficiente sí, y solo sí, no es posible incrementar las cantidades de output manteniendo fijas las cantidades de inputs utilizadas ni es posible disminuir las cantidades de inputs empleadas sin alterar las cantidades de outputs obtenidas (Coll y Blasco, 2006: 20-22).

En la figura 6 se ha representado, bajo el supuesto de rendimientos constantes a escala, el caso de un único input y un único output, y en ella puede verse cómo la DMU A es ineficiente técnicamente, se sitúa por debajo de la frontera.

Desde el punto de vista de un modelo input orientado, la DMU A podría reducir la cantidad de input x (los inputs son controlables) y seguir produciendo la misma cantidad de output y, es decir, la DMU A debería tomar como referencia la mejor práctica de la DMU A1. La eficiencia (técnica) de la DMU considerada vendría dada por:

ETA = BA1 / BA (21)

De igual forma, al considerar la evaluación de la eficiencia a través de modelos output orientados (los outputs son controlables), la DMU A sería calificada como ineficiente. Esta DMU podría, consumiendo la misma cantidad de input, producir una mayor cantidad de output. En este caso, la eficiencia de la DMU A vendría dada por el cociente:

ETA = CA / CA2 (22)

Bajo el supuesto de rendimientos constantes a escala, las medidas de eficiencia técnica input y output orientadas coinciden (Coll y Blasco, 2006: 20-22).