Anexo 2: sobre la frontera salario-ganancia

En la última parte del capítulo IX dedicado a “otros efectos de la producción conjunta”, inicia Sraffa una discusión sobre la posibilidad de que ante un descenso en los salarios tenga como consecuencia necesariamente un alza en el tipo de ganancia . Sraffa afirma que no siempre ha de ocurrir esto, porque si cambia el patrón de medida (mercancía-patrón), el salario medido en una mercancía-patrón cambiante puede tomar cualquier dirección y compensar -esto es lo que hay que interpretar de las palabras de Sraffa- durante algún tramo el aumento natural del tipo de beneficio ante el descenso de los salarios. Todo ello se deriva indirectamente de que en la producción conjunta tengamos -o podamos tener, según el modelo- más incógnitas que ecuaciones que impiden una única razón-patrón, que tengamos posibles multiplicadores negativos y, por último, unos posibles precios también negativos . Sraffa lo soluciona con criterio económico como hemos visto: es la propia economía y sus actores los que eliminarán soluciones de precios negativos por inviables. Y esto es una pista para ciertos comportamientos que la economía neoclásica y marginalista no puede explicar. Me refiero a que los comportamientos económicos lleven, a pesar de todo, a precios negativos. La necesidad de una subvención casi permanente a ciertos sectores (en Europa, leche, algunos productos agrícolas, carbón, etc.) podrían explicarse a partir de estas posibilidades de precios negativos por las relaciones de costes directos e indirectos de estas industrias o sectores que llevarían a que los precios de sus inputs elevaran sus costes directos e indirectos, de tal forma que la suma de todos estos costes -seguidos a través de la suma de las matrices de requerimientos históricas- fueran tales que superaran los ingresos; ello se debería a que los precios finales (de producción) no pudieran elevarse al mismo ritmo que sus costes por la necesidad que tiene la economía -según estos modelos- de tender a igualar las tasas de beneficios y de salarios; también porque, en todo caso, no hay una única razón-patrón que determine la tasa máxima de beneficios, aunque hemos veremos más adelante que está acotada. Sraffa, como casi siempre, no especificó la función que justificaba sus afirmaciones, pero sí dio las explicaciones económicas pertinentes.

La posibilidad del cambio de convexidad - y por tanto del retorno de las técnicas- depende exclusivamente del cambio de las técnicas y no de los períodos de trabajo fechado, cambio de patrón (Sraffa) o de la actualización del valor del capital físico (Pasinetti, Nuti) exclusivamente.

Desde que Sraffa planteó el problema en los capítulos de la producción conjunta se ha hecho un esfuerzo por demostrar el error de la teoría del capital en el marginalismo. En efecto, en la teoría marginalista la relación entre la intensidad del capital por hora u hombre trabajada con respecto al tipo de interés, es una relación monótona decreciente sin cambio de convexidad. Para la crítica iniciada en el Cambridge inglés, con Robinson, Sraffa, Kaldor, Dobb, seguido luego por Nuti, Pasinetti, Garegnani, Morishima, etc., se ha demostrado la falsía de esta teoría en lo que respecta a este punto. Y si falla eso, también falla la misma relación respecto a la relación entre la productividad del trabajo de esta misma teoría, porque la frontera salario-ganancia puede ser, en algunos tramos, no monótona decreciente. Y con ello tampoco se cumple el teorema Euler de reparto del producto en función del valor de las productividades marginales de los factores. Sin embargo, a veces se traslada erróneamente la posibilidad del retorno de las técnicas -que es su consecuencia- achacándolo a lo que no es. Así, en el excelente -por otra parte- libro de Ahijado , se dice, referido a la función de producción que relaciona tasa de salario con tasa de ganancia , “que es una función polinomial muy compleja de orden n-1, que es el orden de la matriz A, y tiene un trazado irregular”. Son argumentos que recoge a su vez de Pasinetti . Desde luego, nada más gratificante que la derrota de unos los aspectos claves del marginalismo, pero me parece que este un argumento falso o, simplemente, un error. Desde entonces parece que perpetúa esta aseveración. Si la frontera precios/salario-ganancia es irregular, incluso, como afirmaba antes, no es monótona decreciente en algún tramo, lo es no por lo que dice el autor referido. La función de los precios en la producción simple con tasas de salario único ex-post y ganancia única es como sigue:

(22) con

que multiplicada por la matriz vertical I de unos nx1, despejado el salario y tomado como numerario queda:

(23)

Se ha partido desde el principio de que A es productiva, es decir, que se cumple que X>XA, además de que la tasa de ganancia sea menor que la razón-patrón (g<R), por lo que está acotada. Con ambas cabe la posibilidad de que la función que hay entre corchetes:

(24)

sea convergente . Por su parte, el teorema de Perron-Froebenius nos dice que (24) es una función creciente tanto de g como de A. Es por lo tanto una función continua por ser suma de funciones continuas; es monótona creciente para cualquier valor de g (aunque sabemos que está acotada esta tasa). Y si (24) es continua y convergente, (23) es monótona decreciente, con puntos de corte en el eje de ordenadas y tangente en el infinito en el de abscisas. ¿Donde queda entonces la afirmación de Ahijado que el recoge de otros autores? La confusión viene -creo yo- al no distinguir otra vez entre deslizamiento a lo largo de la curva (entre salario-ganancia (w-g)) y traslación de esta misma curva. Para obtener una curva salario-ganancia con cambio de convexidad -que es una condición suficiente pero no necesaria para el retorno de las técnicas- es necesario partir de la hipótesis económica de que el comportamiento empresarial consista en dejar fija una de las dos variables monetarias -salarios o ganancias- y que optimice alguna función empresarial -ventas, beneficios, etc.-, variando la elección de las técnicas, es decir, variando A y/o L. Nuti da en cambio una explicación financiera para el retorno de las técnicas: “el significado económico de la oscilación es que, en ciertos intervalos de variación de la tasa de interés, una empresa es prestataria en ciertos períodos y prestamista en otros, y gana con un incremento de la tasa de interés como prestamista más de lo que pierde como prestatario, de manera que pueda pagar un mayor nivel de salarios si realiza operaciones de otorgamiento y toma de préstamos con una tasa más elevada de interés” . Pero esta explicación tiene, creo, dos defectos: 1) hay que recurrir a la reducción de trabajo fechado necesariamente; 2) más importante, en esta explicación no parecen variar ni A ni L, por lo que no hay cambio de técnicas ni de organización, por lo que la función frontera salario-ganancia no se desplaza sino sólo se desliza. Con ello no cambia la convexidad y, menos aún, la monotoneidad de la función. Sraffa, por su parte, habla de cambio de patrón para justificar una línea oscilante entre salarios y ganancias y lo hace por la “posibilidad de que el precio de un producto pueda descender más deprisa que el salario” . El economista italiano no dio la ecuación con la que trabajaba y hay que deducirla a partir de sus hipótesis.

Para la producción conjunta donde m>n (no esrafiana), el caso es el mismo, sólo que la ecuación (22) es más complicada por no ser cuadrada la matriz de productos Y. El resultado es la ecuación (25).

(25)

La conclusión es la de que sin cambio en las técnicas -es decir, variando Y, X, L, Ai, aunque no necesariamente todas- no se ve cómo puedan darse los casos de Sraffa y Ahijado que originan un retorno de las técnicas que hemos discutido. Un cambio de las técnicas debe implicar un tipo de comportamiento empresarial que suponga un desplazamiento de la función frontera salario-ganancia. Sólo se me ocurre una excepción que luego se verá. Sin ello, por más complicada que sea la ecuación característica -que no lo es- que menciona Ahijado, no por eso deja de ser la función de precios continua, monótona y creciente (22), y con ella, monótona decreciente la función frontera w-g. También puede estar el error de los autores al considerar a como un polinomio que hay que resolver de forma tradicional , calculando los ceros (valores de la función que se obtienen al hacer cero la tasa de ganancia). No es cierto. Lo que se hace es calcular los autovalores de forma tradicional y elegir el único autovalor que cumple el teorema de Perron-Froebenius (P-F). No hay polinomio característico de n ceros, sino un sólo cero: el autovalor de P-F elegido, es decir, el autovalor más alto en términos absolutos, que sea real y no repetido. No hay, por tanto, una ecuación algebraica cuyas n soluciones haya que utilizar en (22), sino un único valor. Y por más que variemos g para cada A dado, sólo tenemos un w bajo una relación monótona decreciente.

a) Retorno de las técnicas sin cambio de convexidad

Ante las dificultades de construir una función salarios-ganancias con cambio de convexidad a pesar del cambio de la tecnología (cambios en la matriz A de requerimientos más los inputs de trabajo L), vamos a presentar cómo se puede construir una función con retorno de las técnicas convexa en todo su recorrido. Esta es la excepción de la que hablábamos antes. Para ello podemos utilizar la ecuación (23) de producción simple esrafiana o la (25) de producción conjunta con m>n. Utilizamos la (23) en un primer momento de la manera que sigue:

(26)

(27)

Ambas ecuaciones se diferencian en las matrices de requerimientos A y en los inputs de trabajo L. Ambas ecuaciones cortan en el eje de ordenadas (vertical) para g=0, pero en puntos diferentes (salvo que se diera A1=A2, L1=L2 e Y1=Y2) y descienden a medida que aumenta la tasa de ganancia de forma continua porque el denominador es una función suma de funciones continuas siempre crecientes (la inversa, por tanto, es decreciente). Pues bien, siempre podremos elegir valores de A1, A2, L1, L2, Y1, Y2 tales que se cumpla que:

variable función w-g envolvente

para 0<=g<g1 w(A2,L2,g) < w(A1,L1,g) w(A1,L1,g)

para g=g1 w(A2,L2,g) = w(A1,L1,g) w(A1,L1,g)

para g1<g<g2 w(A1,L1,g) < w(A2,L2,g) w(A2,L2,g)

para g=g2 w(A1,L1,g) = w(A2,L2,g) w(A2,L2,g)

para g2<g<=M w(A2,L2,g) < w(A1,L1,g) w(A1,L1,g)

y que ambas curvas se corten dos veces en los puntos g1 y g2. La función estaría definida por la curva quebrada envolvente que es continua a lo largo de todo ella, derivable -salvo en los puntos de corte g1 y g2- y convexa siempre. No hay pues cambio de convexidad y si retorno de las técnicas. Para su construcción es necesaria el concurso de los empresarios, que tienen a disposición los dos posibles procesos implicados en las curvas (26) y (27) y que maximicen las ganancias cambiando la técnica de producción en los puntos g1 y g2, para pasar de la ecuación (26) a la (27) en g1 y retornar a la (26) de nuevo en g2. La función envolvente es toda ella continua y derivable, salvo en los puntos de cruce entre las dos funciones. Si en lugar de (23) hubiéramos empleado (25) normalizada para PI=1, las conclusiones hubieran sido parecidas, salvo que los movimientos en el cambio de las técnicas serían más bruscas, con posible aparición de precios negativos, pero en ningún caso y, dado que hemos tomado PI como numerario, la suma de todos ellos sería positivo y la función siempre decreciente. En ningún caso cambiaría la convexidad quebrada de la curva envolvente.

b) Modelo convexo sin retorno de las técnicas

En el modelo anterior hemos supuesto desde el principio (desde g=0) que había 2 procesos definidos por (26) y (27) y que el empresario o gestor (o el conjunto de los que toman decisiones empresariales en un país) elegía, porque estaba en su mano a medida que iba aumentando el tipo de beneficio, un proceso u otro con el fin de maximizar los beneficios dado un tipo de salario (se puede entender al revés, porque formalmente da igual, aunque económicamente tenga sentido diferente). De esta manera se podía construir una envolvente que, dado en concreto los tipos de procesos, se daría un retorno de las técnicas. Sin embargo, para que el modelo sea operativo o simplemente realista, el gestor debía tener desde el principio (desde g=0) opción a cualquiera de los 2 procesos. Esto supone una restricción, aunque normalmente no se hace explícito. En este segundo modelo supondremos que el nuevo proceso se hace presente en el momento de la intersección de la curva que define el proceso en activo. Dicho de otra manera, no necesariamente teníamos a nuestra disposición el proceso alternativo y sólo surge cuando aventuramos que una nueva técnica podría ser más barata -y obtener con ello más beneficios- que la anterior. Aunque parezca la misma que la del modelo anterior, tiene unas consecuencias distintas. La ecuación que define el proceso general -en singular- es formalmente la misma que las que definían el modelo anterior, pero con una diferencia notable: la del proceso w(A2,L2,g) sólo comienza su andadura cuando el gestor se da cuenta de que hay la posibilidad de cambiar la técnica del proceso, variando A, L, es decir, los medios de producción y los inputs de trabajo. Con este comportamiento ya no vale el modelo (a) de deslizamiento a lo largo de las curvas que definen los dos procesos, sino que ahora sólo tenemos una curva que define los dos procesos: el que teníamos hasta g2 y el nuevo que, al variar A y L, se produce un desplazamiento de la curva que define la función -única función-, de tal forma que lo que obtenemos es una curva quebrada con un salto o, al menos, con una quiebra de la función presente para situarla de nuevo más alejada de ambos ejes. En términos formales, la nueva curva será w(A2,L2,g)>w(A1,L1,g), para cualquier valor de g. La realidad de este modelo es que nunca se produce un cruce de 2 técnicas, porque el desplazamiento de la función cuando se van a cruzar es permanente. El resultado es una curva descendente, monótona, quebrada, continua a trozos, derivable también a trozos y convexa. Sería como la (26) o (27), pero definida de esta manera:

(28)

variable función w-g envolvente

para 0<=g<g1 w(A1,L1,g)< w(A1,L1,g) w(A1,L1,g)

para g=g1 w(A1,L1,g) = w(A2,L2,g) w(A1,L1,g)

para g1<g<g2 w(A1,L1, g) < w(A2,L2,g) no hay

para g2<=g<g3 w(A1,L1,g)<w(A2,L2,g)<w(A3,L3,g) wA3,L3,g)

para g=g3 w(A2,L2,g) = w(A3,L3,g) w(A3,L3,g)

con R como tasa máxima de ganancia y siendo la función envolvente continua entre g=0 y g1=1 y derivable entre g=0 y g1<1; no existe entre g1<g<g2; es de nuevo continua para g=>g2 y derivable para g>g2 hasta g<R; en g=R sería continua, pero no derivable, obviamente. Para g=g3 la función no se deslizaría por la curva, sino que se produciría un salto a una nueva función más a la derecha, con lo cual nunca se volvería a cruzar con una curva que representara una técnica anterior. Y, sin embargo, siempre convexa y monótona decreciente. No hay retorno de técnicas porque la función es única, con las características anteriores. La explicación económica es la siguiente: el gestor o gestores empresariales trabajan con unos medios de producción y de trabajo de acuerdo con un sistema productivo que les permite ir aumentando los beneficios (ganancias); si en un momento determinado estos se estancan de tal manera que, aún cuando disminuyan los salarios relativos apenas aumenten los beneficios (se hace inelástica la curva (28)), buscan un cambio de sistema, de métodos de producción, nuevas recombinaciones del libro de alternativas de producción, de organización, etc., y cambian la matriz de requerimientos A y el vector de inputs de trabajo L , y si no se equivocan, desplazarán la curva del proceso productivo a la derecha en ese momento (antes no existía como alternativa real), y el sistema será más productivo; si se equivocan, pasará lo contrario, y la curva se desplazará hacia el origen del eje cartesiano de salarios-ganancias. Cuando el gestor (o el sector o el sistema en su conjunto) acierte -dada la competencia que tiende a igualar salarios y beneficios en todos lo sectores (mercancías)- aumentará en un principio los precios de producción y sus beneficios, pero a más plazo, la compra de sus medios serán más caros como consecuencia del incremento de la demanda de esos medios por parte de las empresas que han obtenido beneficios del mismo sector (que el que opera el gestor); también porque habrán disminuido la escala del resto de empresas que sus beneficios estaban por debajo de la media y otras habrán simplemente. Entonces -por este motivo- se encarecerán la oferta de estas empresas de medios para nuestros gestores (del nivel que sean). Resumiendo, tanto por el lado de la demanda de medios que son productos de otras empresas, como de la disminución de la oferta de estas mismas empresas, los precios se adecuarán -o tenderán a ello- de tal forma que los beneficios tiendan a igualarse. Ocurrirá que nuestro gestor tendrá que adecuarse nuevamente, trasladando su curva (28) a la derecha del origen de los ejes de abcisas y ordenadas. Con todo ello intentará combatir el descenso de los beneficios que supone deslizarse (variando salarios y ganancias a lo largo de la frontera salarios-beneficios) con desplazamientos a la derecha de esta misma curva, es decir, con variaciones de las técnicas de producción, modificando A y L en un proceso sin fin (o al menos hasta que desaparezca la empresa, empresas o sector o haya que apuntalarlo mediante subvenciones ).

c) Modelo de frontera de salario-ganancia con salarios acotados

En un intento de acercarnos a la realidad, se presenta en este epígrafe un modelo donde el gestor (o gestores, sectores o de toda la economía) tienen acotados simultáneamente los salarios por arriba con wM=f(0<=g<=R)=constante, y por abajo con wm=f(0<=g<=R)=cte: por arriba, porque son los anteriores los que ponen límite al salario de los trabajadores; por abajo, porque son los mismos trabajadores -o sus representantes sindicales- los que lo acotan mediante mínimos de convenio, acuerdos, mínimos legales (gobiernos), etc. De esta manera, aún cuando las funciones que expresan la frontera salario-ganancia son las mismas que en los casos anteriores, el comportamiento de los gestores se presupone diferente. Este, cuando se haya en un punto de salarios y ganancias dentro del intervalo de salarios (wm /wM) sigue con la misma técnica caracterizada por la curva w(A1,L1,g), deslizándose hacia abajo, es decir, aumentando las ganancias y rebajando los salarios , pero hasta el nivel wm, no más. Cuando llega a ese punto donde se cortan la función frontera anterior y la recta que expresa el salario mínimo w=wm, lo que hace es desplazar la curva a la derecha, modificando los valores A y L hasta una nueva posición que se encuentre al menos dentro del intervalo (wM / wm), y así sucesivamente. El esquema es el siguiente:

variable función w-g envolvente

para 0<=g<g1 wM < w(A1,L1,g) no existe

para g=g1 wM = w(A1,L1,g) w(A1,L1,g)

para g1<g<g2 wm < w(A1,L1,g) < wM w(A1,L1,g)

para g=g2 wm = w(A1,L1,g) < wM w(A1,L1,g)

para g2<g<g3 wm < w(A2,L2,g) < wM w(A2,L2,g)

para g3=g<R wm =w(A2,L2,g) < wM w(A2,L2,g)

La función pues no existe hasta que se corta con el salario máximo, por lo que es continua entre g1<=g<=g2 y derivable entre g1<g<g2; entre g2<g<g3 la función no existe. En este intervalo surge un problema: si el gestor no es capaz de encontrar unos valores para A y L que le permitan saltar a la función w(A2,L2,g), la empresa (sector, economía privada) no podrá compaginar las condiciones de tasa de ganancia, tasa de salarios y tecnología. El modelo no da la solución, pero la realidad la dará de alguna manera, aunque sea dolorosamente . Lo mismo ocurría en el modelo anterior ante un desplazamiento de la función salario-ganancia, aunque no se haya hecho mención; no así en el modelo primero de retorno de las técnicas sin cambio de convexidad, donde la función envolvente era siempre continua y salarios y ganancias se deslizaban a lo largo de la curva sin sobresaltos. Estos modelos -y los que siguen- son acordes con la manera de pensar esrafiana: los modelos económicos -todas las teorías sociales son modelos en última instancia- no lo explican todo, ni todas la situaciones, pero imponen límites materiales a los comportamientos individuales y colectivos, públicos y privados, en lo que respecta a la producción, distribución y consumo de bienes y servicios. Para acabar este epígrafe, en el tramo g3<=g<=g4 la función es continua en todo el y derivable entre g3<g<g4 .

d) Modelo de frontera salario-ganancia escalonada

En este modelo el salario es único, pero va cambiando según tramos de la tasa de ganancia g, y permanece constante hasta el siguiente tramo. Sea w=w1(g0<=g<=g2)=cte. el valor de los salarios impuesto por la realidad (o las fuerzas sociales y económicas) entre los tramos que de ganancia que se indica; luego se salta en el siguiente tramo, de tal forma que ahora la función horizontal de limitación de salarios w=w2(g2<=g<=g4)=cte. es más alta que la anterior; la función frontera w-g es w(A1,L1,g) y se corta con la función de limitación tal que w=w1, es decir, en un punto intermedio entre g0 y g2 (tal como g1). La peculiaridad de este modelo es la de que entre g1 y g2, los gestores no pueden hacer compatible los salarios con la función de producción que determina la frontera de salario-ganancia w(A1,L1,g); lo único que pueden hacer es saltar a w(A2,L2,g), y lo harán en un punto intermedio de la nueva función de limitación de salarios w=w2(g2<=g<=g4)=cte, y así sucesivamente. El resumen sería:

variable función w-g f. de salarios

0<=g<g1 no existe w=w1(0<=g<g2)=cte.

g=g1 w(A1,L1,g) w=w1(0<=g<g2)=cte.

g1<g<=g2 no existe w=w1(0<=g<g2)=cte.

g2<g<g3 no existe w=w2(g2<=g<g4)=cte.

g=g3 w(A2,L2,g) w=w2(g2<=g<g4)=cte.

g3<g<=g4<R no existe w=w2(g2<=g<g4)=cte.

Aquí la función envolvente es siempre creciente, obligando a los que deciden (empresa, sector o sectores) a cambiar A y L para hacer compatible salarios y ganancias siempre crecientes, por tramos los primeros y continuas las segundas.

e) Modelo de frontera salario-ganancia de doble acotación

A diferencia del modelo con acotación de salarios, supondremos que tanto los salarios como las ganancias lo están. Es decir, los trabajadores, merced a acuerdos con los empresarios, gestores, por ley, etc., o merced a su capacidad impedir la bajada de sus salarios como consecuencia del deslizamiento de la función de salario-ganancia aumentando la tasa de ganancia a costa de los salarios, el salario no bajará de un tope wm; tampoco podrán subir más allá de un tope superior wM impuesto por la parte contraria. Hasta aquí es el mismo modelo que el que hemos llamado con acotación de salarios. La novedad es que también las ganancias están acotadas. En efecto, el gestor y/o empresario o el propio conocimiento tecnológico para ese momento no comenzará la producción de la empresa (sector) hasta no obtener un nivel de ganancias mínimo gm; tampoco podrá superar como sabemos la razón-patrón o la tasa máxima de beneficios del sistema económico (aunque no coincida con la razón-patrón). Con ello tenemos un espacio cuadrado de soluciones factibles cuyo vértice inferior es el (wm /gm) y el superior (wM /g=R) . Si ahora la función frontera atraviesa el cuadrado, podrá tocar primero en un punto como el (w1/gm), donde w está acotado (wm<w1<wM). Luego la gestión podrá aumentar las ganancias de la empresa (o del sector si estamos aplicando el modelo de forma más general), deslizándose por la función frontera w-g hasta el lateral derecho del cuadrado, es decir hasta que w(A,L,g)=wm y g2 tal que gm<g<g2. A partir de ahí no se puede hacer compatible salarios, ganancias y la función frontera w-g, con lo cual sólo cambiando la técnica y/o la organización, es decir, cambiando A y L, podrá desplazarse esta función a la derecha w(A2,L2,g) hasta encontrar un punto del cuadrado factible que ya hemos comentado. Todo eso se puede resumir de la siguiente manera:

variable función frontera w-g

para 0<g<gm no existe

para gm<=g<=g2 wm<w(A1,L1,g)< w1< wM

para g2<g<R w(A1,L1,g)< w(A2,L2,g)

para g=R wm<w(A2,L2,g)<=wM

Con esta función frontera las ganancias no pasarán del tope máximo de ganancia, porque a partir de g2 no son compatibles a la vez salarios, ganancias y función frontera; sólo lo serán si cambia la matriz de requerimientos A y la de inputs de trabajo L, y la función frontera se desplace a la derecha del origen de coordenadas, pero no más allá del extremo inferior (w=wm /g=R) o del extremo superior (w=wM /g=R). Por encima del cual a los trabajadores les encantaría llegar, pero la gestión no podría hacerlo, incluso aunque quisiera (R es el límite máximo de ganancias que le permite el sistema económica merced a la competencia).