Anexo 14: Reproducción simple en Marx a la luz de Sraffa

Hay otra manera de mostrar el equilibrio de la reproducción simple con las anteojeras de Sraffa. Supongamos que los medios de producción que se emplean en la ecuación (R.3) -para a su vez producir medios- son los mismos que se emplean para producir productos finales de consumo en la ecuación (R.4). Es una hipótesis con mucho sentido. Supongamos además que todas las matrices de productos y medios de los dos sectores (o conjunto de sectores) tienen la misma dimensión nxn. Esto supone una cierta restricción que pierde generalidad. Ocurre entonces que la ecuación de equilibrio:

(1)

queda como sigue:

(2)

Lo que ha cambiado es que hemos hecho iguales los precios y cantidades de los medios de producción de ambos sectores, es decir, que P2X2=P1X1, porque son los mismos medios. De la última ecuación obtenemos la ecuación de equilibrio general del sistema económico tal y como se ha definido:

(3)

que en términos aritméticos es:

(4)

Al igual que decíamos en el cuerpo principal de este trabajo, un gobierno nacional o mundial que tuviera suficiente poder político y económico (no existe actualmente) que fuera capaz de implementar políticas económicas capaces de hacer observar el equilibrio de la ecuación anterior, tendría mucho avanzado para combatir los ciclos y las crisis. Ha de observarse también -y es significativo- que no hay que preocuparse por los salarios, tasas de ganancia y precios de los sectores de bienes de consumo (que no aparecen en la ecuación), sino tan sólo por estas variables del sector de medios de producción. Intelectualmente no puede ser más sencillo. Eso sí, las dificultades ideológicas y de poder son inmensas. También vale esta ecuación de equilibrio -así como aquella de la que procede- para una economía abierta (con sector exterior), porque podemos asimilar las importaciones como una parte de los productos finales y las exportaciones como medios de producción para obtener precisamente las anteriores . ¡Y todo esto ha surgido de la simple conjunción de Marx y Sraffa! De la ecuación (4) se desprende que si aumentan las ganancias sin que se muevan las demás variables, la ecuación se desequilibra, y para encontrar de nuevo la condición de equilibrio han de subir los precios del sector (el de medios) o han de bajar los salarios o aumentar los despidos, o una combinación ponderada de las tres cosas a la vez. ¡Con esta ecuación tendrían los sindicalistas argumentos para que no suban las ganancias en períodos de equilibrio o de crecimiento moderado y sin situaciones de crisis!

Anexo 15: Mercancía-patrón, razón-patrón y producción conjunta

Creo que Sraffa debió sentirse angustiado cuando salió de su producción simple para entrar en las inesperadas y sorprendentes tierras de la producción conjunta. En su época era una novedad porque los economistas se mecían en las cómodas hamacas de la producción simple y daban por supuesto que las conclusiones que se obtenían de la simple valían para la conjunta. En su época era una apuesta arriesgada. En el modelo de Sraffa se verá que las conclusiones son significativamente diferentes. No tengo constancia de ello y quizá no queden testimonios de sus sensaciones ante este tema . Pero digo lo anterior por lo siguiente: Sraffa dedica tres capítulos a la producción conjunta cuando, por ejemplo, sólo dedica uno y -en mi opinión- alicorto, a la reducción del capital a trabajo fechado, cuyo tema es trascendental en su obra y aún más en la historia de la teoría del capital; lo digo porque dedica todo un capítulo -el octavo- a demostrar la existencia y unicidad en la producción conjunta -tal como él la entiende- de la razón-patrón y la mercancía-patrón; ítem más, Sraffa considera los tres capítulos dedicados a la producción conjunta como una especie de introducción a los capítulos siguientes dedicados a la teoría del “Capital Fijo” y de la “Tierra”, y advierte que se pueden saltar si “los lectores los encuentran demasiado abstractos” ; por último, me llama la atención de cómo empieza este octavo capítulo. Dice Sraffa: “Tan pronto como consideramos en detalle la construcción de un sistema patrón con productos conjuntos, resulta obvio que puede que algunos de los multiplicadores tengan que ser negativos” . Es decir, como para curarse en salud de cara el lector, afirma lo que ha de demostrar, aunque, según él, a pesar de esos multiplicadores, ello no implica que no pueda haber razón-patrón. Y concluye el capítulo VIII mezclando los bienes básicos con los no básicos. ¿Cuál es lo correcto de todo esto? En este artículo se va a intentar esclarecer un poco lo anterior utilizando una consideración que quizá se le escapó a Sraffa. En todo caso servirá, creo yo, para la lectura de los capítulos VII, VIII y IX. Vamos a sintetizar algunos aspecto del/los modelo esrafianos que hemos visto hasta ahora, por lo que el lector avanzado puede saltarse este primer epígrafe sobre la producción simple.

1 - Producción simple

Para entender el problema de manera más formal que económica -aunque ambas deben ir unidas y más cuando se trabaja con algún grado de libertad- se ha de partir de la producción simple. La ecuación que define el sistema esrafiano en este tipo de producción es como sigue:

(1)

donde P es el vector de precios 1xn, Y la matriz diagonal de n productos finales nxn, r el tipo de ganancia, X la matriz nxn de nxn medios de producción, w la tasa de salarios y L el vector trabajo 1xn. Hemos subrayado lo de diagonal en la matriz de productos finales Y porque esa es la diferencia (única) entre la producción simple -en la que estamos- con respecto a la producción conjunta esrafiana. Y hay que subrayar también lo de esrafiana, porque esta es una producción conjunta muy simple. La ecuación matricial de (1) es (2):

Es a partir de la producción simple como construye Sraffa su mercancía-patrón y su razón-patrón. La razón de ello -valga la redundancia- es que se puede construir una economía en pequeño que tenga la propiedad de que los productos netos se encuentran en relación con sus medios de producción igual en todos los sectores de la economía. Hoy llamaríamos a esa mercancía-patrón muy probablemente mercancía virtual. Lo curioso es que esos multiplicadores se obtienen a partir de los datos reales mediante estos dos sistemas de ecuaciones:

(3)

(4)

donde u es un coeficiente, Y la matriz diagonal anterior, Q el vector de multiplicadores qj de dimensión nx1, y L el vector también anterior de trabajo. Desarrollado en sus términos, (3) queda:

(5)

La mercancía patrón es la ecuación (3). Entre (3) y (4) hay n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (n multiplicadores qj y el coeficiente u) Los multiplicadores se obtienen haciendo X=AY-1 y aplicando el teorema de Perron-Froebenius a (3). Para ello, la matriz A debe cumplir 3 requisitos: ha de ser cuadrada, irreductible y no negativa. Con ello se asegura una autovalor (que es u), que es el mayor de los posibles n multiplicadores de (3). Este multiplicador asegura, a su vez, que existen dos autovectores, uno por la izquierda (los precios pi) y otro por la derecha (los multiplicadores qj), que son todos estrictamente positivos (versión fuerte del teorema) . Si además A es productiva, es decir, si Ai >Ai+1, entonces el autovalor u es menor que 1 y con ello la razón-patrón, que es R=(1-u)/u, es mayor que cero.

2 - Producción conjunta esrafiana

¿Qué pasaría si la matriz de productos finales Y no fuera diagonal y fuera de producción conjunta, es decir, que pudiera tener un valor positivo en cualquier columna de cualquier fila? Porque esta es la versión esrafiana de la producción conjunta. En lugar de la ecuación (AIX.5) tendríamos:

(6)

Pero ahora Y no es diagonal y el cálculo de A=XY-1 no puede asegurar que todos los elementos de A sean positivos, y con ello no se cumple la condición de no negatividad de esta matriz, por lo que no se puede aplicar Perron-Froebenius. Al hacer cero la tasa de salarios en la ecuación que define el sistema, obtenemos una tasa máxima de ganancia, pero eso no nos asegura que sea esta tasa además la razón-patrón R que surge del coeficiente u de (5). Sraffa en el capítulo VIII se enzarza en una demostración de lógica económica -de acuerdo con su sistema- por reducción al absurdo, según la cual obtiene la existencia de esta razón-patrón y su unicidad. Veamos cómo se puede hacer los mismo desde el punto de vista matemático, es decir, desde el punto de vista lógico a partir de la lógica económica del italiano. Vamos a partir de una matriz de productos finales Y de producción conjunta, es decir, con todos sus elementos pudiendo ser (aunque no necesariamente todos) mayores que cero. Pero ahora la vamos a diagonalizar, agrupando todos los valores de Y por filas (son todos la misma mercancía, por lo que son sumables) y los resultados de la sumas los vamos a colocar en la diagonal principal de forma que:

(7)

Ello dará una matriz diagonal tal como:

(8)

Y ahora la matriz YD diagonalizada es una matriz de las mismas características que la de la reproducción simple, es decir, cuadrada, irreductible y no negativa (por hipótesis) en (7), por lo que se puede aplicar el teorema de Perron-Froebenius; ello es así porque nos hemos asegurado de que la matriz de requerimientos A=XYD-1 sea positiva al ser X estrictamente positiva, y al ser la inversa de la matriz diagonal YD positiva al ser sus elementos los inversos de la matriz diagonal YD. ¡Sraffa puede dormir tranquilo, que su mercancía-patrón y su razón-patrón son posibles para su producción conjunta! Ahora vamos a ver si es posible extenderla a otros tipos de producción conjunta. En todo caso, lo anterior no puede sustituir a la lectura del capítulo VIII del libro de Sraffa, pero sí ayudar a su comprensión y a la correcta deriva de sus conclusiones.

Sin embargo -y salvo que alguien demuestre lo contrario- esta producción conjunta es la única y la última que puede dar lugar a la mercancía-patrón y a la razón-patrón tan cara a Sraffa. Tiene esta producción conjunta al menos dos limitaciones importantes: 1) Los precios que aparecen multiplicando a los productos finales Y son los mismos que los que lo hacen con los medios X. Según esto, no hay creación neta de productos nuevos que obliguen a nuevos precios ni nuevos productos. Dicho de otra manera, en la producción conjunta esrafiana no puede haber productos no básicos; 2) El número de productos finales son cualitativamente iguales al número de medios. No hay productos nuevos, aunque los ya existentes como medios aumenten en cantidad como productos finales.

Plantea Sraffa en el capítulo VIII señala precisamente la posibilidad de que existan n razones-patrón en el caso de la producción conjunta (esrafiana) y emplea el método del recuento para elegir el menor valor de todos ellos. Lo que resulta sorprendente es entonces su afirmación de que, calculadas todas las posibilidades, la razón-patrón única que da lugar a un vector de precios positivos es el menor de todos los n valores de R calculados. Su demostración es por reducción al absurdo y con razonamientos económicos. Pero ello no es suficiente. Veamos porqué. En la ecuación (8) se ve el porqué. En efecto, la suma de los productos finales por cada mercancía de todos los sectores, es decir, puede ser colocada en cualquiera de las n columnas de la matriz de productos finales y, por tanto, dar lugar a n razones-patrón en la ecuación YQ=(1+R)XQ, porque Y será diferente en cada una de las n posibles posiciones de . Pero existe una posición -como hemos visto en (8)- para las distintas sumas, que es precisamente la de la diagonal principal, que convierte la producción conjunta esrafiana en una producción simple. Sabemos por Perron-Froebenius que existe un autovalor simple, real y positivo y que es el más alto de todos ellos que asegura dos cosas: 1) que la razón-patrón a que da lugar es la más baja posible de la solución del sistema YQ=(1+R)XQ; 2) que el vector de precios a que da lugar (autovector) es estrictamente positivo si la matriz A=XY-1 de requerimientos es irreducible. Con ello quedan desvelados los razonamientos -insustituibles, por otra parte- de Sraffa en este capítulo sobre la existencia y unicidad de la razón-patrón y mercancía-patrón para su producción conjunta. Decía que el razonamiento de Sraffa no es suficiente porque si no demuestra -y no lo hace- la posible transformación de la matriz Y de productos finales en una matriz diagonal susceptible de aplicar Perron-Froebenius, no puede deducirse la existencia y unicidad de la razón-patrón. Es de esperar que con lo anterior se haya completado formalmente el razonamiento económico de Sraffa.

3 - Producción conjunta con bienes básicos y no básicos

Vamos a intentar también en la producción conjunta, pero con separación de bienes básicos y no básicos, si se puede prorrogar a este caso la construcción de una mercancía-patrón y una razón como en la producción simple esrafiana. La ecuación que definiría un sistema así sería:

(9)

donde en (A13.9) la única novedad es el vector de precios PN de los bienes no básicos de dimensión 1xm y la matriz de bienes no básicos YN de dimensión mxn. Aquí parecería que andamos por el buen camino, porque si hacemos la tasa de salarios w=0 obtenemos:

(10)

En (A13.10) no tenemos el vector de rentas salariales wL porque los salarios los hemos hecho cero, por lo que ahora la tasa de ganancia se ha hecho la máxima gm. Si ahora añadimos las ecuaciones:

(11)

que es el primer numerario, siendo I el vector de unos nx1 y un segundo numerario como:

(12)

Con las 4 últimas ecuaciones sale la ya conocida:

(13)

La cuestión que se plantea ahora en la producción con diferenciación entre bienes básicos y no básicos es si la tasa máxima de ganancia gm coincidirá con la razón-patrón, si es que esta existe. Veamos. Para que exista tendríamos que encontrar un conjunto de precios PD y una matriz diagonal (o diagonizable) YD tal que cumpliera que:

(14)

Pero la ecuación (A13.14) es un imposible, porque las cantidades por filas de las matrices YN e Y son distintas cuantitativamente y cualitativamente. Además, no necesariamente son de la misma dimensión. En cuanto a los vectores de precios, les pasa lo mismo. En todo caso, si alguien consigue hacer el milagro de igualar el lado izquierdo de (14) con el derecho, habemus razón-patrón y mercancía-patrón para la producción conjunta con diferenciación entre bienes básicos y no básicos. Para este caso, Sraffa no encontró la solución. La razón económica es la de que tal y como se ha definido los productos básicos, estos han de entrar en el lado derecho e izquierdo en la ecuación que define el sistema económico. Eso no ocurre con los bienes no básicos, porque son productos finales pero nunca medios de producción. Y lo que ocurra con los precios en esta cuestión ocurrirá con los multiplicadores, porque estos son la solución por la derecha de la ecuación uYQ=AYQ junto con LI=1, mientras que los precios son la solución por la izquierda de uPY=PAY con LI=1 también. Según eso, si puede haber precios negativos ocurrirá lo mismo con los multiplicadores y viceversa: Perron-Froebenius dixit. Al llegar a la producción conjunta con diferenciación entre bienes básicos y no básicos, el sueño de Sraffa (al menos parte de el) se desvaneció. Sraffa entonces se lanza por lo que he llamado el método del recuento manual: se calculan los excedente netos relativos de todos los bienes y servicios i, es decir:

(15) para todo i = 1 a n

y se toma el menor de todos ellos. Con ello se asegura Sraffa que ningún sector va alcanzar al excedente de su propio sector por más que crezca la tasa de ganancia hasta llegar a su tasa máxima gm. El problema es que, salvo que se demuestre otra cosa, sólo aplicando Perron-Froebenius se puede asegurar un vector de precios positivos y de multiplicadores positivos, por lo que no tenemos mercancía-patrón; tampoco tenemos garantía de que la supuesta razón-patrón obtenida mediante el método manual de recuento coincida con la tasa máxima de ganancia gm. En los anexos III y IV se puede ver cómo el excedente de uno de los tres sectores del ejemplo vale cero (no hay excedente) y sin embargo existe una tasa de ganancia máxima calculada por el método de prueba y error con el criterio de la frontera entre el paso de los precios positivos a negativos. Sin embargo no todo está perdido. En un epígrafe posterior diremos algo más al respecto.

4 - Tasa máxima de ganancia y razón-patrón

El genial invento -¿o es descubrimiento?- de la mercancía-patrón y de la razón-patrón parecería, visto el libro de Sraffa, sólo es aplicable a la producción simple, es decir, al esquema de producción en el que cada sector produce un solo producto. Una situación así tiene la ventaja de que el esquema puede ser formalizado mediante la ecuación de definición del sistema PY=(1+R)PX, la cual es susceptible de aplicarse el teorema de Perron-Froebenius y obtener con ello un vector de precios no negativos y un autovalor que asegure una tasa de ganancia R positiva y única para todos los sectores. P es el vector de precios 1xn, Y la matriz diagonal de productos finales y X la matriz cuadrada de medios de producción, ambas de dimensiones nxn. Es necesaria la ayuda de la ecuación LQI=1 para obtener los multiplicadores a partir de la ecuación matricial uYQ=XQ, que está íntimamente relacionada con la de definición del sistema. L es el vector trabajo, Q el vector nx1 de multiplicadores y u un multiplicador escalar que es a la vez un autovalor. Además, con ello relacionamos el autovalor u con R mediante la ecuación u=1/(1+R) que surge de la aplicación del teorema. Así calculamos R. De esta manera, R será simultáneamente la tasa máxima de ganancia y la razón-patrón que buscaba Sraffa . Todo ello es posible, no obstante, porque Y es una matriz diagonal, es decir, que tiene todos los productos finales de las mercancías colocados en la diagonal principal: el resto de los elementos de la matriz son cero. Si estamos en la producción conjunta, es decir, en la producción donde en cada sector -y en cada empresa- produce más de un producto, la matriz de productos finales Y ya no es diagonal y la consecuencia funesta para el esquema esrafiano es que ahora no se puede aplicar Perron-Froebenius, con lo cual no podemos asegurar ni un vector de precios no negativos P, ni unos multiplicadores no negativos qj, ni que la tasa de ganancia máxima gm coincida con la razón-patrón R, suponiendo que la podamos calcular. Sin embargo, casi todo tiene solución. Sraffa la encuentra en el capítulo VIII de su libro eliminando “completamente mediante transformaciones lineales las mercancías no básicas del sistema, tanto del lado de los medios de producción como del lado de los productos” . En términos matemáticos eso equivale a realizar operaciones lineales de combinaciones de filas y columnas en la matriz de requerimientos A (A=XY-1) de dimensiones nxn, de tal forma que quede una matriz de cuadrada de rango igual al número de filas (=columnas). Con ello se puede calcular el determinante de uI-A y resolver el polinomio de grado n (número de filas o columnas). El teorema de Perron-Froebenius nos asegura una solución real, simple y positiva, como hemos visto. El problema es que para llegar a ello en la producción conjunta han de ocurrir dos cosas: 1) que la matriz A sea ya irreducible o reducible, aunque ninguna de las dos cosas la podemos asegurar de antemano; 2) que se parta del supuesto, como hace Sraffa, de que el número de bienes de productos finales sea el mismo que el de medios de producción, aunque esté repartido en n sectores de productos finales. Este es un supuesto muy restrictivo, pero Sraffa nunca salió de él porque se aferraba a sus queridos inventos -¿o son descubrimientos?-de la mercancía-patrón y de la razón-patrón. Y no es para menos.

Hemos visto que el caso de la producción conjunta esrafiana puede resolverse diagonalizando la matriz de productos finales mediante la ecuación Ys=YcD, obtenido como D=Ys-1Yc, que es equivalente a sumar todos los productos finales por columnas de la matriz de productos finales Yc en la producción conjunta y colocar estas sumas en la diagonal de la matriz Ys como en la producción simple según sectores. Así podemos transformar la producción conjunta esrafiana en un modelo de ecuaciones igual al de la producción simple. A Sraffa no se le ocurrió este sistema, pero su discusión sobre la razón-patrón mínima mediante reducción al absurdo es equivalente a lo anterior. Sraffa lo hizo así para no perder -y que no perdiera el lector- el hilo de su discusión económica y no meramente formal. La cuestión surge sobre qué pasa si los productos no-básicos aparecen diferenciados de los básicos formalmente en el modelo y si ambos no coinciden en el número de productos diferentes, cosa ya cercana a la realidad. ¿Tenemos entonces razón-patrón y mercancía-patrón o no? ¿Y si tenemos razón-patrón, es ésta igual a la tasa máxima de ganancia? ¿La podemos obtener de otra forma? Sraffa no pudo contestar a estas preguntas de manera formal, es decir, con alguna demostración. Empezaremos con alguna respuesta no satisfactoria. Para empezar, el método del recuento consistente en comparar todos los productos netos relativos (excedentes relativos) y tomar el menor de ellos, falla porque Perron-Froebenius nos da siempre un vector de precios no negativos y un autovalor positivo que da lugar a una razón-patrón que no tiene porqué coincidir con el menor valor del excedente relativo. He llamado excedente relativo de un sector a la ecuación:

(15)

Pues bien, esa solución es compatible con un sector cuyo excedente relativo es cero. Vamos a ver ahora que sí hay solución para modelos no esrafianos, pero desarrollados a partir de la semilla que nos dejó el genial italiano. Vamos hacerlo de la forma que tanto adolece el libro de Sraffa: planteando de entrada el sistema de ecuaciones con el que vamos a trabajar:

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

Como se verá, estas ecuaciones no están elegidas al azar, sino con mucho cálculo y muchos intentos. Son, creo, naturales, reflejan bien el espíritu esrafiano y son susceptibles de concretarse y acercarse a la realidad con una generalización de tasas de ganancia y de salarios, como luego veremos. La ecuación (16) es la de definición del sistema, donde PN es el vector de precios 1xm de productos no-básicos, YN es la matriz no cuadrada mxn de productos finales no básicos, P es el vector de precios 1xn de precios de productos básicos, Y la matriz cuadrada nxn de productos finales básicos, r la tasa de ganancia, X la matriz nxn de medios de producción, w la tasa de salarios, L el vector 1xn de inputs de trabajo y I es el vector de unos nx1. La ecuación (17) es el resultado de hacer cero la tasa de salarios w. Con ello obtenemos una ecuación cuya tasa de ganancia gm es la máxima posible manteniendo siempre el mismo excedente, es decir, PY-PX en términos monetarios. Hasta ahora nada nuevo bajo el sol de Sraffa. Una tasa de ganancia más alta que hiciera que Y<X para alguna mercancía en términos físicos no sería viable porque el sistema no se podría reproducir al ser menor para uno o varios bienes y servicios (mercancías) los productos finales que los medios de producción utilizados. Hay que recordar que estamos en un modelo de reproducción simple, aunque de producción conjunta, porque ni los precios ni los bienes (mercancías) están fechados, además de ser un modelo de equilibrio. Sigamos. La ecuación (18) es crucial en la demostración de lo que viene, porque es la misma que la de la producción simple, con R como presunta razón-patrón del subsistema de ecuaciones que representa esta ecuación matricial. Sobre esta ecuación hay que detenerse, lo mismo que sobre la siguiente, porque R surge independientemente de los precios por aplicación del teorema de Perron-Frobenius. Si R dependiera de los precios y/o de las tasas de ganancia y salarios no habría demostración y nada de lo que sigue tendría ningún valor. La (19) es el numerario esrafiano. Aquí cualquiera hubiera estado tentado de elegir un numerario del tipo PNYNI+PYI-PXI de la ecuación, es decir, del producto neto, incluidos los ingresos de los productos no-básicos PNYNI. Obrando así no hubiéramos llegado a la demostración. Estas consideraciones son decisivas en lo que viene. La (20) es el segundo numerario ya conocido y utilizado por Sraffa. De las ecuaciones (16) y (17) sale la ecuación:

(21)

El lector del libro de Sraffa debiera tener in mente esta ecuación y es lástima que Sraffa nunca la hiciera explícita. La (21) nos dice al menos dos cosas importantes: a) que los precios de los productos básicos P no dependen de los precios de los no-básicos PN; b) que si la tasa de ganancia general del sistema r se acercara (muy cerca) a la tasa máxima de ganancia, los precios crecerían exponencialmente. Secundariamente nos dice que los precios son proporcionales a los salarios y a los inputs de trabajo e inversamente proporcionales a la tasa máxima de ganancia y a los medios de producción. También es notable que para llegar a la tasa máxima de ganancia y a la razón-patrón no necesitemos resolver un sistema de ecuaciones, ni resolver la ecuación (21): tan sólo con despejar los precios en la ecuación (16) que define el sistema y aumentar la tasa de ganancia hasta llevar los precios al rubicón del más infinito al menos infinito. Obrando así obtenemos la razón-patrón y la tasa máxima de ganancia (que tienen el mismo valor sólo en ese momento).

De (18) y (19) se obtiene:

(22)

Sustituyendo los precios de (21) en (22) y con la (20) ya tenemos una ecuación sin precios, que además define la frontera entre salarios y ganancias:

(23)

donde los puntos de corte son g=gm para w=0 y w=gm/R si hacemos g=0. Seguimos. De las ecuaciones (16), (18), (19) y (20) se obtiene la singular ecuación:

(24)

Obsérvese que la (24) está muy cerca de la ecuación fundamental esrafiana r=(1-w)R/(1+r), es decir, de la ecuación de la razón-patrón para sistemas de pago pre-factum y no post-factum, como utiliza Sraffa. Las consecuencias son las mismas, sólo que el multiplicador (1+r) está afectando a la tasa de salarios w. Si eliminamos (1+r) en todas las ecuaciones resultantes, tenemos el sistema empleado por Sraffa, aunque él no llegara nunca a demostrar lo que sigue. Ahora estamos preparados para eliminar una variable entre las ecuaciones (23) y (24), dado que no son una combinación lineal o de otro tipo entre ambas. Ello es así porque en la (24) no se ha utilizado la (17) y, en cambio, sí se ha hecho en la (23) a través de la (21). El resultado es:

(25)

Y en la (25), a simple vista, se puede comprobar que para que la tasa de ganancia máxima gm sea igual a la razón-patrón R es suficiente que el lado izquierdo de la ecuación, es decir, la suma de los productos de precios y cantidades de productos finales de los bienes no-básicos PNYNI sea cero. O dicho de otro modo: la ecuación (25) nos asegura la condición suficiente de que la tasa máxima de ganancia sea igual a la única razón-patrón R si la suma de todos los productos finales de la matriz YN de bienes no básicos vale cero. En cambio, sí tenemos con ello probado lo que queríamos demostrar: que al menos en la producción simple o conjunta esrafiana (pero diagonalizada), la tasa máxima de ganancia y la razón-patrón tienen el mismo valor aún cuando sean conceptos distintos: la razón-patrón es el coeficiente común que permite pasar de la realidad a la mercancía-patrón con la ayuda de los multiplicadores; la tasa máxima de ganancia surge de hacer cero la tasa de salarios en la ecuación (16) que define el sistema. Lo anterior puede resumirse de la siguiente manera:

(26)

También se demuestra lo contrario: que si existen bienes no-básicos diferenciados de los básicos, la tasa de ganancia máxima es mayor que la razón-patrón:

(27)

Pero aquí no acaba la cosa, porque de (21) sabemos cómo calcular la tasa máxima de ganancia, tanto en la producción simple y en la conjunta esrafiana, pero con Y diagonalizada. Simplemente tenemos que obrar por el método de prueba y error sobre la tasa de ganancia r. Traemos a colación la ecuación:

(28)

En (28) vemos que si la tasa de ganancia r se acercara a la tasa máxima de ganancia gm, los precios tenderían -como ya hemos visto- a infinito primero, para pasar bruscamente a menos infinito. En esa situación y en el instante anterior de pasar a menos infinito ocurre que r=gm=R, con lo cual tenemos un método para calcular la razón-patrón sin necesidad de resolver el sistema uI-A=0 para los sistemas antes aludidos: dar valores a r (aumentándola) hasta pasar la frontera de los precios del más infinito al menos infinito. Veamos el resumen:

(29)

En los anexos se puede ver algunos ejemplos. Si en lugar de la ecuación se hubiera partido de la más típica de Sraffa:

(30)

el resultado hubiera sido que:

(31)

Y ahora la ecuación deducida que relacionara r, w y R sería:

(32)

en lugar de la (23), que sustituida en la (31) da igualmente la (25). Cambiaría sólo la (21) que sería ahora:

(33)

Aquí se obtienen las mismas conclusiones anteriores cuando r se acerca a gm, pero con unos valores ligeramente diferentes por el factor (1+r), que ahora no existe. Que el lector elija.

Generalización

El teorema puede ser generalizado a n tasas de ganancia mediante la matriz diagonal G y a n tasas de ganancia máxima mediante la matriz también diagonal Gm. Las ecuaciones respectivas serían:

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

No vamos a repetir el proceso anterior, pero de este conjunto de ecuaciones sale:

(39)

que desarrollada en términos aritméticos quedaría:

(40)

donde todos los wij, rij y gmij valen cero si i<>j. En (40), si el primer término de la ecuación es igual a cero, es decir, si vale cero la suma del producto del conjunto de precios por sus respectivos productos finales de bienes no-básicos, entonces la parte de la derecha de la suma sólo vale cero si se cumplen las dos condiciones siguientes: 1) que todas las tasas de ganancia máxima gmij sean iguales a la única razón-patrón R; 2) que estas tasas de ganancia máximas gmij sean mayores o iguales a la tasa de ganancia rij, pero con una al menos que sea mayor estrictamente.

Con este teorema -que yo sepa nunca demostrado antes- acotamos las posibilidades de utilizar la razón-patrón y de construir la mercancías-patrón tan cara a Sraffa. Podemos añadir que con bienes no-básicos no se ve la forma de construir una mercancía-patrón y una razón-patrón. Al menos desde este modelo o similares. Sin embargo, no por ello la semilla plantada por el italiano deja ni dejará de fructificar, al igual que la incoherente teoría del valor-trabajo de Marx es sostenible más allá de la teoría de la explotación. Ambos sembraron, pero sus críticos constructivos deben seguir su tarea, por encima de los que quieren destruir sus obras o la de los meros apologistas que quieren perpetuarla con sus defectos y limitaciones. Ambos grupos no interesan al conocimiento que se reputa como científico o que, al menos, lo intenta.