Capítulos VII, VIII y IX: Producción conjunta

Incluso hoy día el estudio de la producción conjunta en la universidad, por increíble que parezca, es una excepción más que una regla. Y digo increíble porque es difícil encontrar un sector, una empresa, un comercio donde sólo se produzca un bien o servicio final (una mercancía en lenguaje de Sraffa). En la fecha de publicación fue una novedad y mucho más cuando el economista italiano hizo sus primeras elucubraciones sobre el tema. La razón de que no se estudie de la producción conjunta en los modelos marginalistas es que ahí ya no resulta tan fácil asignar productividades marginales de cada factor a cada bien final porque estos últimos son una pluralidad; tampoco ya es tan fácil encontrar soluciones de equilibrio por la simple razón de que -según como se plantee la producción conjunta- podemos tener más incógnitas que ecuaciones. Es esta una de las preocupaciones de Sraffa al abordar la producción conjunta; la otra gran preocupación es la dificultad en este tipo de producción de encontrar una razón-patrón porque, aquí -aunque Sraffa no lo menciona explícitamente-, no se puede aplicar el teorema de Perron-Froebenius y con ello asegurar esa razón antes de trabajar con la/s ecuaciones que definen el sistema. Ahora la posible razón-patrón sólo puede ser obtenida de estas dos formas: o por ordenación de mayor a menor de la producción neta relativa de cada producto (mercancía) y tomando la menor; o conjuntamente con la obtención de precios, salarios y ganancias. Ambas formas o sistemas tienen problemas. La obtención de la razón-patrón por ordenación tiene el problema de que el número de bienes cualitativamente distintos tienen que se igual en los productos finales que en los medios de producción para tener sólo tantos precios como mercancía (sea como medios o como productos) y que el sistema sea soluble matemáticamente. La obtención de la razón-patrón conjuntamente con precios, salarios y ganancias tiene afectado el último problema señalado por el otro método: que no podemos asegurar igual número de ecuaciones que de incógnitas (numerario excluido). Y en ambos un problema común: no se puede asegurar que esa supuesta razón-patrón obtenida de cualquiera de las dos formas de un conjunto de precios todos positivos (o al menos no negativos) porque eso sólo lo asegura Perron-Froebenius, que aquí no se puede aplicar.

Otro problema, pero esta vez buscado por Sraffa, es su distinción entre bienes básicos y no básicos. Conceptualmente se deriva de los economistas clásicos en su distinción entre bienes de primera necesidad y bienes de lujo. Con ello querían distinguir los bienes que son necesarios par el trabajo (productivo) de aquellos que no lo son. Los primeros deberían influir en todos los precios, es decir, en ellos mismos y en los de lujo, mientras que la producción de estos últimos no debiera influir en los primeros. La de ello es que los de lujo no se usaban como medio de producción ni para sí mismos ni para los demás. En principio era una distinción más sociológica que formal, pero que poco a poco ha ido derivando en lo formal, siendo Sraffa la culminación de ese despojo de sentido social primitivo de la distinción entre un tipo de bienes y otros. En Marx, claro está, es fundamental cuando entra en temas como la reproducción simple. En un principio Sraffa da una definición de bienes básicos diciendo que: “El criterio (de distinción) consiste en si una mercancía entra directa o indirectamente en la producción de todas las mercancías. Las que lo hacen serán denominadas básicas, y las que no lo hacen serán denominadas productos no básicos” . Así separa Sraffa ambos tipos de productos de forma muy temprana, allá por el capítulo II cuando trata de la producción con excedente. Más tarde -y no me refiero a la paginación del libro- se dio cuenta de que esa distinción, o no era correcta o no era suficientemente significativa, porque había casos dignos de estudio que quedaban dentro de los no básicos. Lo que hizo Sraffa es cambiar de criterio como luego veremos. Al final tiene que ver con la matriz A de requerimientos y la división en posibles submatrices, cada una con diferentes posibilidades. No obstante, en lo que sigue, trataremos de separar ambos conceptos: producción conjunta y distinción entre bienes básicos y no básicos. Algunos autores han defendido lo innecesario de hacer el último distingo.

Entramos ya en harina advirtiendo que el esquema de producción conjunta de Sraffa, con serlo, es un caso muy particular de producción conjunta, porque el economista italiano va a trabajar con procesos -y aquí la idea de empresa se difumina y se abre al sector porque ya son varias las empresas que pueden producir la misma mercancía- en las que el número cualitativo de bienes producidos en la producción conjunta es el mismo que el de medios empleados, independientemente de si es una empresa que produce varios productos o son variadas empresas la que producen un mismo producto. Claro está que la producción conjunta es típica del primer caso. Oigamos a Sraffa como lo explica: “Supondremos ahora que dos de las mercancías son producidas conjuntamente por una sola industria (o mejor, por un sólo proceso, pues esta denominación resulta más apropiada en el presente contexto)”. En cuanto a la necesidad de la igualdad de mercancías que procesos lo dice explícitamente porque de lo contrario: “habría más precios a determinar que procesos y, por tanto, habría más precios a determinar que ecuaciones para determinarlos”. Aquí Sraffa se pliega a las matemáticas dejando la semilla de este tipo de producción un poco seca. A pesar de todo da para mucho y se puede ampliar sin caer en un mero empirismo. La ecuación que define el sistema de producción conjunta sraffiana es como sigue:

(44)

Aparentemente nada nuevo con respecto a la producción simple. La sola diferencia -claro, que cualitativamente muy importante- es que ahora la matriz Y de productos finales no es una matriz diagonal con ceros en los elementos de la matriz que no sea la diagonal principal, sino que ahora todos sus elementos pueden tener un valor mayor que cero (aunque algunos puedan ser cero). Ya hemos explicado que el problema ahora es que no podemos obtener la razón-patrón conjuntamente con los multiplicadores mediante el sistema de n+1 ecuaciones uYQ=XQ e LI=1 utilizando Perron-Froebenius, sino que tenemos sólo los dos procedimientos mencionados en esa especie de introducción que hemos hechos a este capítulo, por lo que ahora lo omito. Antes de seguir, vamos a sacar el jugo a (44). De esta ecuación, si hacemos cero la tasa de salario w queda:

(45)

En (45) hemos sustituido la razón-patrón R de la producción simple por Gm como tasa máxima de ganancia, porque ahora no tenemos una razón-patrón o, al menos, no la tenemos echando mano de nuestra pareja P-F. Entre (44) y (45) obtenemos a su vez (46):

(46)

donde, como siempre, los precios aumentan con el aumento de la tasa de salarios w, la tasa de ganancia r, y disminuyen al aumentar la tasa máxima de ganancia gm y el vector de la relación capital/trabajo LX-1. Además los precios aumentarán exponencialmente si al aumentar r, esta tasa está ya muy cerca de la tasa máxima posible gm.

Vamos ahora a establecer el mismo sistema de ecuaciones esrafiana que teníamos en la producción simple:

(47)

(48)

(49)

(50)

Resolviendo este conjunto de ecuaciones sale, como cabía esperar, la ecuación que relaciona w, r y gm:

(51)

La diferencia respecto a la reproducción simple, es que aquí no tenemos la razón-patrón R calculada aparte con uYQ=XQ e LI=1 (teniendo en cuenta la relación R=(1-u)/u) porque no estamos en la reproducción simple debido a que la matriz de productos finales Y no es una matriz diagonal. Con ello no se puede asegurar que algunos de los n precios no sean negativos. Es verdad que le queda a Sraffa una forma un último recurso de obtener lo que el sigue llamando reiteradamente razón-patrón como el que “corresponde al mínimo valor posible de R” . En definitiva, lo que hemos llamado el método manual de ordenación de los productos netos relativos o excedentes relativos de todas las mercancías. Ello tendrá siempre la ventaja de que, conocido ese menor excedente relativo, sabremos que la tasa máxima de ganancia gm tiene que ser menor que el excedente así calculado. Con ello quedará un margen para que la tasa de salarios w sea positiva. Añade Sraffa que también esa razón-patrón así elegida es “el único producto patrón en términos del cual es posible que el precio de las mercancías sean finitos para todos los valores del salario desde 1 a 0” . Y Sraffa tiene razón viendo la ecuación (46), donde mientras la tasa de ganancia r sea menor que la tasa máxima de ganancia gm, los precios serán positivos en este modelo de producción conjunta. Todo ello es cierto, pero lo que no lo es -mientras alguien no demuestre lo contrario- es que gm sea una medida del valor del excedente invariante a los precios. En la reproducción simple estábamos seguro de ello porque se obtenía de las supuestas propiedades de la matriz A de requerimientos, matriz que surgía de los valores físicos de los medios de producción X y productos finales Y (A=XY-1), tomando como numerario LQ con LQ=1 y aplicando Perron-Froebenius. Ahora no es el caso, porque gm surge de hacer cero los salarios en la ecuación (47) que define el sistema, donde están los precios. Es verdad que también R surgía de la misma manera, pero tenía además la propiedad de estar relacionado con el autovalor mayor u de A mediante R=(1-u)/u. En cambio, gm no tiene esa propiedad. Y si empleamos el método de ordenación de mayor a menor -que emplea Sraffa como hemos visto-, eligiendo el menor valor de los productos netos relativos o excedentes relativos, eso no nos garantiza que esa relación sea la misma que la tasa máxima de ganancia gm surgida de hacer cero los salarios antes comentada; tampoco que asegure un vector de precios positivos.

Otra forma de ver lo anterior es despejando los precios en la ecuación (47) que define el sistema y que da (52):

(52)

Aparentemente es la misma ecuación que surgía de despejar los precios en la producción simple, pero hay una diferencia que resulta decisiva en la producción conjunta: la matriz Y de productos finales no es diagonal y cabe que algunas de las mercancías sean producidas por una misma empresa. En la reproducción simple, todos los elementos de la inversa de los productos finales Y eran positivos porque lo son los valores de Y; en la producción conjunta puede ocurrir -y matemáticamente ocurre- que algunos de sus elementos sean negativos (los inversos de Y). Con ello, y a pesar de que la inversa de la expresión entre corchetes de la ecuación (52) sea positiva (porque la tasa de ganancia r no supera el valor menor del excedente neto relativo del conjunto de las mercancías), algunos de los precios pueden ser negativos porque lo sean los valores de la inversa de Y en el caso de la producción conjunta que, como hemos comentado, todos sus elementos pueden tener algún valor. La explicación de este hecho es que ahora, a diferencia de la producción simple, no podemos hacer corresponder los n sectores a una sola mercancía, sino a varias, y lo que antes podíamos decir de una mercancía final en Y ahora lo tenemos que decir de la suma. Ello lleva a que algunos de los elementos de A=XY-1 puedan ser negativos y simultáneamente el resultado de la suma (filas) de A sean positivos. Damos las dos matrices de Y según ambos tipos de producción:

(53) producción simple

(54) producción conjunta

Visto las dificultades de encontrar una razón-patrón en la producción conjunta con las mismas propiedades que la encontrada en la producción simple, Sraffa recurre a su distinción que procede del capítulo II de su libro entre bienes básicos y no básicos, sólo que ahora esa diferenciación no resulta válida ahora. Recordemos que Sraffa decía en ese capítulo que bienes básicos eran aquello que entraban en la producción en todos los demás bienes (incluido, supuestamente, el mismo) y los que no cumplían esta condición eran productos no básicos. Sin embargo, cuando llevó esa distinción de blanco o negro entre uno y otro tipo de bienes se dio cuenta -o le advirtieron desde un punto de vista matemático- de que debía ampliar el criterio. Incluso tuvo que recurrir a un apéndice para advertir del caso de bienes no básicos con auto-reemplazamiento . La razón de este cambio de criterio -o de ampliación- es porque no quería renunciar a uno de los objetivos de su libro y de su vida: buscar una mercancía-patrón y una razón-patrón invariante al movimiento de los precios y solucionar el problema que no solucionó David Ricardo y mal solucionó Carlos Marx. Recordemos que una matriz A que fuera cuadrada, no negativa e irreductible tiene -por el teorema de Perron-Froebenius- un autovalor simple, real y positivo que lleva asociado dos autovectores (uno por la derecha y otro por la izquierda) con todos sus elementos positivos. Con esto, en la reproducción simple obteníamos la razón-patrón R y los precios P (autovector por la izquierda) y/o los multiplicadores Q (autovector por la derecha) todos positivos. En la producción conjunta no podemos si aceptamos todas las ecuaciones de origen del sistema A=XY-1 por lo comentado en el punto y aparte anterior. Ahora bien, si logramos desgajar de A una submatriz que cumpla los requisitos del teorema de Perron-Froebenius, habremos alcanzado éxito en la búsqueda de la razón-patrón, aunque ya no tengamos todas las ecuaciones originales si podemos, como dice Sraffa “eliminar completamente mediante transformaciones lineales las mercancías no básicas del sistema, tanto del lado de los medios de producción como de los productos” . Matemáticamente significa, primero, que cabe siempre la posibilidad de que, a partir de una matriz Anxn, puede ser reducida a un conjunto de submatrices de la forma:

(55)

donde las submatrices An-k,n-k y An,n son cuadradas. Si ahora, por los ceros que pueda haber en filas y columnas, se pueden intercambiar estas de tal modo que la submatriz An,n-k valga cero, entonces se habrá reducido la matriz A. El problema es que esto no es siempre posible. Sraffa cree que lo es si “en un sistema de n procesos productivos y n mercancías, decimos que una mercancía o, en general, un grupo de k mercancías relacionadas son no básicas si de las n filas no más de k filas son independientes, siendo las otras combinaciones lineales de éstas” . Dicho de otra manera, si intercambiando filas o columnas en la matriz An,n original, conseguimos que An,n-k=0 y que el rango de la matriz An-k,n-k valga n-k, es decir, que todas ecuaciones de la matriz An-k,n-k = (Xn-k,n - Y-1n-k,n-k) sean linealmente independientes y con sus elementos no negativos (ya es cuadrada la submatriz por hipótesis). En este estas condiciones se puede aplicar la versión débil del teorema Perron-Froebenius y habemus mercancía-patrón y razón-patrón positiva menor que 1 (esto último sólo si además An-k,n-k es productiva), aunque sólo sea para An-k,n-k. Ahora, y como hace Sraffa, llamamos bienes básicos a los que entran en esa submatriz y eso nos asegura un vector Pn-k de precios no negativos y también un vector por la derecha An-k,n-k de Qn-k de n-k multiplicadores no negativos para componer la mercancía patrón. El problema es que nada garantiza que, partiendo de la realidad, podamos reducir la matriz original A a un conjunto de submatrices con las características enunciadas. El coste que Sraffa ha pagado por esta redefinición y distinción entre bienes básicos y no básicos es, como el mismo Sraffa hace, si “cabe preguntarse si ha conservado algún contenido económico” . El problema es que el economista italiano no podía elegir si quería ser riguroso y, afortunadamente, eligió el rigor, aunque por lo que hemos visto, con un exceso de optimismo. Aún así, la distinción sigue teniendo sentido económico.

Bienes básicos y no básicos.

Sraffa, a medida que maduraba su obra, se dio cuenta, como queda dicho, que no podía mantener la distinción entre bienes básicos tal y como la había dejado en el capítulo II y ahora, en este capítulo, habla de 3 tipos : 1) El sector de bienes básicos señalado, que viene caracterizado matemáticamente por la submatriz de requerimientos An-k,n-k de bienes básicos que se venden y compran entre sí de tal manera que constituyen una economía capaz de entrar en el modelo sraffiano de la producción conjunta y calcular la mercancía-patrón, la razón-patrón, la tasa de ganancia, la tasa de salarios y los precios (no necesariamente todos positivos) por sí solos, sin necesidad de saber qué pasa con los sectores y mercancías del resto; 2) Este segundo grupo está constituido a su vez por dos: un conjunto de sectores An,n-k que se compran y se venden entre ellos y venden (pero no compran) a los del grupo An,n. Por hipótesis, esta submatriz An,n-k valdría cero. El grupo An,n que, en cambio, sí compra del resto del sistema (las columnas que están por encima y que se corresponden con la submatriz An-k,n tienen valores positivos, aunque no necesariamente todos), pero sólo se venden entre ellos. Por tanto, este grupo An,n, que se corresponde con la nueva visión sraffiana de bienes no básicos, sí depende del resto del sistema para calcular sus precios de producción. Además, si existe una sola tasa de ganancia y una sola de tasa salarios, este sector debe aceptar los calculados por los del grupo primero de bienes básicos. Dicho de otra manera, ha perdido la libertad de fijar o influir en las variables monetarias del sistema; 3) El grupo constituido por la submatriz An-k,n compra a los sectores del grupo de bienes básicos, pero no les vende a ninguno y, en cambio, si venden a los del grupo de no básicos An,n. Además, al no ser la submatriz An-k,n cuadrada, no tienen ninguna opción de tener una razón-patrón y una mercancía-patrón propias, y debe aceptar también la tasa de salarios, de ganancias y precios impuestos por los del grupo de básicos An-k,n-k . Como siempre ocurre, al no hacer explícitos Sraffa los desarrollos formales -matemáticos- en los que se basa sus disquisiciones económicas, éstas se hacen difíciles de seguir y también de asentar los supuestos que encierran. Más tarde veremos con ecuaciones estos temas.

Existe una posibilidad de que la submatriz An-k,n fuera cero. Eso supondría, desde el punto de vista económico, que los sectores del grupo An,n no compraran a los sectores del grupo anterior (las columnas que quedarían por encima valdrían cero en este supuesto); además, y dado que ya no vendían a ningún sector (hemos partido de que An,n-k vale cero), eso significa que los sectores del grupo An,n son un grupo independiente del resto de la economía (no conectado) que sólo compran y venden entre sí. Si los sectores de la matriz An,n, que es cuadrada, cumplieran las condiciones de Perron-Froebenius, podrían calcular sus propios precios, tasas de ganancia, salarios, etc., al igual que lo han hecho los sectores del primer grupo. Se trataría de una economía aparte, equivalente en el mundo real a una economía que no comerciara con el resto del mundo. Sraffa lo analice en el apéndice B de su libro y nosotros también lo haremos más tarde.

Generalizaciones I.

Visto con perspectiva, el empecinamiento de Sraffa en mantener igual el numero de diferentes tipos de mercancías para los productos finales que para los medios ha resultado inútil. El modelo de Sraffa admite muchas generalizaciones. Una viene dada por la ecuación que sigue:

(56)

donde la matriz Y de productos finales ya no es cuadrada, sino que tiene más mercancías distintas que la matriz de medios de producción X (es decir, m>n). También aquí se ha perdido que los precios -en general- de los productos finales Py sean los mismos que los de medios de producción P. Si ahora quisiéramos obtener directamente los precios de los productos finales Py podríamos hacerlo mediante:

(57)

Más aún, como siempre podemos obtener la ecuación que relaciona los precios de los medios de producción P con el resto de las variables (excepto con los precios de los productos finales Py) haciendo cero la tasa de salarios. Con esto sale (58) que ya hemos visto en otros apartados:

(58)

Y si ahora sustituimos los precios de (58) en los de (57) queda:

(59)

cuyos precios de productos finales Py ya no dependen directamente de los precios de los medios de producción P, pero sí de la tasa máxima de ganancia gm. Tanto en (58) como en (59), si la tasa de ganancia r se acerca mucho a la tasa máxima de ganancia gm, los precios crecen exponencialmente. Otra característica común es que los precios pueden ser negativos por los valores de las inversas que aparecen en ambos sistema de ecuaciones. Sraffa diría que serán las empresas o los empresarios los que rechazarían aquellos métodos de producción (Y,X,L) que dieran tal resultado. Es una opción aceptable como criterio económico y además puede explicar las empresas (mejor sectores) que darían pérdidas si no fuera por las subvenciones (en algunos casos la minería).

Generalizaciones II.

Todavía se puede generalizar aún más este modelo de producción conjunta ya no esrafiana, si tomamos n tasas de salario wij, n tasas de ganancia gij. Si además calculamos las ganancias como un porcentaje de todos los costes (incluidos los laborales). La ecuación generalizada queda:

(60)

con W y G como matrices diagonales. Si hacemos ahora cero a los salarios queda la ecuación:

(61)

con Gm como matriz diagonal de tasas de ganancia máximas e Id como vector de uno nx1. Si ahora eliminamos términos comunes entre la (60) y la (61), obtenemos:

(62)

A su vez, entre la (61) y la (62) sale la ecuación de los precios de los productos finales dependiente de las tasas máximas de ganancia Gm:

(63)

La ecuación (63) merece un comentario sobre el uso de las matemáticas. En apariencia, en esta ecuación los precios de los productos finales Py no dependen de los precios de los medios de producción, cosa que ocurriría si despejáramos los productos finales en la ecuación (60) que define el sistema en este modelo de producción conjunta generalizada no sraffiana pero sin diferenciación entre productos básicos y no básicos. No obstante, eso es sólo la apariencia, porque Py depende de las tasas máximas de ganancia Gm, y estas dependen de los precios en (61), salvo que la sustituyamos por el método sraffiano de obtener la razón-patrón mediante la ordenación de los excedente netos relativos de todos los sectores y la elección del más bajo. No obstante, eso no garantiza que ese menor excedente neto relativo coincida con Gm, aunque pueda estar muy cerca. Todo esto ya lo hemos visto anteriormente. Las matemáticas, en este caso, son como siempre exactas, pero por sí solas no profundizan en la realidad que miden, cuenta o relacionan, sino que establecen relaciones lógicas entre entes que pretenden reflejar algo de la realidad (o a veces nada de la realidad, sino entes abstractos).

Generalizaciones III.

Otro modelo matemático de economía que ahora distinguiera de entrada entre productos básicos y no básicos sería el expresado por la ecuación:

(64)

Los productos finales no básicos está dado por la matriz YN y PN son sus precios. Ahora la dimensión de YN es mxn, es decir, el número de bienes no básicos no tiene porqué coincidir con los básicos. El supuesto de que m=n, es decir, que sea el mismo el número de bienes cualitativamente distintos en los medios que en los productos finales - caro a Sraffa- no puede ser mantenido si se quiere dotar de realismo el modelo de producción conjunto. Con el nuevo supuesto tenemos dos vectores de precios, uno para los básicos y otros para los no básicos, que es lo indicado -insistimos- en aras del realismo. De (64) se pueden despejar los precios PN de los no básicos y queda:

(65)

En (65) se ve que los precios de los bienes no básicos PN dependen de los básicos , pero no al revés. Es verdad que matemáticamente podríamos haber dejado como variable dependiente los precios de los básicos, pero el sentido económico de la discusión que llevamos, siguiendo la guía inestimable del maestro italiano haría que tal verdad sólo matemática no tuviera sentido económico. De todas formas, poco nos dice en esta ocasión (65) de los precios de los no básicos porque, a diferencia de anteriores posibles modelos de producción conjunta que hemos visto, estamos jugando ahora con dos vectores de precios distintos. Obtenemos ahora una nueva ecuación haciendo como siempre cero la matriz de salarios W:

(66)

Y entre (64) y (66) sale como siempre:

(67)

donde nos hacemos con los precios de los básicos y donde, como siempre, para que los precios no aumenten exponencialmente, es condición necesaria que las tasas de ganancia G no se acerquen a las tasas de ganancia máximas Gm. Si ahora sustituimos los precios de (67) en (65) queda:

(68)

Es verdad que ahora los precios PN de los no básicos no aparecen como dependiendo de los precios de los básicos, pero ya hemos comentado que eso es pura apariencia. En (68) hay un aspecto que tiene interés y que Sraffa no aborda por la enorme dificultad de tratarlo sin el modelo matemático a la vista. Podemos enunciarlo así: una condición necesaria (no suficiente) para que los precios PN de los productos no básicos sean positivos es que no todos los elementos de Id+Gm-X-1Y sean negativos. Aunque no se deduce formalmente de (68) también sería muy conveniente para que los precios fueran positivos (o al menos la mayor parte de ellos) que se cumpliera que:

(69)

Aunque sea con un criterio ad hoc y si perseguir la razón-patrón de Sraffa para la producción conjunta, (6) podría valer como aproximación empírica a las tasas máximas de ganancia (por bienes y servicios, puesto que sólo tiene sentido su suma por filas) en un modelo de planificación que tuviera en cuenta estas 3 variables: estas tasas máximas de ganancia Gm, las tasas de ganancia por sectores G y los salarios W que se desprenden de, por ejemplo, (68). Con todo esto se puede calcular la ecuación de la frontera de salario-ganancia. Eso se puede hacer en cualquier modelo sraffiano tomando como numerario bien PY o PX (según los casos). Sin embargo, este hecho es novedoso y ajeno a Sraffa y la literatura al respecto, por lo que no lo trataré en un trabajo que sólo pretende desentrañar lo que dijo el italiano, someterlo a crítica y dar alguna generalización de su limitado esquema económico.

Frontera salario-ganancia.

Lo que sí debemos tratar en este capítulo, aunque sea limitadamente, es la frontera salario-ganancia antes comentada porque Sraffa lo hace en su libro . Habla de la “posibilidad de que el precio de un producto pueda descender más de prisa que el salario”. Más tarde -y esto tiene interés para la historia de la teoría del capital- habla de la posibilidad de que “la línea del salario y la línea del precio de la (una) mercancía tengan más de un punto de intersección a medida de que el tipo de beneficios varíe”. Sraffa, como casi siempre, no especifica el modelo (las ecuaciones) que le lleva a esas conclusiones. Tengamos presente que estamos en la producción conjunta y lo que afirma -y en el resto del texto- debe producirse ese contexto y no en la producción simple. Veamos como esto es posible.

(70)

La matriz Y de (70) es de producción conjunta, es decir, con posibles valores positivos en todos sus elementos nxn. Si ahora tomamos un primer numerario LI=1 como es habitual y un segundo numerario PYI-PXI=1, que es el mismo que toma Sraffa para llegar a la ecuación (81). Despejamos ahora la tasa de salario w de (70) y queda:

(80)

Sraffa compara esta ecuación con la de la razón-patrón:

(81)

La ecuación (81) es una recta en el cuadrante w-r con puntos de corte en w(r=0)=1 y en r(w=0)=R. Si estuviéramos en la reproducción simple, el teorema de Perron-Froebenius nos aseguraría que el autovalor máximo de A que es u y que mantiene con la razón-patrón R la relación u=1/(1+R) es una función creciente de A si esta matriz es cuadrada, no negativa e irreducible, y mientras r<R. Con ello la función (80) es una función cóncava y decrecientemente decreciente. Eso no impediría que tuviera dos puntos de corte, porque toda función así puede tener a lo sumo dos puntos de corte respecto a una recta. Con ello se cumpliría literalmente lo que dice Sraffa en su libro. Pero no es esa la intención, porque estamos en la producción conjunta. Además, el dibujo que acompaña al texto tiene tres puntos de corte de la supuesta función (80) con la (81). Pues bien, si estamos en la producción conjunta -que es, creo, lo acertado en la interpretación de lo que dice Sraffa- lo que cambia es la matriz A de requerimientos. Esta matriz procede de A=XY-1 e Y es, en este caso, una matriz no diagonal, es decir, con posibles valores positivos en todos sus elementos, por lo que su inversa puede presentar valores negativos; todo lo contrario que cuando estábamos en la producción simple, en la que Y era una matriz diagonal y su inversa tiene todos sus elementos positivos (damos por hecho que Y es no negativa porque los productos finales pueden ser existir o no, pero no pueden ser negativos ). Con la posibilidad de elementos de A negativos, la función (80) puede tomar cualquier valor sin que podamos atenernos a criterio alguno sobre la monotonía de la función. Hay que observar que para que haya 3 puntos de corte de una curva en una recta debe cambiar la función de convexidad al menos una vez. ¿Tiene razón entonces Sraffa? Mi respuesta es que no, al menos tal como lo cuenta, porque si cambia alguno (o varios) elementos de A en la función (80), lo que se produce es un desplazamiento de la curva salario-ganancia y no un deslizamiento por la curva que une estas dos variables. Ya veremos que Sraffa comete este mismo error en el capítulo sobre la elección de las técnicas. No es que ande Sraffa totalmente errado, sino que confunde el deslizamiento con el desplazamiento, cosa probablemente debida a que no tenía la ecuación a la vista cuando formuló el problema o porque no tenía claro esa diferenciación. En cualquier caso, si nos vamos a una geometría de 3 variables con w, r y A, Sraffa está en lo cierto. No es una cuestión meramente matemática, sino que afecta a la crítica de la teoría del capital.

Gráfico extraído del libro de Sraffa

(publicado en Oikos-Tau)

Aprovechando las cuestión de la posibilidad de que la línea del precio-ganancia obtenida a partir de la ecuación que define el sistema con la ecuación del salario ganancia en términos de razón-patrón que hemos visto antes, vamos a plantear por primera vez -pero no será la última- la cuestión de la función de la frontera salario-ganancia surgida de la producción simple o conjunta cuando corta a la línea recta que relaciona a la tasa de salario con la de ganancia a través de la razón-patrón. Eso tiene enorme interés en la teoría del capital y en la discusión sobre si es posible las construcción de una función neoclásica del capital que tenga las propiedades que le atribuye la teoría de la productividad marginal, en definitiva, del marginalismo. Intelectualmente el tema ya se ha saldado hace tiempo con la derrota de neoclásicos y marginalistas y hasta el mismo Samuelson tuvo que inventarse una parábola al modo de los Nuevos Testamentos de los católicos. Aún así, también se demostró errores e incoherencias por Pasinetti, Garegnani, Nuti, etc. Yendo al caso que nos ocupa, partimos de 2 ecuaciones:

(80)

(81)

Traemos aquí a colación la ecuación (80) que surge de la ecuación (70) que define el sistema y en la que hemos despejado la tasa de salarios w. La (81) es la ecuación de la razón-patrón que, aunque sea casi una prevaricación en un contexto esrafiano, podríamos llamarla ecuación del capital, porque relaciona la tasa de ganancia r con la razón-patrón R que, entre otras cosas que ya hemos visto, es una medida del capital esrafiano, porque mide la relación que hay entre producto final Y y medios de producción X. Quizá por eso la metáfora con el dios Jano de las dos caras se queda corta. Y aprovechando esta digresión, que me perdone Sraffa, esté donde esté, por unir la palabra capital a su nombre. Ambas ecuaciones deberían responder a la cuestión planteada por él sobre la posibilidad de que haya más de un punto de corte. La parte que hay entre corchetes de (80) es una función crecientemente creciente siempre que la tasa de ganancia r sea menor que la razón-patrón R. La inversa de ello es por tanto una función decreciente. La función (80) puede desarrollarse como:

(84)

Al eliminar los salarios w entre la (84) y la (81) queda:

(85)

La ecuación (85) representa ¡todos los puntos de corte entre las ecuaciones (80) y (81)!, puesto que se ha obtenido eliminado la tasa de salarios w entre. Es una función implícita, por lo que no podemos despejar r, pero nos conformamos con saber que es posible el corte, aunque no es seguro. La cuestión que se plantea es si es posible más de un punto de corte . La (85) es en realidad el cociente de dos funciones polinómicas de grado n-1 en r (tantos grados posibles como el exponente más alto de (1+r)), lo que lleva a la posibilidad de n-1 puntos de corte entre reales, repetidos y complejos. Sraffa llegó a ello con razonamientos puramente económicos, o al menos no hizo explícitos los aspectos formales en su libro. ¡Vista la ecuación (84) y su posible desarrollo polinómico qué simples y desacertados resultan los planteamientos que recogió Harcourt nueve años después de publicarse la obra de Sraffa en un artículo! En menos de una década todo lo neoclásico en la teoría del capital quedó arrumbado intelectualmente, aunque se siga explicando en las universidades. Y lo que resulta significativo es con qué supuestos tan racionales y cercanos a la realidad lo consiguió Sraffa. En realidad sólo con dos cosas, una por acción y otras por omisión: por acción, simplemente con tener en cuenta las relaciones intersectoriales; por omisión, con olvidarse de supuestas productividades marginales.

Vemos que en esta discusión que hemos intentado desvelar en torno a la frontera salario-ganancia, Sraffa comete dos errores: confunde deslizamiento de una función con desplazamiento y compara la producción simple con la conjunta sin tener la precaución de tomar el mismo numerario en ambos tipos de producción. A pesar de todo ello no anula las conclusiones del italiano y la crítica de él y de los que le siguieron a la teoría neoclásica y marginalista del capital.

Pero todo esto se quedaría en aparentes juegos matemáticos si no viéramos su interpretación económica. En esta parte me aparto algo de la explicación de Sraffa, aunque en esencia es la misma si se lee el capítulo IX de su obra. Cuando estábamos en la producción simple teníamos una ecuación lineal (80) que relacionaba tasa de salarios w con tasa de ganancia a través de la mercancía-patrón R; en la producción conjunta cambia todo, porque la matriz de productos finales no tiene adjudicada toda la producción de una mercancía a un sector (matriz diagonal Y), sino que tiene asignado el conjunto de todos los medios de producción de la misma mercancía (homogéneos) a un conjunto a su vez de n productos finales por cada sector, es decir, a nxn productos finales. El resultado es que, aún cuando la suma de los productos finales de cada mercancía (suma de Y por columnas) fuera igual en la reproducción simple que el correspondiente sumando (solo uno) en la producción simple, ocurre que cada sumando de Y (de la suma por columnas) en la producción conjunta es una variable. Si ahora comparamos el producto de precio por cantidad psiyii en la producción simple con el correspondiente pciyij en la conjunta, ambos en términos de salarios (es decir, dividiendo ambos precios ps y pc por la tasa de salarios única e igual para ambos), esta relación puede ser fluctuante a pesar de que no lo sea la de la suma de todos los productos finales yij desde j=1 a n de la producción conjunta, y que este sea igual al único sumando correspondiente en la producción simple. Sin embargo, esta aparente libertad de fluctuación de cada sumando no puede alejarse demasiado del correspondiente precio de la producción simple porque la variabilidad de los precios en la producción conjunta tiene su límite respecto al de la conjunta. Ello se debe a varias cosas: 1) estamos suponiendo que las tasas de salarios y de ganancias son las mismas en ambos tipos de producción para poder obtener el resultado de la comparación; 2) hemos utilizado los dos mismos numerarios -como se recordará- en ambos tipos de producción, uno de los cuales es el productos neto, es decir hicimos PYI-PXI=1; 3) hemos desechado posibles precios negativos si estos surgieran del resultado de la resolución de las ecuaciones. Estos hechos acotan la posible variabilidad del producto pciyij de la producción conjunta. Los precios que juegan en el modelo esrafiano son en realidad precios de intercambio, por lo que los grados de libertad que ahora tienen los precios de la producción conjunta están acotados al resultado de la suma de precios por cantidades, que han de ser iguales para el único sumando de la producción simple psiyii a la suma de los n sumandos pciyij de la producción conjunta. Quizás a lo mejor sea más clara la explicación de Sraffa, que para eso era un genio.