Anexo 18: Sobre la tasa máxima de ganancia y nuevo numerario

Hay una posibilidad de concretar la ecuación para el cálculo de la tasa máxima de ganancia gM al menos en la producción simple de Sraffa. Vamos a ver que depende de un detalle apenas sin importancia. Vamos a plantear el sistema de ecuaciones casi habitual de Sraffa

(1)

(2)

(3)

(4)

La diferencia con el sistema habitual es que hemos cambiado el numerario habitual PYI-PXI=1 por el (3) . Ello va a impedir que la razón-patrón del sistema -que sigue existiendo porque es una propiedad de los supuestos sobre A=XY-1 están en (1)- coincida con la tasa máxima de ganancia. A cambio, resolviendo el sistema de ecuaciones planteado se obtiene:

(5)

Del conjunto de los 4 sistemas de ecuaciones de definición del sistema sale la ecuación equivalente a la razón-patrón de Sraffa:

(6)

Si la (5) la pos-multiplicamos por YI y teniendo en cuenta que PYI=1 de acuerdo con (3) y (6) queda:

(7)

¡Y hemos hallado la tasa máxima de ganancia, que, como se ve en (7), es independiente de los precios! El vector de inputs de trabajo L sustituye al factor de proporcionalidad ñ de las ecuaciones (8) y (9), que no dejaban de ser unas conjeturas ad hoc, aunque con la lógica derivada del modelo de producción simple de Sraffa. Aquí no hay conjeturas. El problema es que el coste pagado para llegar a (6) ha sido muy alto: la tasa máxima de ganancia gM ya no coincide con la razón-patrón de Sraffa R.

Anexo 19: Sobre Perron-Froebenius y el teorema del punto fijo

Los tratamientos sobre el equilibrio general competitivo de Debreu, Arrow y Hahn, etc., suelen estructurarse de forma axiológica, enumerando las hipótesis formales para llegar a las conclusiones. Nada más alejado del interés de Sraffa. El italiano parte, camina y concluye en el mundo de las proposiciones económicas, aunque se tenga que atener a la disciplina de las matemáticas o, al menos, utilizarlas como mero instrumento, para no errar en las conclusiones. Ambos métodos tienen sus ventajas e inconvenientes, además de que siempre se ha de distinguir entre el método de investigación y el de exposición. Visto el desarrollo de su libro, Sraffa fue sacando a la luz sus conclusiones sin tener un conjunto axiomático de hipótesis que le iluminaran al final del túnel. Por eso tuve que rectificar, por ejemplo, su consideración sobre los bienes básicos y no básicos cuando abordó la producción conjunta y/o se vio contrariado con su propia definición cuando llegó a la producción conjunta, aún cuando ésta la tuviera in mente desde el principio. También demuestran estos avances y titubeos con las consideraciones en el apéndice B de su libro Producción de mercancías por medios de mercancías cuando convirtió -en mi opinión con acierto- en un apéndice lo que en un principio debía ser sólo una nota a pie de página. A pesar de ello, hay que agradecer a Sraffa que fuera mostrando sus resultados a medida que los descubría, porque ello ha resultado mucho más pedagógico. Ha sido y es una de las tareas de sus epígonos: matizar sus hipótesis si son incoherentes con sus fines, solucionar sus errores y desarrollar su obra. Lástima que esos desarrollo -aún muy insuficientes- no hayan llegado a los manuales universitarios de economía y sólo han quedado para tesis doctorales o artículos con los que aumentar algún currículo. Siguiendo con el contenido de lo que veníamos comentado, no tiene Sraffa un desarrollo axiomático que nos permita cerciorarnos de que su sistema parte, conduce y llega a un equilibrio, aunque no tenga sentido llamarle en principio competitivo. Mi opinión es que tampoco es incompatible con él, porque las cantidades de medios, productos e inputs de trabajo están dadas. De hecho sí se puede afirmar que Sraffa trabaja siempre -e incluso cuando reduce el capital a trabajo fechado- con un conjunto de ecuaciones que implican un equilibrio. Eso es notorio por dos cosas: 1) las variables no están fechadas; 2) el vector de precios de productos finales es el mismo que el vector de medios. Sin embargo, Sraffa ni siquiera hizo en su libro consideración o mención alguna al respecto, aún cuando los avances sobre los aspectos formales de los equilibrios competitivos se estaban produciendo al mismo tiempo que el desarrollaba su obra . Las razones pueden ser varias, además quizá del desconocimiento que tuviera sobre estos tratamientos axiológicos. Una razón profunda es la absoluta diferencia que tiene la consideración de los precios entre los análisis mencionadas y lo que pretendía Sraffa: para los primeros, los precios son la guía de la asignación de los recursos y baremo de la escasez, mientras que para el italiano los precios son meros coeficientes de intercambio. Empleo el término coeficiente, consciente de que Sraffa no emplea un término ni parecido (podría ser ratio, por ejemplo), porque probablemente su temor a sufrir un rechazo -por si no bastaba ya el sufrido- por parte de sus compañeros de profesión que fuera total. Sraffa los llama precios de producción, a pesar de que no tiene una teoría de los costes ni trabaja con funciones de producción explícitas. En realidad el nombre le debió importar poco. El norte de Sraffa, como ya he señalado en otros artículos, era doble: el estudio del excedente y sus límites, y el mayor -y definitivo- ataque a la teoría de la producción neoclásica-marginalista. Sin embargo, al centrarse en estas dos cuestiones, creo que no se dio cuenta de que su modelo se acercaba a los desarrollos del equilibrio general de la época, que -y esta es una opinión muy personal- y compartía con ellos lo que supone un ataque a la teoría del capital y, en general, del mercado competitivo de la economía, por la necesidad de hacer explícitos los teóricos del equilibrio competitivo los supuestos vaporosos y paradójicos en los que se sustentaban la microeconomía de entonces (de Marshall) cuando se pasaba del análisis parcial al general. En concreto, Sraffa no menciona nunca nada referido al teorema de Perron-Froebenius y menos aún, claro, a los teoremas del punto fijo de Kakutani , que son básicos para modelizar los modelos de equilibrio competitivo. En el fondo es un mérito extraordinario del italiano y una muestra de su genialidad y confianza en sí mismo que, sin tener el báculo de las matemáticas que se desarrollaban en su época, pudiera culminar su obra y llegar a conclusiones económicas normalmente correctas y significativas.

Cuando Sraffa plantea la ecuación:

(1)

como hemos visto que surge a su vez de la ecuación de definición de su sistema al hacer cero la tasa de salarios, Sraffa está planteando una relación de equilibrio no demostrada, porque los precios son los mismos en el lado izquierdo de la ecuación (productos finales Y) de los del lado derecho (medios de producción X). Ya hemos comentado que las preocupaciones de Sraffa son otras, pero la visión actual, para poder propiciar el avance de sus modelos, deber ser también otra. Si llamamos como siempre A a la matriz de requerimientos tal que X=AY, por lo que A=XY-1, la (1) se transforma en:

(2)

Hemos visto que R surge de la resolución de un sistema de ecuaciones tales como YQ=(1+R)XQ y LQI=1, siendo Q el vector nx1 de multiplicadores, por lo que R=f(L,Y,X), y no de los precios P. Si ahora reemplazamos los precios P de la ecuación (2) en el lado derecho de la misma ecuación de forma reiterada, llegaríamos a una función tal como:

(3)

Esta aplicación transforma precios (el conjunto P=dominio de definición de la aplicación) en (1+R)nPAn (conjunto imagen). Parecería que fuéramos bien para llegar al terreno del teorema de Kakutani, pero no es así porque dado que R ha de ser mayor que cero, el conjunto imagen es mayor que el conjunto dominio y todo se va al garete. Eso no ocurrirá si hacemos directamente que (2) sea:

(4)

con tal de que r<R. Y tras sucesivas sustituciones de P:

(5)

Se ha añadido la posibilidad del menor porque ello es imprescindible para aplicar Kakutani, por lo que (5) es una construcción (una aplicación) inspirada en (3), pero no deducida estrictamente de (3). Falta aún una cosa para acotar el conjunto de precios P, objeto de la aplicación: dividir cada precio por la suma de todos ellos:

(6)

o en términos matriciales:

(6 bis)

por lo que (5) quedaría:

(7)

Con (7) tenemos una posible aplicación que cumple el teorema de Kakutani si: r<=R, si Ak+1<Ak para k=1 a n y PFi>=0 para i=1 a n. De (7) se puede decir que es una correspondencia continua (semicontinua por arriba) que proyecta puntos de un conjunto cerrado, acotado y convexo (los precios PF) en un subconjunto del anterior (los precios PS), también convexo, tal que tiene un punto fijo , es decir, que ocurre que:

(8)

Dicho de otra manera, que existe un vector PS en la imagen del conjunto correspondiente mediante la transformación (7) que hace que S=R, es decir, que PS= PF. Hay que demostrar rigurosamente que (7) es una aplicación continua, cerrada, acotada y convexa. Sólo unos apuntes al respecto. La aplicación es continua si trabajamos con número reales para los precios y la función es continua; es acotada por (6), es decir, porque hemos tomado como numerario la suma de los precios originales, con lo cual la suma de los precios transformados en (6) vale 1; es cerrada porque el signo de (7) es menor o igual, con lo cual todos los puntos de acumulación de PF pertenecen al dominio de definición; por último es convexa porque una combinación lineal del lado derecho de la aplicación (7) pertenece a su vez al dominio de definición si la combinación lineal se hace con dos coeficientes tales como m y 1-m, para m tal que 0<=m<=1.

Hay que pensar que no hubiéramos llegado a Kakutani si no hubiéramos partido de Perron-Froebenius para obtener un R independiente de los precios, lo cual implica que A ha de ser cuadrada, no negativa (al menos) e irreducible, con el añadido posterior que ha de ser productiva, es decir, que se cumpla que Ak+1<Ak para obtener un conjunto de precios (autovector de A) no negativo (versión débil del teorema).