De la mano de Sraffa: una teoría de la reproducción

Leyendo literalmente la obra de Sraffa Producción de mercancías por medio de mercancías no podría decirse que tiene el economista italiano una teoría explícita de la reproducción y, menos aún, de la acumulación, como tiene, por ejemplo, Marx. Sin embargo su modelo lo es de equilibrio general y tiene por ello una teoría explícita de, al menos, reproducción simple. Lo tiene por los siguientes motivos: 1) en la ecuación que define su sistema -que luego veremos- no están fechadas sus variables; 2) la razón-patrón R interrelaciona los medios de producción con los productos finales en términos físicos y esto exige dos momentos diferentes del tiempo; 3) la mercancía-patrón se calcula a partir de unos multiplicadores que, al igual que la razón-patrón, interrelaciona medios y productos que no pueden ser simultáneos; 4) la matriz de requerimientos A=XY-1 que relaciona también medios y productos se supone constante a lo largo del tiempo, incluso cuando llega Sraffa a la reducción del capital a trabajo fechado; 5) la propia aplicación del teorema Perron-Froebenius exige una matriz de requerimientos A varada en el tiempo para obtener un vector de precios no negativos. Se podría añadir algún argumento más, pero quizá sería redundante. Además, cuando Sraffa nos señala el tipo de economía (modelo) objeto de análisis nos dice en el prefacio que: “La investigación se ocupa exclusivamente de aquellas propiedades de un sistema económico que no dependen de variaciones en la escala de producción o en las proporciones de los factores” . Es verdad que la diana a la que apunta es el marginalismo, pero con ello está suponiendo -quizá sin querer- o rendimientos constantes a lo largo del tiempo o reproducción simple o ambas cosas. De hecho, en la ecuación que define el sistema en la reproducción simple se pueden despejar los precios (únicos) en función del resto de las variables. No hay originalidad en todo esto, pero sí creo que la hay si se logra demostrar que los modelos que Sraffa va exponiendo, pasando por la producción sin excedente, con excedente, la reducción a trabajo fechado, la producción conjunta, la diferenciación entre bienes básicos y no básicos, y la producción con capital fijo, no sale en cualquier caso de la reproducción simple. Se puede presentar ese recorrido por sus esquemas como un caso particular de un modelo de reproducción y acumulación parecido pero distinto al de Marx, que es, por otro lado, al que más se parece, y ello a pesar de que uno trabaje con lo que llama precios de producción (Sraffa) y el otro con valores-trabajo (Marx). No es este el momento, pero no me resisto a afirmar que el italiano no tiene justificación en llamarles precios de producción y en el alemán los valores-trabajo da lugar a una definición de teoría de la explotación en lugar de una ley económica. Sólo en el interesantísimo apéndice B se ve obligado Sraffa a hablar explícitamente de “productos no-básicos que se auto-reproducen” . No es que Sraffa se negara a admitir que su modelo implica la reproducción simple, sino que, dado que su interés se centraba en la distribución, dejó, digamos, cojo su esquema. Nada que objetar, porque hasta los genios deben pararse a descansar. Los simples mortales vamos a tratar modestamente de completar su esquema.

Reproducción simple

Vamos a entrar directamente en la reproducción simple haciendo explícitos el sistema de ecuaciones que pueden definirla. Por supuesto que éstas no han sido elegidas al azar sino tras algunos intentos de comprobar si la meta final no traicionaba el modelo esrafiano original. Son estas las ecuaciones:

(1)

(2)

(3)

(3 bis)

(4)

(5)

La ecuación (1) es la de definición del sistema y se ha diferenciado los bienes no-básicos YC,k+1 que aquí vamos a llamar de consumo, sea cual sea el consumidor y que son aquellos que se consumen en el período considerado (por ejemplo, un año) y no son medios de producción; YC,k+1 es una matriz no cuadrada mxn y PC,k+1 es su vector de precios 1xm. Por su parte, Xk+1 es la matriz de bienes básicos nxn, pero que aquí los consideramos como medios de producción producidos. Ello supone quizá forzar las definiciones esrafianas de bienes básicos y no-básicos, pero no queda otro remedio . Creo, a pesar de todo, que no supone traición al menos a su espíritu. P es el vector de precios 1xn, que es común a los medios de producción como a los productos finales que sirven para producir; este vector de precios permanece constante a lo largo del tiempo, por lo que hemos omitido la referencia temporal. Por último, Xk es la matriz de medios de producción nxn. Se ha pre-multiplicado también en (1) la masa salarial wLk por la tasa de ganancia g, a pesar de que Sraffa suele trabajar con lo que el llama salarios post-factum. Hoy día eso es inadmisible y la razón de trabajar así -y que procede de Ricardo- está mal justificada por el italiano . No obstante, los resultados son esencialmente los mismos, solo que con un factor (1+g) pegado a w. Que la matriz YC,k+1 sea no cuadrada se ha hecho en aras del realismo, porque que el número de mercancías (hoy bienes y servicios) destinadas al consumo (m en YC,k+1) sea igual al número de mercancías destinadas a la reproducción de los medios (n en Xk+1 y Xk) es un suceso casi imposible. La ecuación (2) surge de hacer cero la tasa de salarios w. La (3) es la ecuación estratégica de este modelo. En ella se expresa la igualdad entre el total de los medios de producción Xk en términos físicos de un período y los productos finales de medios de producción Xk+1 del período siguiente, también en términos físicos. Es decir, el sistema se reproduce así mismo sólo en los medios de producción, mercancía a mercancía, en el total de los sectores. Insisto que no se exige que cada sector produzca la misma cantidad de mercancías período a período, sino que la igualdad se de para la suma de todos los sectores (pero mercancía a mercancía). Si el modelo se ve muy rígido, vale con que se cumpla la ecuación en términos de valor PXk+1I=PXkI, donde I es el vector de unos nx1. No obstante, en mi opinión debe mantenerse la ecuación tal y como está en (3), es decir, como suma en términos físicos de todos los sectores por cada mercancía por dos motivos: 1) porque creo que es más acorde con el espíritu esrafiano que se desprende de su obra; 2) porque hacerlo en términos de valores, es decir, como PXk+1I=PkXI, se corre el peligro de llegar sólo a una igualdad total y tautológica entre demanda agregada en términos de valor (derivada de las rentas salariales y las ganancias) y oferta agregada como suma, en términos de valor, de los bienes de consumo YC,k+1 más los bienes finales de producción Xk+1. Insisto que el peligro es acabar en una igualdad contable en lugar de un equilibrio derivado de leyes económicas. El sistema es de reproducción simple porque lo que indica (1) y (3) es que con las rentas obtenidas por la venta de Xk+1I se compran nuevamente medios de producción para el período siguiente, que son idénticas si Xk+1I=Xk+2I; alternativamente pueden serlo en términos de valor y por el total, si hacemos que se cumpla PXk+1I=PXkI. Las ecuaciones (4) y (5) son los numerarios que se van a aplicar y que no se han elegido al azar precisamente. Hemos dejado para lo último la explicación sobre el período temporal que llevan el resto de las variables. En la ecuación que define el sistema (1) se ha diferenciado el período k+1 donde se obtienen los bienes de consumo YC,k+1 y de productos finales de medios Xk+1 -así como sus respectivos precios- de los períodos de las variables Lk y Xk del lado derecho de la ecuación y que se supone que entraron en la producción en un período anterior k. No obstante, dado que estamos en la reproducción simple, las referencias temporales desaparecen porque se supone que tanto el trabajo como los medios de producción se repiten en diferentes períodos, así como los productos de consumo YC. Las tasas de salario w y de ganancia g permanecen constantes en el modelo. Queda claro pues, que la (3) es una ecuación de comportamiento que permite alternativas, es decir, que es una ley económica y no una mera definición. De la ecuaciones (1) y (2) sale la ecuación explícita de precios de medios y productos finales.

(6)

Una vez calculada la (6), del conjunto de n+2 ecuaciones que van de la (3) a la (5) más las n ecuaciones de (6) nos da, todo ello, la ecuación fundamental de este sistema:

(7)

¡Si reemplazáramos gM por la razón-patrón esrafiana R, sería la ecuación fundamental de Sraffa de esta razón en su versión pre-factum en el pago de salarios! Es por supuesto una analogía, puesto que R no saldría de este conjunto de ecuaciones ni aún cuando añadiéramos la ecuación PXk+1=(1+R)PXk, porque ello exigiría un numerario tal como PXk+1I-PXkI=1, cosa que no hemos hecho y que no podríamos hacer porque ya hemos tomado como numerario PC,k+1YC,k+1 en (4), cosa que ha sido imprescindible para llegar a la ecuación (7). O lo uno o lo otro.

Frontera salario-ganancia

Cambiando de tema, esta ecuación es además la frontera de salarios-ganancias con puntos de corte en w(g=0)=1 y g(w=0)=gM. La función (7) entre tasa de salario y de ganancia como variables es crecientemente decreciente, puesto que tiene la primera derivada negativa y la segunda positiva. La (7) implica otra ecuación que no hemos hecha explícita, que es como sigue:

(8)

La (8) nos dice que las rentas totales del lado derecho de la ecuación, es decir, las derivadas del trabajo más las ganancias sobre las masa de salarios y medios de producción (demanda), han de comprar todos -pero sólo- los medios de consumo PC,k+1YC,k+1I (oferta). Es la segunda ecuación de equilibrio del sistema, complementaria con la (3), pero en términos de valor, es decir, como PXk+1I=PXkI. Con ello completamos la reproducción simple. Podemos enunciarlo así: un posible sistema de equilibrio y reproducción simple esrafiano es aquel en el que el conjunto de todos los bienes de consumo son comprados con el conjunto de las rentas del trabajo más las ganancias empresariales y que, complementariamente, el valor de los productos finales se destinan íntegramente a comprar los mismos productos como medios de producción.

Reproducción ampliada

Debemos avanzar porque lo dicho hasta ahora está implícito en la obra de Sraffa, aunque el no pudiera llegar a (7) ni a definir explícitamente (8). Ahora sí nos adentramos en terrenos no explorados por el genial italiano, porque vamos a suponer dos tasas de acumulación (o de reproducción ampliada) del sistema. Una -llamémosla v- en la reproducción de los medios de producción X y otra -que será u- para la reproducción de los bienes de consumo YC. Ambos hechos quedan reflejados en las ecuaciones que siguen:

(9)

(9 bis)

En (9) el sistema ya no simplemente se auto-reproduce, sino que deja el margen vXkI destinada a aumentar los productos finales de medios de producción Xk+1I por ese misma cantidad física para todas los medios de producción del conjunto de los sectores. Además se aumentan los bienes de consumo final YCk un porcentaje igual a u. Alternativamente -y al igual que antes- podemos suponer que el sistema se acumula en términos de valor, aplicando v a PXkI directamente para obtener PXk+1I=(1+v)PXkI y u a PCkXCkI y nos da PC,k+1YC,k+1=(1+u)PC,kYC,k. Como curiosidad podemos añadir que la diferencia entre u y v es un índice de productividad no laboral del sistema. Si ahora resolvemos el conjunto de ecuaciones originales, pero sustituyendo la (3) por la (9) y (9 bis), nos da la significativa ecuación:

(10)

donde vemos que (10) se diferencia de (7) en que el segundo multiplicando del denominador ya no es gM sino gM-v y que en el numerador aparece un nuevo multiplicando: (1+u). La tasa de ganancia se obtendría de (10):

(10bis)

Despejando ahora la tasa de acumulación (o de reproducción) v:

(10bis b)

Y la tasa de crecimiento de los bienes de consumo:

(10bis c)

Uno de los mantras de la teoría del crecimiento neoclásica es que, bajo ciertas condiciones, la tasa de crecimiento de una economía es proporcional (incluso igual) a la tasa general de ganancia del sistema. No entramos si la realidad se adecua a esta conclusión neoclásica porque la realidad -y más la actual- la ha dejado herida de muerte. En el modelo esrafiano no existe proporcionalidad. Calculamos la primera derivada de (12) y a pesar de su terrible aspecto, queda:

(13)

La segunda derivada es:

(14)

Es decir, la primera derivada positiva y la segunda negativa significa que la función (12) es decrecientemente creciente. Además, su crecimiento se detiene tangencialmente con la recta: que es, por lo tanto, su tope máximo. Los puntos de corte son:

(15)

(16)

En el caso que nos ocupa, la ecuación de reproducción del sistema equivalente a la (8) de la reproducción simple sería como sigue:

(17)

donde el lado derecho de la ecuación son las ganancias y salarios que van a demandar los bienes de consumo (lado izquierdo). Se puede observar en (17) que las ganancias derivadas de los medios de producción (g-v)PXkI son menores que en (8) -que eran gPXkI- por la necesidad de dedicar parte de ellas (vPXkI) en (9) a aumentar la demanda de productos finales de medios de producción Xk+1. Por ello, ahora las ganancias correspondiente a la masa salarial gwLkI han de servir para compensar esa menor demanda.

Generalización I

Una generalización del sistema de reproducción simple de origen esrafiano vendría dado por el sistema de ecuaciones:

(18)

(19)

(20)

(9)

(9bis)

donde lo que cambia respecto al modelo anterior de reproducción ampliada es que ahora ya no tenemos tasas unitarias de salarios y ganancias, sino matrices diagonales de salarios W, de salarios, G y de ganancias máximas GM. De las ecuaciones (19), (9) y (9bis) sale la ecuación de equilibrio del sistema:

(21)

Es esta una ecuación que implica un doble equilibrio. Por un lado indica la necesidad de igualar la oferta de bienes de consumo (lado izquierdo de la ecuación) con las rentas salariales y gananciales que representa el lado derecho; por otro es un equilibrio temporal, porque si el sistema respecta (21), ello indicaría que la senda de crecimiento de los bienes de consumo u se equilibra con la demanda derivada de las rentas producidas en los dos sectores en los que hemos divido la economía: el de medios de producción y el de bienes de consumo. Un gobierno que tuviera el poder político y económico capaz de obligar a mantener ese equilibrio en el conjunto de la economía podría dominar las crisis y evitar o, al menos, aplanar muchísimo los ciclos internos de la economía. Mejor aún si ese poder fuera un poder mundial. Pero eso es una utopía. Volviendo a la ecuación de equilibrio (21), de ella y de la de definición del sistema de este epígrafe, es decir, de la (18), junto el resto, obtenemos la complementaria de equilibrio y que es una alternativa a la (21):

(23)

En esta no tenemos la matriz diagonal de ganancias máximas GM y en la (21) está ausenta la matriz de medios Xk. Juntas son redundantes. No es este el único modelo posible de reproducción simple o acumulada respetuoso con el espíritu esrafiano, pero es el más simple posible porque sólo hemos exigido que se reproduzca -o se amplíe- los productos finales X de un período que serán medios de producción en el período siguiente y que se haga lo propio con los bienes de consumo YC. Incluso la reproducción ampliado de los medios de producción no es necesaria. Es decir, la tasa de reproducción v podría ser cero. No se me ocurre otra manera más adecuada de equiparar en lo posible los bienes de consumo de la macroeconomía convencional con el criterio de bienes no-básicos de Sraffa. Aunque se ha expresado el equilibrio en términos monetarios, el origen de los equilibrios en la reproducción del sistema se ha hecho a partir de la igualdad -o del crecimiento- en términos físicos de los productos finales de medios de producción de un período con el de medios de producción del siguiente. En este modelo de equilibrio de inspiración esrafiana, los precios juegan un papel pasivo y sólo intervienen como relaciones de intercambio, a diferencia de los precios de los modelos de equilibrios competitivos del análisis convencional, donde determinan los excesos de demanda que supuestamente vacían los mercados . Los precios, en el equilibrio esrafiano, no son una guía para el conocimiento sobre la escasez de bienes y servicios, sino que expresan relaciones de intercambio entre bienes y servicios (mercancías, commodities, en lenguaje esrafiano). En Sraffa puede haber equilibrio mediante el trueque, sin precios, porque las propias relaciones de truque sustituyen y son equivalentes a los cocientes de precios. En el (o los) equilibrios esrafianos no hay funciones de producción ni funciones de demanda explícitas, porque medios y productos son datos surgidos del intercambio. No obstante, ello es compatible con las funciones anteriores siempre y cuando estas no determinen salarios y ganancias. La razón es la de que en cualquier modelo esrafiano de reproducción o de acumulación o, simplemente, de equilibrio, la relación entre salarios y ganancias se determinan exógenamente, sociológicamente, y no tecnológicamente o por efectos de supuestas productividades o utilidades. Sraffa, como heredero de Torrens, Ricardo, Smith, Mill, Marx, etc., es decir, de los clásicos, abre un mundo nuevo, alternativo al marginalismo y en parte al neoclasicismo, e incompatible con ellos. Eso sí, ese mundo hay que completarlo y, porqué no, también crearlo.

Generalización II

El modelo que venimos proponiendo permite una generalización aún mayor, porque ahora vamos a suponer que existen n tasas de acumulación en la producción de bienes de consumo uij tales que para uij=0 si i<>j y con uij>0 si i=j, concretadas en la matriz diagonal U; también n tasas también de acumulación vij en la producción de medios de producción tales que vij=0 si i<>j y con vij>0 si i=j, concretadas a su vez en la matriz diagonal V. Con ello las ecuaciones (9) y (9bis) del modelo anterior se convierten en:

(24)

(25)

Ahora, sustituidas estas ecuaciones en la (19) del modelo anterior, nos da la ecuación de equilibrio tal como:

(26)

donde, como siempre, la parte de la izquierda de la ecuación es la oferta de bienes de consumo en términos de valor menos el valor de medios de producción minorado de la tasa de crecimiento (acumulación) de estos bienes, que ha de ser igual -también en términos de valor- a las rentas salariales aumentadas por las tasas de ganancia. Al igual que hemos hecho antes, podemos hacer desaparecer los precios de los medios de producción con una ecuación análoga a la (21) y se obtiene:

(27)

Esta ecuación de equilibrio desde el punto de vista formal es más sencilla puesto que sólo tenemos un sumando a cada lado de la ecuación. Su interpretación económica viene a ser que el equilibrio con crecimiento -tanto en el sector de bienes de consumo como de producción de medios- se da si la oferta en términos de valor global de bienes de consumo se igual a las rentas laborales modificadas por todos los factores que aparecen como multiplicandos en el lado derecho de la ecuación. Hay dos cosas significativas en (27): 1) que estamos muy cerca ya de los empírico, por lo que una política económica deliberada tendente a impedir crisis y ciclos debiera guardar este equilibrio si el un gobierno tuviera el poder político y económico capaz de hacerlo observar. En una economía de mero mercado es imposible llegar a ese poder, pero hay que ser consciente de lo que se pierde con ello; 2) que se puede observar que los precios de los medios de producción no aparecen explícitos en (27). Eso significa que una planificación de la economía basada en (27) sólo tendría como dato -sea del mercado o planificado- los precios de los bienes de consumo. En términos aritméticos (27) sería:

(27bis)

Piero Sraffa