Capítulos IV y V: La mercancía patrón y la razón-patrón

Nada mejor para abordar este tema que empezar con las palabras de Sraffa: “La necesidad de tener que expresar el precio de una mercancía en términos de otra que es elegida arbitrariamente como patrón complica el movimiento el estudio de precios que acompañan a una variación de la distribución. Resulta imposible decir, ante cualquier variación particular de precios, si surge como consecuencia de las peculiaridades de la mercancía que está siendo medida, o si surge de las peculiaridades de la mercancía adaptada como patrón de medida” . Es de esta manera como expone Sraffa el problema ricardiano de una medida invariable del valor. Merece la pena ver cómo se expresaba en 1817 David Ricardo al respecto: “Cuando los bienes variasen en su valor relativo, sería deseable averiguar con certeza cuáles de ellos bajaron y cuáles aumentaron en su valor real, y ello sólo podría lograrse comparándolos sucesivamente con una medida estándar del valor, que no debe estar sujeta a ninguna de las fluctuaciones a las cuales están expuestas los demás bienes” . La idea es la misma, aunque es mucho más precisa la de Sraffa. También es verdad que han trascurrido siglo y medio entre la una y la otra. El problema que aborda pues en este epígrafe Sraffa no admite mucho más comentario. Marx lo intentó con su teoría del valor-trabajo, pero no lo consiguió, o lo que consiguió, tal como queda en El Capital, no es aceptable. ¿Cómo lo soluciona Sraffa, es decir, como encuentra una mercancía que permita medir las variaciones de los precios del resto de las mercancías con la seguridad de que esos movimientos se deben a aquellos y no a la posible variación de la mercancía que está sirviendo de vara de medir? Oigamos de nuevo a Sraffa: “Supongamos que segregamos del sistema económico existente aquellas fracciones de las industrias básicas individuales que, conjuntamente, forman parte de un sistema completo en miniatura dotado de la propiedad de que las diferentes mercancías están representadas entre sus medios de producción totales en las mismas proporciones en que lo están entre sus productos” . Un sistema así, viene a decir Sraffa traducido a lenguaje moderno, el producto neto o excedente neto en términos relativos (en términos de los propios medios de producción) sería igual para todos las mercancías. Además, y esto lo explica Sraffa con detenimiento, no sólo los productos netos relativos -vamos a llamar así a lo anterior- de cada mercancía serán iguales, sino que los medios de producción que entran en cada uno de los productos son a su vez productos finales que guardan con sus medios de producción la misma proporción que estamos considerando. Este es el nudo gordiano de la creación de la mercancía-patrón por parte de Sraffa, porque cuando multipliquemos los precios por las ecuaciones que define el producto neto relativo en términos físicos, el resultado es que se conservarán las mismas proporciones antes mencionadas, a pesar de que ahora tendremos valores monetarios y no sólo valores físicos. Los precios no harán variar las proporciones, por lo que tendremos una vara de medir inmune a los precios y Ricardo, el inglés, si lo contemplara, daría un abrazo inmenso a su gran discípulo intelectual Piero Sraffa, el italiano de Turín. Ya, sin más dilación, traemos las ecuaciones equivalentes a las sraffianas que expone el economista italiano en su libro porque este trabajo no pretender sustituir la lectura de Sraffa, sino ayudar a su lectura y, en algunas ocasiones, cómo poder hacer fructificar su semilla más de lo que ya se ha hecho (que no comentamos). Sea:

(21)

(...) .........................................................

(...)

donde q1, q2, ... , qn, son los multiplicadores que van a convertir los valores reales xij de medios de producción y los valores de los productos finales yi en las proporciones que Sraffa buscaba y que Ricardo deseaba; u sería la proporción comentada entre productos finales y medios de producción, igual para todos los sectores. Y (21) es la anhelada mercancía-patrón. Veremos ahora su funcionalidad y sus características. Para empezar en (21) tenemos un pequeño problema para hallar los n multiplicadores, porque es un sistema de n ecuaciones y n+1 incógnitas: los n multiplicadores qi mencionados y el coeficiente u. La solución viene con la ecuación esrafiana:

(22)

Es decir, tomando como numerario (veremos que no el único) los valores trabajo multiplicados por los -valga la redundancia- multiplicadores. En efecto, con (22) añadimos una ecuación más que nos faltaba, pero sin añadir ningún otra variable, con lo que el sistema es soluble, aunque de momento no sabemos cómo. Ahora viene un paso decisivo, porque vamos a encontrar en el misterioso coeficiente u una propiedad muy conveniente. De momento esta variable es sólo un coeficiente que expresa la proporción entre productos finales y medios en términos físicos de la mercancía-patrón, dado que en (21) no aparecen los precios.

Cambiamos de escenario y nos vamos a la ecuación ya conocida que define el sistema económico esrafiano:

(6)

Si hacemos aquí cero la tasa de salarios w sale:

(23)

donde R es, de momento, sólo la tasa de ganancia máxima que resulta de hacer cero los salarios en la ecuación (6) que define el sistema. Volvemos a la mercancía-patrón (21) y la expresamos en forma matricial como sigue:

(24)

(24 bis)

En (24) no hemos añadido nada que no estuviera en (21). Ahora vamos a pre-multiplicar la ecuación matricial (24) por los precios y queda:

(25)

Si ahora post-multiplicamos la ecuación (23) por el vector Q de multiplicadores y comparamos el resultado con (25) vemos ecuaciones que ambas, que ¡proceden de hipótesis y problemas diferentes!, si hacemos:

(26)

las dos ecuaciones son ¡la misma ecuación! Es decir, (26) une dos cosas que aparentemente no tienen nada que ver. Resumiendo, R es la tasa máxima de ganancia que resulta de hacer cero la tasa de salarios w en la ecuación que define el sistema, y u es el coeficiente de proporcionalidad entre productos finales y medios de producción que sirve para crear una economía en miniatura -llamada mercancía-patrón- que tiene la virtud de conservar la propiedad de mantener invariable la relación entre productos y medios para todas las mercancías.

Sraffa, que miraba en lontananza, no se paró en lo anterior, sino que buscando esa vara de medir inmune a los precios que es la mercancía-patrón, encontrará una de las relaciones (en forma de ecuación) más importes de la economía. Veamos como. Vamos ahora a reunir, como si fueran las piezas de un puzzle, 4 ecuaciones que ya las hemos usado en diferentes sitios:

(6)

(23)

(22)

(10)

La (6) es la ecuación sraffiana que define el sistema; la (23) es la surge de hacer cero los salarios w en la anterior, por lo que es linealmente dependiente de la (6), la (22) es un numerario, y la (10) otro numerario compatible con el anterior puesto que no comparten variables. En este sistema tenemos n+2 ecuaciones linealmente independientes (que son n de (6), la (22) y la (10)); y n+3 incógnitas (n precios pi, la tasa de salarios w, la tasa de ganancia r y R). Tenemos por lo tanto un grado de libertad. Los inputs de trabajo li, los medios de producción xij y los productos finales yij son datos, por lo que no entran en el recuento de variables. De la resolución del sistema de n+2 ecuaciones sale la ecuación:

(27)

que relaciona la tasa de ganancia r con la de salarios w y la razón-patrón R, ¡sin mediar para nada los precios! Esta ecuación mide la distribución del excedente -la tercera cosa que representa R- entre la tasa de ganancia r y la tasa de salarios w, independientemente de los precios. Por supuesto que a este sistema hemos llegado con un sencillo esquema que representa a la economía en su conjunto, pero que, no obstante, puede ser generalizado. El aspecto formal que toma la ecuación de distribución (27) depende tanto de las hipótesis económicas como de los numerarios elegidos. Si en lugar de la ecuación (10) que toma como numerario la renta neta, hubiera elegido Sraffa el valor total de los medios de producción, es decir, si hubiera tomado como numerario PX, la (10) se sustituiría por PXI=1, y esta ecuación, junto con las otras tres, hubiera dado como relación entre salarios, ganancias y razón-patrón la que sigue:

(28)

y se hubiera visto explícitamente que la razón-patrón R es el excedente en términos físicos a repartir entre ganancias y salarios. Sraffa no lo hizo así, pero no por ello hay que lamentarse, porque la elección del numerario no puede cambiar las conclusiones de las hipótesis y, menos aún, su interpretación económica. Hemos puesto un gorrito en (28) a las dos tasas para que se vea que, en este caso, los resultados son diferentes; la razón-patrón R, en cambio, será la misma porque depende las variables no monetarias (Y, X. L) del sistema. Visto ahora todo es tan sencillo que puede preguntarse uno cómo es que no se descubrió antes: quizás es que hacer lo complejo sencillo es lo más complejo; quizás era demasiado revolucionario para la época.

Una generalización -que por supuesto no aparece en Sraffa- sería la siguiente. Traemos la ecuación (21) que sustituye a la ecuación sraffiana de definición del sistema (6), y que trabaja con n tasas de salarios wij, n tasas de ganancia gij y n tasas de ganancia máximas gmij.

(21)

Si ahora pos-multiplicamos por X y tomamos como numerario PXI=1 queda:

(29)

Y si ahora tomamos a su vez como tasa de salarios media wm tal que cumpla que:

(30)

y con ello obtenemos la tasa de salarios media wm:

(31)

cuya primera igualdad es la ecuación equivalente a la de la razón-patrón de Sraffa (27) para el caso de n tasas de salarios, n tasas de ganancia y n tasas de ganancia máximas. En (31) vemos que si las tasas de ganancia G aumentan, disminuyen los salarios (disminuye wm como su representante); también que si al aumentar las tasas de ganancia gij se acercan, además, significativamente a las tasas de salario máximas gmij, entonces los salarios se hacen cero, es decir, se quedan con todo el excedente.

(32)

Y tal como queda (31) casi podemos tomar ya los datos de la realidad. En este caso, las tasas máximas de gmij juega el mismo papel que la razón-patrón R de la producción simple, pero sólo como expresión de las ganancias, no como medida invariante del valor, puesto que R la obtuvimos por separado en (24) mediante Perron-Froebenius. Dicho en términos económicos, mientras que R es, al igual que Jano el dios de las dos caras, a la vez razón-patrón (vara de medir) y la tasa máxima de ganancia, las gmij son sólo tasas máximas.

El capítulo V -que hemos añadido al IV- apenas merece mención porque nada nuevo añade, ni conceptualmente ni como nuevas hipótesis o conclusiones. Sraffa se enfanga en demostrar con argumentos económicos que la mercancía-patrón y la razón-patrón son únicas, con un sólo valor para lo n multiplicadores qj y una sola R. Pero ambas cosas ya lo hemos demostrado implícitamente, porque es tan sólo un problema matemático una vez asentadas las hipótesis económicas y de relación lógica. Los n multiplicadores qj son únicos porque surgen de solucionar un sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas que están en (21) y (22); la razón-patrón R también es solución simultánea de este sistema de ecuaciones porque de él surge el coeficiente u, que luego hemos visto, por otro lado, que mantiene una relación con la razón-patrón tal como u=1/(1+R), del que despejando R queda, R=(1-u)/u. El sistema de ecuaciones (21) y (22) muestran las condiciones de existencia de la solución y Perron-Froebenius (de lo que aún no hemos hablado) el cómo solucionarlo. No obstante, seguir los razonamientos de Sraffa es siempre muy pedagógico.

El teorema de Perron-Froebenius. Resulta curioso que algo tan imprescindible para entender la producción simple de Sraffa, la mercancía-patrón y la razón-patrón, el autor no mencione nunca el teorema. Ya hemos dicho el deseo -u obsesión, según se mire- de Sraffa en poner contenido económico casi en exclusiva a su obra. Como economista le honra y si hubiera obrado de otra forma sólo tendríamos un modelo matemático más a la manera de el de Von Neumann y no una teoría del comportamiento económico; sólo tendríamos (y no es poco) una de estas dos cosas: o un instrumento de medición de la realidad y toma de datos (¿análisis? input-output) o un instrumento formal de política económica. Sin negar la utilidad de ambas, Sraffa quería algo más y, en mi opinión, lo consiguió, aunque no de forma acabada ni mucho menos. Dice el teorema en su versión fuerte lo siguiente :

Si A es una matriz cuadrada, no negativa e irreducible, entonces se obtienen las siguientes conclusiones:

a) A nos proporciona un autovalor t positivo, simple y real que es el mayor de los n autovalores en valor absoluto posibles de A.

b) Este autovalor t es el único que garantiza un vector (tanto por la derecha como por la izquierda) asociado a A cuyos elementos son todos positivos .

c) El autovalor t es una función continua creciente de A.

d) El autovalor t es una raíz simple del determinante de t-A.

e) El valor de t está comprendido entre el valor menor de las sumas de las filas (columnas) de A y el valor mayor. Es decir:

Ya fuera del teorema, si A es productiva, es decir, si para todas las mercancías se cumple que la suma (por filas) de todas las mercancías utilizadas en los diferentes sectores X es menor que el producto final de esa mercancía Y, entonces el autovalor t es menor que uno, lo que garantiza que la razón-patrón R sea mayor que cero, dado que autovalor y razón-patrón guardan la relación R=(1-t)/t. Expresado lo anterior de forma resumida sería que:

La inecuación anterior tiene como conclusión que , dado que los elementos aij de A provienen de hacer A=XY-1. Esta última relación ya ha aparecido anteriormente en la construcción de la mercancía-patrón y en la definición de razón-patrón. Se puede observar que u es a la vez el coeficiente de multiplicación de los productos finales de la mercancía-patrón y el autovalor máximo de A. Esto no es casualidad. La mercancía-patrón se construyó con unos multiplicadores qj y un coeficiente de multiplicación u tales que cumplían la ecuación:

(24)

Si ahora hacemos Az=XQ y z=YQ se cumple las condiciones del teorema de Perron-Froebenius en A, entonces el coeficiente de multiplicación u de (24) es el autovalor t definido en el teorema anteriormente; es decir, que u=t. Además, los elementos de Q, es decir, todos los qj, son mayores que cero.

Esta es la versión fuerte del teorema. La débil es aquella en la que no se exige que la matriz A sea irreducible, sino tan sólo reducible. Eso dará un autovector asociado en el que todos sus elementos serán no negativos. Es decir, la diferencia con la versión fuerte es que la débil puede tener algunos de los elementos del autovector iguales a cero. Eso significa para el caso de la mercancía-patrón que si tomamos el autovector por la derecha en (24) de A, algún multiplicador qj puede ser cero; y si calculamos el autovector por la izquierda en (25), algunos de los precios pi pueden ser cero. Hay algunas otras conclusiones, tanto en la versión fuerte como débil, pero estas son las importantes para el caso.

Que la matriz cuadrada nxn A sea irreducible significa en pocas palabras que el rango de la matriz es n. Es decir, que ninguna de las ecuaciones (filas o columnas) de A es una combinación lineal del resto; o también que no se puede rebajar el rango de la matriz mediante cambios en filas y columnas. No significa eso que todos los elementos de A tengan que ser positivos, aunque en el caso nuestro lo que no puede ocurrir en la producción simple es que sean negativos. La razón es que Y, en la producción simple , es una matriz diagonal con ceros en el resto de sus elementos, por lo que la inversa de Y está formada por los inversos de sus elementos -elementos que son todos positivos- y que se colocan sólo en la diagonal principal. Como además todos los elementos de la matriz de medios de producción X o son positivos o ceros, A, que es el productos matricial de X por la inversa de Y, no puede tener ningún elemento negativo. Cosa distinta ocurrirá cuando se aborde la producción conjunta, porque allí ya no tenemos una matriz Y de productos finales cuyos elementos están sólo en la diagonal principal, sino una matriz con todos sus elementos con valores positivos (o en algún caso cero). Entonces, en la matriz A que surge de A=XY-1 no se garantiza que todos los elementos aij de A sean positivos, porque nada garantiza a su vez que la matriz inversa de Y, es decir, la Y-1 de A=XY-1 tenga todos sus elementos positivos. Resumiendo ahora que tenemos el teorema de Perron-Froebenius: mientras que en la producción simple podemos aplicar este teorema porque la matriz de productos finales Y es diagonal y su inversa tiene todos sus elementos positivos, nada de ello se garantiza en la producción conjunta, por lo que en esta modalidad de producción no podemos aplicar el teorema. La consecuencia más importante de ello es que, en este caso de producción conjunta, la R es sólo la tasa máxima de ganancia, pero no la razón-patrón, o al menos no tiene porqué coincidir con la razón-patrón (si es que la podemos hallar de otra manera y si es que podemos garantizar que sea única ). El dios Jano de R pierde una de las dos caras. Estaría tentado de decir que en la producción conjunta no existe razón-patrón, pero Sraffa nos dice lo contrario. En efecto, lo que cambia es la forma de calcular lo que seguimos llamando razón-patrón: con la reproducción simple la obteníamos aplicando Perron-Froebenius a la matriz A de requerimientos; en la producción conjunta la obtenemos ordenando de mayor a menor todos los productos netos relativos o excedentes relativos de cada mercancía y tomando la menor de todas ellos. ¿Qué es lo que hemos perdido con ello?: que no podemos garantizar que todos los precios sean positivos; tampoco que los multiplicadores que construyen la mercancía-patrón lo sean también. Lo que sí garantiza este método manual de obtención de la razón-patrón es que todas las mercancías podrán soportar la tasa de ganancia (única) del sistema, porque su producto neto relativo es mayor (a lo sumo igual) que dicha tasa. Y esto no es poco.

En cuanto a la posibilidad de precios negativos en la producción conjunta, Sraffa, como intelectual de máximo nivel, no se quedó a buscar algunas condiciones que arreglaran el tema y que llevarían con toda seguridad a desvirtuar su modelo y a lo que intentaba explicar con él . Oigamos como lo arregla: “Sin embargo -y esta es la única restricción económica- mientras las ecuaciones puedan ser satisfechas por soluciones negativas para las incógnitas, sólo son practicables aquellos métodos de producción que, en las condiciones efectivamente dominantes -es decir, al salario dado o al tipo de beneficio dado- sólo implican precios positivos” . Esta consideración aparece en varios momentos de su libro. Para un economista ortodoxo que trabajara en economía pura esto sería un pecado; en el caso de Sraffa demuestra el grado de libertad que tiene su modelo y la posibilidad de acercamiento empírico a la realidad de que está dotado. Pero la producción conjunta es otro capítulo.